第三章-力学量的算符..ppt

第三章力学量的算符,3-1算符的引入,代表对波函数进行某种运算或变换的符号,由于算符只是一种运算符号，所以它单独存在是没有意义的，仅当它作用于波函数上，对波函数做相应的运算才有意义，例如：,u=v表示把函数u变成v，就是这种变换的算符。,1）du/dx=v，d/dx就是算符，其作用是对函数u微商，故称为微商算符。,2）xu=v，x也是算符。它对u作用是使u变成v。,体系状态用坐标表象中的波函数(r)描写时，坐标x的算符就是其自身，即,说明力学量在自身表象中的算符形式最简单。,而动量px在坐标表象（非自身表象）中的形式必须改造成动量算符形式：,三维情况：,角动量算符,Hamilton算符,的粒子,在势场中,),(,2,),(,),(,2,2,r,V,m,r,V,T,H,V,T,H,r,V,r,h,r,r,+,-,=,+,=,+,=,问题：算符、动量算符、Hamilton算符,其中Fn,n分别称为算符F的本征值和相应的本征态，上式即是算符F的本征方程。求解时，作为力学量的本征态或本征函数还要满足物理上对波函数的要求即波函数的标准条件。,3-2算符的本征值和本征函数,问题：本征值、本征态、本征方程,（1）线性算符,(c11+c22)=c11+c22其中c1,c2是任意复常数，1,1是任意两个波函数。,满足如下运算规律的算符称为线性算符,例如：,开方算符、取复共轭就不是线性算符。注意：描写可观测量的力学量算符都是线性算符，这是态叠加原理的反映。,3-3算符的运算规则线性厄米算符,（2）算符相等,若两个算符、对体系的任何波函数的运算结果都相同，即=，则算符和算符相等记为=。,（3）算符之和,若两个算符、对体系的任何波函数有：(+)=+=则+=称为算符之和。,算符求和满足交换率和结合率。,例如：体系Hamilton算符,注意，算符运算没有相减，因为减可用加来代替。-=+（-）。很易证明线性算符之和仍为线性算符。,（4）算符之积,若()=()=则=其中是任意波函数。,一般来说算符之积不满足交换律，即这是算符与通常数运算规则的唯一不同之处。,（5）对易关系,若，则称与不对易。,显然二者结果不相等,对易关系,量子力学中最基本的对易关系。,写成通式:,但是坐标算符与其非共轭动量对易，各动量之间相互对易。,（6）对易括号,为了表述简洁，运算便利和研究量子力学与经典力学的关系，人们定义了对易括号：,-,不难证明对易括号满足如下对易关系：1),=-,2),+=,+,3),=,+,4),+,+,=0上面的第四式称为Jacobi恒等式。,返回,（7）逆算符,1.定义:设=,能够唯一的解出,则可定义算符之逆-1为:-1=,并不是所有算符都存在逆算符,例如投影算符就不存在逆.,2.性质I:若算符之逆-1存在,则-1=-1=I,-1=0证:=-1=-1()=-1因为是任意函数,所以-1=I成立.同理,-1=I亦成立.,3.性质II:若,均存在逆算符,则()-1=-1-1,例如:,设给定一函数F(x),其各阶导数均存在,其幂级数展开收敛,则可定义算符的函数F()为:,（8）算符函数,（9）复共轭算符,算符的复共轭算符*就是把表达式中的所有量换成复共轭.,例如:坐标表象中,（10）转置算符,利用波函数标准条件:当|x|时,0。,由于、是任意波函数,所以,同理可证:,(11)厄密共轭算符,由此可得：:,转置算符的定义,厄密共轭算符亦可写成：,算符之厄密共轭算符+定义:,可以证明:()+=+(.)+=.+,(12)厄米算符,满足如右关系的算符称为厄密算符.,性质I:两个厄密算符之和仍是厄密算符。+=,+=(+)+=+=(+),性质II:两个厄密算符之积一般不是厄密算符,除非二算符对易。因为()+=+=仅当,=0成立时,()+=才成立。,问题：厄米算符,定理I：体系任何状态下，其厄密算符的平均值必为实数。,证：,逆定理：在任何状态下，平均值均为实数的算符必为厄密算符。,定理II：厄密算符的本征值必为实。,当体系处于F的本征态n时，则每次测量结果都是Fn。由本征方程可以看出，在n（设已归一）态下,证,量子力学基本假定III,(I)量子力学中的力学量用线性厄密算符表示。,(II)测量力学量F时所有可能出现的值，都对应于线性厄密算符F的本征值Fn（即测量值是本征值之一），该本征值由力学量算符F的本征方程给出,（问题？）