全等证明--辅助线(三)

全等证明辅助线（三） 中点问题中线类辅助线作法：1、遇到三角形的中线，可以倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，通过全等将分散的条件集中起来，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”2、遇到题中有中点，可以构造三角形的中位线，利用中位线的性质转移线段关系3、遇到三角形的中线或与中点有关的线段，如果有直角三角形，可以取直角三角形斜边的中点，试图构造直角三角形斜边的中线，利用斜边中线的性质转移线段关系考点一 中线倍长1、如图，在中，交于点，点是中点，交的延长线于点，交于点，若，求证：为的角平分线2、如图所示，在中，是的中点，垂直于，如果，求证3、如图所示，在中，延长到，使，为的中点，连接、，求证4、如图，菱形ABCD中，ABC=120，E、F分别为BC、CD边上上的点，满足DAE=BAF， （1）求证：CEF为等边三角形；（2）G为AF中点，已知GE=，求GD的长.5、如图，等腰直角与等腰直角，为中点，连接、.探究、的关系.6、在菱形ABCD和正三角形BGF中，ABC=60，P是DF的中点，连接PG、PC（1）如图1，当点G在BC边上时，若AB=10，BF=4，求PG的长；（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，线段PC、PG有怎样的数量关系，写出你的猜想；并给予证明.（3）如图3，当点F在CB的延长线上时，(2)问中关系还成立吗？写出你的猜想，并给予证明.DDCCDCPGPFPGFGBABABA图1图2图3F7、已知：ACB与DCE为两个有公共顶点C的等腰直角三角形，且ACB=DCE=90，AC=BC，DC=EC把DCE绕点C旋转，在整个旋转过程中，设BD的中点为N，连接CN（1）如图，当点D在BA的延长线上时，连接AE，求证：AE=2CN；（2）如图，当DE经过点A时，过点C作CHBD，垂足为H，设AC、BD相交于F，若NH=4，BH=16，求CF的长8、如图，BAC60，CDE120，ABAC，DCDE，连接BE，P为BE的中点(1) 如图1，若A、C、D三点共线，求PAC的度数(2) 如图2，若A、C、D三点不共线，求证：APDP (3) 如图3，若点C线段BE上，AB1，CD2，请直接写出PD的长度考点二 中位线1、在中，以为底作等腰直角，是的中点，求证：且2、已知，如图四边形中，、分别是和的中点，、的延长线分别交于、两点求证：3、如图1，正方形中，是对角线，等腰中，点在边上；连接，点是的中点，连接（1）若，求的值；（2）求证：；（3）当等腰的点落在正方形的边上，如图2，连接，点 是的中点，连接，延长交于点请探究线段、的数量关系，并证明你的结论4、在菱形ABCD中，=60，以D为顶点作等边三角形DEF，连接，点分别为、的中点，连接. （1）如图1，若点E在DP上，EF与CD交于点M，连接MN，,求MN的长； （2）如图2，若为中点，求证：； （3）如图3，若四边形ABCD为平行四边形,且60,以D为顶点作三角形，满足且,仍分别为EF、EC、BC的中点，请探究与的和是否为一个定值，并证明你的结论.考点三 直角三角形斜边上的中线1、如图1，在中，点为边中点，直线绕顶点旋转，若点在直线的异侧，直线于点，直线于点，连接（1）延长交于点（如图2），求证：；求证：；（2）若直线绕点旋转到图3的位置时，点在直线的同侧，其它条件不变.此时还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）若直线绕点旋转到与边平行的位置时，其它条件不变，请直接判断四边形的形状及此时还成立吗？不必说明理由.2、如图，已知正方形ABCD，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接EF，若BE=DF，点P是EF的中点（1）求证：DP平分ADC；（2）若CEF=75，CF=，求AEF的面积 3、如图1，在ACB和AED中，AC=BC，AE=DE，ACB=AED=90，点E在AB上，F是线段BD的中点，连接CE、FE（1）若，求EF的长；（2）求证：；（3）将图1中的AED绕点A顺时针旋转，使AED的一边AE恰好与ACB的边AC在同一条直线上（如图2），连接BD，取BD的中点F，问（2）中的结论是否仍然成立，并说明理由；4、如图所示，是内的一点，过作于，于，为的中点，求证5、等腰RtABC中，BAC=90，CDAC，点M是AC上一点，且AM=CD，AHBC于点H，当点E是AD的中点时，连接BE交AH、AC于点N、M，求证：AD=2BN6、如图，在ABC，AC=BC，点D是AB边上一点，连接DC，满足DA=DC，（1）如图1，点G在AB边上且BG=BC连接CG，若ACB=80求GCD的度数；（2）如图2，点E是BC边上一点且DE=DB，点F和点H分别是AB和EC的中点，连接CD交FH于点G，求证：CD=FH+DF课后作业：1、是的中线，是的中点，的延长线交于求证：2、如图，点是矩形的边延长线上一点，连接，交于点是的中点，再连接、，且。（1）求证；（2）若，求的度数。3、如图，在五边形中，为的中点求证：4、在RtABC中，点D在边AC上（不与A，C重合），连结BD，F为BD中点（1）若过点D作DEAB于E，连结CF、EF、CE，如图1 设，则k = ；（2）若将图1中的ADE绕点A旋转，使得D、E、B三点共线，点F仍为BD中点，如图2所示求证：；（3）若，点D在边AC的三等分点处，将线段AD绕点A旋转，点F始终为BD中点，求线段CF长度的最大值【解析】（1）；（2）如图2，过点C作CE的垂线交BD于点G，设BD与AC的交点为Q. 由题意， . D、E、B三点共线， AEDB.， ， ，. F是BD中点， F是EG中点.在中， （3）情况1：如图，当时，取AB的中点M，连结MF和CM， ，且,，.M为AB中点，.M为AB中点，F为BD中点，当且仅当M、F、C三点共线且M在线段CF上时CF最大，此时.情况2：如图，当时，取AB的中点M，连结MF和CM，类似于情况1，可知CF的最大值为综合情况1与情况2，可知当点D在靠近点C的三等分点时，线段CF的长度取得最大值为.5、如图，在ABCD中,点M为边AD的中点，过点C作AB的垂线交AB于点E，连接ME.（1）若AM=2AE=4，BCE=30,求ABCD的面积；（2）若BC=2AB，求证：EMD=3MEA.6、如图1，在菱形ABCD中，ABC=60，若点E在AB的延长线上，EFAD，EF=BE，点P是DE的中点，连接FP并延长交AD于点G（1）过D作DHAB,垂足为H，若DH=，BE=AB,求DG的长；（2）连接CP，求证：CPFP；（3）如图2，在菱形ABCD中，ABC=60，若点E在CB的延长线上运动，点F在AB的延长线上运动，且BE=BF，连接DE,点P为DE的中点，连接FP、CP，那么第（2）问的结论成立吗？若成立，求出的值；若不成立，请说明理由7、四边形是正方形，是等腰直角三角形，连接，为的中点，连接，。（1）如图24-1，若点在边的延长线上，直接写出与的位置关系及的值；（2）将图24-1中的绕点顺时针旋转至图24-2所示位置，请问（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）将图24-1中的绕点顺时针旋转（），若，当，三点共线时，求的长。8、中点、平行线、等腰直角三角形、等边三角形都是最常见的几何图形！（1）如图1，若D为等腰直角三角形ABC斜边BC的中点，点E、F分别在AB、AC边上，且，当B