第二章一元函数微分学.ppt

,2.1导数的概念,2.2导数的运算,2.3微分,2.4导数的应用,机动目录上页下页返回结束,第二章一元函数微分学,第二章,微分学发展史,2.1.1引例,2.1.2导数的定义,2.1.3导数的几何意义,2.1.4函数的连续性与可导性的关系,机动目录上页下页返回结束,2.1导数的概念,第二章,2.1.1引例,1.变速直线运动的速度,描述物体下落位置的函数为,改变量之比的极限称为导数，路程对时间的导数就是速度。,有增量,则物体在内的平均速度为,给以增量,(),2.1.2导数的定义,即,机动目录上页下页返回结束,否则，就说,对自变量,的变化率.,导数的等价定义：,右可导与左可导：,若函数,在开区间内处处可导,则称,它在上可导.,若函数,与,则称,在开区间内可导,在闭区间上可导.,且,都存在，,对应于,内的每一点,都有一个确定,的导数值，于是,和其对应点的导数值之间,便构成了一个新的函数，称此函数为,的,记为,导函数，简称导数，,求导的步骤,2.算比值,3.取极限,1.求增量,对于,内的每一点,有,而,在,处的导数即为,在,处的函数值，即,例1.求函数,在,处的导数,解：,所以，,例2.求函数,为常数),解：,所以，,的导数.,例3.,处的导数.,求函数,解：,导数的几何意义,导数是曲线上过点x0处切线的斜率,例4求过点(0，-1)且与,相切的直线方程.,解：由例1知,设切点为,则该直线的斜率为,又知,从而有,解得,从而知过点(0，-1)可作两条直线与,相切，,其斜率分别为,二直线方程分别为,2.1.4函数的连续性与可导性的关系,注意:函数在点x连续不一定可导.,反例:,在x=0处连续,但不可导.,2.2.1几个基本初等函数的导数,2.2.2导数的四则运算法则,2.2.3复合函数和隐函数求导法则,2.2.4对数求导法,机动目录上页下页返回结束,2.2导数的运算,第二章,2.2.5反函数求导法,2.2.6高阶导数,2.2导数的运算,2.2.1几个基本初等函数的导数,二、幂函数的导数,一、常数的导数,常数的导数是0,三、正弦函数与余弦函数的导数,四、对数函数的导数,2.2.2导数的四则运算法则,法则,的和、,差、,积、,商(除分母,为0的点外)都在点x可导,且,下面对（3）加以证明,并同时给出相应的推论和,例题.,机动目录上页下页返回结束,(3),证:设,则有,故结论成立.,机动目录上页下页返回结束,推论1:,(C为常数),推论2:,例5.已知,解：,例6.已知,解：,例7.,解：,例8.,解：,2.2.3复合函数和隐函数求导法则,一、复合函数求导法,上述复合函数求导法则可推广到多层复合函数,例9.已知,求,例10.已知,求,解：令,解：令,例11.已知,求,解：令,例12.已知,求,例13.设,为可导函数,且,解：,解：设,注意：复合函数的求导关键是搞清符合关系，从外层到里层一层一层地求导，不要漏层。,y与x的函数关系隐含在,中，这种形式的,例如,如果我们把y看成中间变量，则可运用复合函数求导,函数称为隐函数。,等等。,法则求出y对x的导数。,例14.y是由,所确定的关于x的函数，求y,解：设,两边同时对x求导，则,即,最后得,二、隐函数求导法,例15.求函数y是由,所确定的函数的导数,所确定的x的函数，,例16.已知y是由,解：等式两边同时对x求导，得,解得,试求,解：方程两边同时对x求导，得,从而,又由函数方程知,所以,当,时，,故,2.2.4对数求导法,对数求导法适用于幂指数函数或连乘函数,例17.已知下列各函数，分别求其导数y,为任意实数),解:(1)两边同时取对数，得,两边同时对x求导，得,因而,(2)两边同时取对数，得,两边同时对x求导，得,因而,即对任意实数,，有,(3)两边同时取对数，得,两边同时对x求导，得,所以,即,特别地，当,时，,2.2.5反函数求导法,在,处可导，且,则,在对应点,处也可导，,证略,定理2对于函数,它在某个开区间严格单,调、连续，它的反函数,且,例18.已知,解：,内严格单调、连续，且,由定理2知在x所对应的区间(-1,1)内,有,即,类似可得,例19.已知,解：,内严格单调、连续，且,即,类似可得,由定理2知在x所对应的区间内,2.2.6高阶导数,函数的二阶及二阶以上的导数统称为y的高阶导数。