第七章-量子力学的矩阵形式与表象变换.ppt

*第七章量子力学的矩阵形式与表象变换,本章要求,1.了解量子态在不同表象下的矩阵表示以及表象之间的幺正变换（幺正矩阵）。2.了解力学量算符的矩阵表示；了解量子力学公式(如薛定谔方程、本征方程、平均值等)的矩阵形式；3.了解Dirac符号,教学内容,*第七章量子力学的矩阵形式与表象变换,1量子态在不同表象下的矩阵表示与幺正变换,（一）例子,(r,t)以坐标为自变量坐标表象中的波函数表示,(p,t)以动量为自变量动量表象中的波函数表示,表象=“坐标系”,问题：量子态在其他力学量表象下的表示？表象之间的联系或变换关系？,（二）希尔伯特（Hilbert）空间,一个微观体系所有可能的量子态的态函数张成一个抽象的函数空间，称为希耳伯特空间，每一个量子态（不涉及表象）看成希耳伯特空间的一个“矢量”，称为态矢量。,如同三维实空间需要建立一组正交、归一的基矢，即建立坐标系，空间中的任何矢量A才能按这组基矢展开（即矢量有了具体表示）：,那么，如何建立Hilbert空间的基矢组（表象）以便任何态矢量都能按此展开（态矢量的具体表示）？,体系的任何一组对易力学量完全集F有完备的共同的本征函数组（其本征值谱可离散或连续），可以用来构成该态空间的一组正交、归一完备的基矢（称为F表象）。,因为体系的任何量子态（对应Hilbert空间的一个抽象矢量）可以按展开,这组数（a1,a2,）就是量子态在F表象下的表示。k是F表象的基矢。,可见，态函数张成的Hilbert空间的维数可以是有限的，也可无限的，甚至不可数的（基矢k为连续谱时），同时由于态函数是复数，Hilbert空间又是一个复空间。,Hilbert空间的任意态矢量在坐标表象下的表示：,常用的表象：坐标表象，动量表象，能量表象。,Q表象,任何一个厄米算符Q的本征函数系具有正交、归一、完备性，也可以用来构成Hilbert空间的基矢从而建立所谓的Q表象。,例如，用坐标算符x的本征函数系（本征值谱x连续）构成Hilbert空间的基矢，就是坐标表象。,（三）量子态在不同表象中的矩阵表示,在F表象(或Q表象)中，任意量子态的具体表示可以写成一个列矩阵：,考虑另一力学量完全集F(或者另一力学量算符Q)，其正交、归一完备的共同本征态构成新的基矢组：,F表象或Q表象,任意态矢量,在F表象下的矩阵表示,F表象下的具体表示,（四）表象之间的变换幺正变换,F表象：,F表象：,左乘再取标积,令,两个表象的基矢的标积，反映基矢之间的关系,反映表象之间的变换关系？,则,写成矩阵形式,F表象中的表示,F表象中的表示,表象间的变换矩阵S,变换矩阵S是幺正矩阵,相应的表象变换称为幺正变换。,幺正变换的特点：变换后不改变矢量的长度(模)。因此态矢量（波函数）在表象变换下不改变模的大小，即相应的概率不变。,2力学量算符的矩阵表示,力学量算符作用于量子态后变成另一态,(不涉及表象),因此，在Hilbert空间力学量算符相当于一个线性映射。,一旦在Hilbert空间建立具体的表象，力学量算符（线性映射）就有了具体的数学表示：,F表象基矢k,左乘j再取标积,令,则有,写成矩阵形式：,算符在F表象中的矩阵表示,相应的矩阵元,特别地，在算符L的自身表象中,（基矢k是算符L的本征态，对应本征值Lk）,因此，算符在其自身表象中是一个对角矩阵，即,且由(*)式，对角元就是其本征值。,（*）,3量子力学公式的矩阵表示,（一）薛定谔方程的矩阵形式,在F表象中,左乘j再取标积,基矢的正交归一性,能量算符在F表象中的矩阵元,或表示为,此为薛定谔方程在F表象中的矩阵形式,（二）本征值方程的矩阵形式,在F表象中，本征函数,左乘j再取标积,此为算符L的本征值方程在表象中的矩阵形式。,或,线性方程组(I)有非零解得条件是系数行列式等于0：,久期方程,再将每个本征值代入方程(I)可解出相应的本征函数。,（三）力学量平均值的矩阵形式,在任意量子态下，力学量L的平均值,平均值的矩阵形式,4Dirac符号,在量子力学的理论表述时，常使用Dirac符号，它有两个优点：,无需具体的表象来讨论问题；,运算简捷，特别是针对表象变换；,（一）右矢(Ket)和左矢(Bra),Dirac使用符号来表示态空间（即Hilbert空间）的一个抽象的态矢量(无关表象)，称符号为右矢。,A.右矢,当表示某个确定的量子态时，在右矢内写上该态的符号即可，例如,表示量子态态,对于本征态，常用本征值(或相应的量子数)标在右矢内，例如,表示坐标本征态(本征值x),能量本征态(本征值En，n是量子数),角动量（l2,lz）的共同本征态(量子数分别是l和m),简记为,使用Dirac符号,B.左矢,左矢用符号表示，代表右矢的共轭态，例如,和互为共轭态矢,任意两个态矢量和标积记为,正交归一化条件,以上各式均不涉及表象。,F表象的基矢记为，任意态矢可按基矢展开,展开系数记为,定义投影算符（projectionoperator）,其意义就是对任意态矢作用后，得到态矢量在基矢方向上的分量，即,基矢的封闭性,对于连续谱的情形，求和换为积分，例如,（F表象的基矢）,（封闭性）,（封闭性）,F表象（基矢）中的表示：,考虑任意量子态,F表象（基矢）中的表示:,（封闭性）,变换矩阵元,薛定谔波动力学与海森堡矩阵力学的等价性,1.粒子的状态波函数可用Hilbert空间中一个抽象的矢量（称为态矢量)表示，只要在此空间内建立不同的坐标系(即“表象”)，则同一态矢量可有不同的表示方式。,若在此空间内建立坐标表象，则此态矢量表示为，这就是薛定谔用以描述电子波动状态的波函数(x,t)。,若在此空间内建立F表象，则此态矢量表示为：,此即海森堡的矩阵。,2.另外，描述粒子运动状态的力学量L可用Hilbert空间中的线性映射表示：,只要在此空间内建立不同的坐标系(即“表象”),则同一力学量L可有不同的表示方式。,3.求力学量L的可能取值问题转化为