第二节二重积分的计算.ppt

一、问题的提出,曲顶柱体的体积,曲顶柱体：,特点：平顶.,柱体体积=？,特点：曲顶.,曲顶柱体,曲顶柱体的体积,演示文稿1.ppt播放,求曲顶柱体的体积采用“分割、近似、求和、取极限”的方法，如下动画演示,步骤如下：,用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积，,先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，,曲顶柱体的体积,2。直角坐标系下的积分微元,我们利用直角坐标网分割D,让分割充分细，取D的被坐标网割出的一个典型子区域，设它是如图的矩形，其面积为,先将二重积分化为二次积分，然后先后计算两次定积分求得二重积分的值.,如果积分区域D可表示为：,其中函数、在区间上连续.,一、利用直角坐标系计算二重积分1、x型区域,则D称为x型区域.,x型区域的特点：,穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,设曲顶柱的底为,任取,平面,故曲顶柱体体积为,截面积为,截柱体的,曲顶柱体体积的计算,如果积分区域D可表示为：,其中函数、在区间上连续.,2、y型区域,则D称为y型区域.,y型区域的特点：,穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,同样,曲顶柱的底为,则其体积可按如下两次积分计算,例1,解将D看作x型区域,则,D=(x,y)|0yx，0x1,例1,解将D看作y型区域,则,D=(x,y)|yx1，0y1,如果积分区域D可表示为x型区域又可表示为y型区域，且f(x,y)在D上连续，则有：,为计算方便,可选择积分次序,采用哪一种次序积分通常取决于被积函数的结构.,必要时还可以交换积分次序.,解将D看作y型区域,则,D=(x,y)|yx1，0y1,3、一般情形,如果积分区域D不是x型区域也不是y型区域，可用平行坐标轴的直线段分割，把D分割为若干个x型或y型区域，在每个小区域上计算二重积分，在各个小区域上的积分之和就是D上的二重积分.,若区域如图，,在分割后的三个区域上分别使用积分公式,则必须分割.,计算二重积分的几点说明：,1)化二重积分为二次积分的关键是：确定二次积分的上、下限，而二次积分中的上、下限又是由区域D的几何形状确定的，因此计算二重积分应先画出积分区域D的图形.,2)第一次积分的上、下限是函数或常数，而第二次积分中的上、下限一定是常数，且下限要小于上限.,3)积分次序选择的原则是两次积分都能够积出来，且区域的划分要尽量地简单.,解,将D看作y型区域,则,两曲线的交点,例4,解将D看作x型区域,则,解,注意：正确选择积分次序相当重要.,解,积分区域如图,如何变换积分次序：将给定的二次积分化为二重积分，然后再将二重积分化为另一个次序的二次积分.,如何变换积分次序：根据所给积分写出D的边界曲线，再写出另一个区域表示式，即可写出另一个次序的二次积分.,解,积分区域如图,解,原式,解:积分域由两部分组成:,视为y型区域,则,练习：交换下列积分顺序,解,说明:有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序.,解,说明:有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序.,当二重积分的被积函数中含有绝对值函数、取大或取小函数(max或min)等特殊函数时，如何计算二重积分的值？,一般是将积分区域适当分块，使被积函数在各子块上都表示为初等函数形式，然后分别计算.,例10,解,先去掉绝对值符号，如图,小结：用直角坐标计算二重积分,x型,y型,确定积分次序时要注意:,1、考虑积分区域的特点，分块越少越好.,2、考虑被积函数的特点，使第一次积分容易积出，并能为第二次积分的计算创造有利条件.,利用积分域和被积函数的对称性计算二重积分,A,二、利用极坐标系计算二重积分,一、重积分的换元积分法,定理1：设f（x，y）在有界闭区域D连续，在D上具有一阶连续偏导数的函数,把D映射为uv平面的区域D，其逆变换记成,又设行列式,则,例1f(x，y)在闭区域Dxy连续，则极坐标变换,它把变成，行列式,故,三、利用极坐标系计算二重积分,二重积分化为二次积分的公式（）,1、极点O在D的外部,区域特征如图,区域特征如图,二重积分化为二次积分的公式（）,区域特征如图,2、极点O在D的边界上,极坐标系下区域的面积,二重积分化为二次积分的公式（）,区域特征如图,3、极点O在D的内部,思考:下列各图中域D分别与x,y轴相切于原点,试问的变化范围是什么?,(1),(2),法二:,积分区域关于x轴对称,解,解,解,解,解,由于的原函数不是初等函数,故本题无法用直角坐标计算.,解,利用例7可得到一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的反常积分公式,同理,解,二重积分在直角坐标下的计算公式,（在积分中要正确选择积分次序）,三、小结,y型,x型,（在积分中注意使用对称性）,二重积分在极坐标下的计算公式,（在积分中注意使用对称性）,计算步骤及注意事项,画出积分域,选择坐标系,确定积分次序,写出积分限,计算要简便,域边界应尽量多为坐标线,被积函数关于坐标变量易分离,积分域分块要少,累次积好算为妙,图示法,不等式,(可利用对称性),计算步骤及注意事项,画出积分域,选择坐标系,确定积分次序,写出积分限,计算要简便,积分域分块要少,累次积好算为妙,图示法,不等式,(可利用对称性),三、二重积分的应用,曲顶柱体的体积为：,2求非均匀薄片的质量,利用二重积分可以计算空间立体的体积.,例1求两个底圆半径为R的直角圆柱面所围的体积.,解:设两