,如果,的导数也存在，则称其为,的二阶导数，记为,三阶导数或三阶以上导数可类似定义。,例20.已知,解：,例21.y是由,所确定的x的函数，求,解：两边同时对x求导，得,所以,对上述等式两边再对x求导，得,整理并将代入得,2.3.1微分的定义,2.3.2微分的几何意义,2.3.3微分的计算,机动目录上页下页返回结束,2.3微分,第二章,2.3微分,问题提出：,2.3.1微分的定义,2.3.2微分的几何意义,当很小时,则有,从而,导数也叫作微商,切线纵坐标的增量,自变量的微分,记作,记,机动目录上页下页返回结束,2.3.2微分的计算,一、微分的四则运算法则,二、一阶微分的形式不变性,解：,例23已知,解：,2.3.4*微分在误差估计及近似计算中的应用,一、函数值的误差估计,设,是,的函数，,的测量值为,且测量误差为,计算,时将产生误差,把,与,分别称为,和,的绝对误差，,而把,与,分别称为,和,的相对误差。,当,很小时，有如下近似公式,利用以上两式可以计算实际应用中常遇到的两类误差估计问题。,二、函数值的近似计算,例26计算sin44o的近似值。,例27求,的近似值。,所以,2.4.1拉格朗日中值定理,2.4.2洛必达法则,2.4.3函数增减性和函数的极值,机动目录上页下页返回结束,2.4导数的应用,第二章,2.4.4函数凹凸性及拐点,2.4.1拉格朗日中值定理,定理3如果函数,在闭区间a,b上连续，在,使得,开区间(a,b)内可导，则在开区间(a,b)内至少存在一点,拉格朗日简介,推论3如果函数,在区间（a,b）上每一点的,，则函数,（a,b）上恒等于一个常数。,与,点的导数都相等，则,与,上仅相差一个常数。,导数都为零，即,在区间,推论4如果两个函数,在（a,b）上每一,在区间（a,b）,例28证明,对一切,都成立。,证：设,区间,应用定理则,等号成立，因而对于一切命题成立,例28试证,证：设,则,由推论3知y在(-1,1)内恒为常数，,即,又由于y在-1,1上连续，因而上式在-1,1内成立，,令,即得,从而结论成立。,2.4.2洛必达法则,洛必达是法国数学家.1661年生于巴黎；1704年2月2日卒于巴黎.洛必达出生于法国贵族家庭，青年时期一度任骑兵军官，因眼睛近视而自行告退，转向从事学术研究.,15岁时解决了帕斯卡所提出的一个摆线难题.他是莱布尼茨微积分的忠实信徒，并且是约伯努利的高徒，法国科学院院士.,函数之商的极限,导数之商的极限,转化,(或型),本节研究:,洛必达法则,2.4.2洛必达法则,2.4.2洛必达法则,2.4.2洛必达法则,洛毕达法则可以多次使用直到不再是不定式时为止,例题30求,解:原试,注意:不是不定式不能用洛必达法则!,例题31求,解:,例题32求,解:,其他不定式:,解决方法:,通分,取倒数,取对数,例题33求,将上试通分后即可化为型,例34.求,解:原式,例题35求,例题36求,注意：在应用洛毕达法则时，如果两个函数之比的极限不存在且不为无穷大，则不能应用该法则,2.4.3函数增减性和函数的极值,一、函数单调性的判定法,二、函数的极值及其判定方法,一、函数单调性的判定法,若,定理1.设函数,则在I内单调递增,(递减).,证:无妨设,任取,由拉格朗日中值定理得,故,这说明在I内单调递增.,在开区间I内可导,证毕,注意：定理6只是判断函数增减性的充分条件，而非必要条件,例题38试证当,证：设,例题38试证当,证：,证毕,例39.确定函数,的单调区间.,解:,令,得,故,的单调增区间为,的单调减区间为,说明:,例40,单调区间的分界点除外,也可是导数不存在的点.,驻点,驻点：使导数为零的点叫做驻点,返回,二、函数的极值及其判定方法,定义3:,在其中当,时,(1),则称为的极大点,称为函数的极大值;,(2),则称为的极小点,称为函数的极小值.,极大点与极小点统称为极值点.,注意:,为极大点,为极小点,不是极值点,1)函数的极值是函数的局部性质.,例如例39,为极大点,是极大值,是极小值,为极小点,定理7（必要条件）如果函数,在点,可导，且取极值，则,使导数为零的点叫做函数的驻点，可导函数的极值必定是它的驻点，反之则不一定。,判断驻点是否为极值点要判断该点左右的倒数符号是否发生变化，此外导数不存在的点也可能是极值点。