,（1）正交性,定理III：厄密算符属于不同本征值的本征函数彼此正交,证：,设,取复共轭，Fm为实数,两边右乘n后积分,二式相减得:,若FmFn，则必有：,证毕,3-4厄密算符本征函数的正交性和完全性,（2）分立谱、连续谱正交归一表示式,1.分立谱正交归一条件分别为：,2.连续谱正交归一条件表示为：,3.正交归一系,满足上式的函数系n或称为正交归一（函数）系。,（4）简并情况,如果F的本征值Fn是f度简并的，则对应Fn有f个本征函数：n1,n2,.,nf,满足本征方程：,一般说来，这些函数并不一定正交。,算符F本征值Fn简并的本质是当Fn确定后还不能唯一的确定状态，要想唯一的确定状态还得寻找另外一个或几个力学量算符，F算符与这些算符对易，其本征值与Fn共同确定状态。,综合上述讨论可得如下结论：既然厄密算符本征函数总可以取为正交归一化的，所以以后凡是提到厄密算符的本征函数时，都是正交归一化的，即组成正交归一系。,1.函数的完备性,有一组函数n(x)(n=1,2,.),如果任意函数(x)可以按这组函数展开:,则称这组函数n(x)是完备的。,例如：动量本征函数组成完备系,(2)力学量算符本征函数组成完备系,2.力学量算符的本征函数组成完备系,则任意函数(x)可按n(x)展开：,但是对于任何一个力学量算符，它的本征函数是否一定完备并无一般证明，这将涉及到一个颇为复杂的数学问题。不管怎样，由上述两点分析，量子力学认为：一切力学量算符的本征函数都组成完备系。,问题：正交性和完全性,量子力学基本假定III告诉人们，在任意态(r)中测量任一力学量F，所得的结果只能是由算符F的本征方程,解得的本征值n之一。,但是还有两点问题没有搞清楚：,1.测得每个本征值n的几率是多少？也就是说，哪些本征值能够测到，对应几率是多少，哪些测不到，几率为零。,2.是否会出现各次测量都得到同一个本征值，即有确定值。,要解决上述问题，我们还得从讨论本征函数的另一重要性质入手。,3-5力学量平均值的计算,力学量的可能值和相应几率,现在我们再来讨论在一般状态(x)中测量力学量F，将会得到哪些值，即测量的可能值及其每一可能值对应的几率。,cn则是F空间的波函数,证明：当(x)已归一时，同样cn也是归一的。,所以|cn|2具有几率的意义，cn称为几率振幅。我们知道|(x)|2表示在x点找到粒子的几率密度，|c(p)|2表示粒子具有动量p的几率，那末同样，|cn|2则表示F取n的几率。,综上所述，量子力学作如下假定：,量子力学基本假定IV,任何力学量算符F的本征函数n(x)组成正交归一完备系，在任意已归一态(x)中测量力学量F得到本征值n的几率等于(x)按n(x)展开式中对应本征函数n(x)前的系数cn的绝对值平方。,问题：量子力学基本假定IV,如果波函数未归一化,同样，在任一态(x)中测量某力学量F的平均值（在理论上）可写为：,此式等价于以前的平均值公式,力学量的平均值,3-6不同力学量同时有确定值的条件,体系处于任意状态（x）时，力学量F一般没有确定值。,如果力学量F有确定值，（x）必为F的本征态，即,如果有另一个力学量G在态中也有确定值，则必也是G的一个本征态，即,结论：,当在态中测量力学量F和G时，如果同时具有确定值，那么必是二力学量共同本征函数。,两算符对易的物理含义,是特定函数，非任意函数也！,但是，如果两个力学量的共同本征函数不止一个，而是一组且构成完备系，此时二力学量算符必可对易。,考察前面二式：,定理：若两个力学量算符有一组共同完备的本征函数系，则二算符对易。,证：,则,因为(x)是任意函数,定理：一组力学量算符具有共同完备本征函数系的充要条件是这组算符两两对易。,例,问题：不同力学量同时有确定值的条件,力学量完全集合,（1）定义：为完全确定状态所需要的一组两两对易的力学量算符的最小（数目）集合称为力学量完全集。,例1：,三维空间中自由粒子，完全确定其状态需要三个两两对易的力学量：,例2：,一维谐振子，只需要一个力学量就可完全确定其状态：,（2）力学量完全集中力学量的数目一般与体系自由度数相同,（3）由力学量完全集所确定的本征函数系，构成该体系态空间的一组完备的本征函数，即体系的任何状态均可用它展开,3-7测不准关系的严格证明,两力学量算符对易则同时有确定值；若不对易，一般来说，不存在共同本征函数，不同时具有确定