,证：仅就取极大值做出证明，取极小值时仿此证明,当时，,所以,当时,所以,因此，证毕,定理8(极值第一判别法),(1),“左正右负”,(2),“左负右正”,(3)若,不变号，则函数,在,处无极值,证：若是邻域内的一点，由拉格朗日中值定理，可知必在与之间存在一点，使,对于条件(2)，当时，有；当时，有，所以当由负变正时，为极小值,对于条件(1)，当时，有；当时，有，所以当由正变负时，为极大值,如果满足条件(3)，则在的某个邻域内是单调函数，所以不是极值，也不是极值点,由定理7和定理8给出求函数极值的步骤如下：,1、求导数,2、找出驻点和导数不存在的点,3、用定理8判定这些点是否为极值点,例题41求函数,的极值,解：,由表可知极值,图象,返回,例42已知直线方程,是直线外的一点,试求A到直线的距离,解:设为直线方程上的任一点,设A到B的距离为z,则,令得到唯一驻点,例42已知直线方程,是直线外的一点,试求A到直线的距离,例题43应用第二充分条件求函数,的极值,解:,例44求的极值,解:,则,因此,由定理9判定,函数在x=0时有极小值0,在x=1,-1时由定理8判定,例45血液由细胞和血浆构成，血细胞的比重高于血浆构成，血液在血管中迅速流动时，血细胞有集中于血管中轴附近的倾向，而在靠近血管内膜的边缘部位则主要是一层血浆。边缘部位由于血管壁的摩擦力而流速较慢，愈近中轴，流动越快，此现象在流速相当高的洗血管中最为显著，称为轴流问题。轴流理论认为：血细胞速度与血浆速度的相对值依赖于血细胞的直径与它通过小血管直径之比，其关系式为,（血细胞速度/血浆速度）,试求关于的一阶导数的极值,解：,令，得因为,所以时取极小值。由于，,所以他的绝对值在处达到极大值,例46求当时得最大值与最小值,解:该函数是一个分段函数,可写成如下形式,例46求当时得最大值与最小值,的导数为,最大值与最小值,定义4设,在闭区间a,b上连续，,与,比较，其数值最大与最,在闭区间a,b上的最大与最小值。,将区间内所有极值和端点处的函数值,小者分别称为函数,例47在给定容积V的条件下，做一个有盖圆柱形罐头，问当高和底半径取多少时用料最省,解:,设底面半径为r,高h,表面积为S,则,所以S的最小值,将S对r求导得,2.4.4函数的凹凸性及拐点,一、函数曲线的凹凸性,二、曲线的拐点,三、曲线的渐近线,定义5如果一段曲线位于它上面任意一点的切线上方，我们就称这段曲线是向上凹的，如果一段曲线位于其上任意一点的切线的下方，则称这段曲线是向上凸的,一、函数曲线的凹凸性,如果函数,定理10,在区间(a,b)内具有二阶导数,则在该区间上，当,时，曲线向上凸，称为凸函数,时，曲线向上凹，并称为凹函数；,当,二、函数的拐点,如果函数,在某点的凹凸性发生了变化，那么该点就称为曲线的拐点。需要注意的是：拐点可能是二阶导数为0的点，也可能是二阶导数不存在的点；反之二阶导数为0或者二阶导数不存在的点却不一定是拐点。,返回,判断函数曲线的凹凸性及拐点的步骤如下：,2、令,1、求,例48讨论曲线,的凹凸性及拐点,解:,在定义域内无零点,例49讨论函数的单调性极值及拐点,解:,令y=0,得x=-1,1,列表如下,例49讨论函数的单调性极值及拐点,解:,三、曲线的渐近线,定义6如果动点沿某一条曲线无限远离原点时，动点到一定直线的距离趋于零，这条直线就称为该曲线的渐近线,则曲线,有水平渐近线,如果,，则曲线,有垂直渐近线,如果,返回,例50讨论的渐近线,解:,知x=0是垂直渐近线,所以,y=x+3是一条斜渐近线,习题,确定函数的单调性,解:,令y=0得x=-1或x=2,习题求函数的极值,解:,令y=0,解得,习题求函数的最大和最小值,解:,第二章,微积分学的创始人:,德国数学家Leibniz,微分学,导数,描述函数变化快慢,微分,描述函数变化程度,都是描述物质运动的工具,(从微观上研究函数),一元函数微分学,导数思想最早由法国,数学家Ferma在研究,极值问题中提出.,英国数学家Newton,2.4.1拉格朗日中值定理,拉格朗日，法国数学家、物理学家。1736年1月25日生于意大利西北部的都灵，1813年4月10日卒于巴黎。19岁就在都灵的皇家炮兵学校当数学教授。在探讨“等周问题”的过程中，他用纯分析的方法发展了欧拉所开创的变分