2013-2014学年江苏省扬州市高三(上)期中数学试卷

菁优网2013-2014学年江苏省扬州市高三（上）期中数学试卷 2013-2014学年江苏省扬州市高三（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1（5分）复数的实部为_2（5分）命题p：xR，x2+10的否定是_3（5分）已知向量，且，则实数k=_4（5分）（2011江苏模拟）已知直线l1：axy+2a+1=0和l2：2x（a1）y+2=0（aR），则l1l2的充要条件是a=_5（5分）已知，且tan=2，则cos2=_6（5分）已知实数的最小值为_7（5分）已知函数，若函数f（x）的零点所在的区间为（k，k+1）（kZ），则k=_8（5分）若双曲线的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，则m=_9（5分）若函数f（x）=（x+a）（bx+2a）（a，bR）是偶函数，且它的值域为（，8，则ab=_10（5分）的图象与直线y=m相切，相邻切点之间的距离为若点A（x0，y0）是y=f（x）图象的一个对称中心，且，则x0=_11（5分）椭圆的一条准线与x轴的交点为P，点A为其短轴的一个端点，若PA的中点在椭圆C上，则椭圆的离心率为_12（5分）函数f（x）=2x24x+1（xR），若f（x1）=f（x2），且x1x2，则的最小值为_13（5分）已知向量，满足，若，则所有可能的值为_14（5分）设圆x2+（y1）2=1的切线l与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B，当AB取最小值时，切线l在y轴上的截距为_二、解答题：（本大题共6道题，计90分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15（14分）已知集合，B=x|（xm4）（xm+1）0（1）若m=2，求集合AB；（2）若AB=，求实数m的取值范围16（14分）在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，已知向量，且（1）求角B的大小；（2）若a+c=7，求的值17（15分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆M：x2+y28x+6=0，过点P（0，2）且斜率为k的直线与圆M相交于不同的两点A，B，线段AB的中点为N（1）求k的取值范围；（2）若ONMP，求k的值18（15分）某小区有一块三角形空地，如图ABC，其中AC=180米，BC=90米，C=90，开发商计划在这片空地上进行绿化和修建运动场所，在ABC内的P点处有一服务站（其大小可忽略不计），开发商打算在AC边上选一点D，然后过点P和点D画一分界线与边AB相交于点E，在ADE区域内绿化，在四边形BCDE区域内修建运动场所现已知点P处的服务站与AC距离为10米，与BC距离为100米设DC=d米，试问d取何值时，运动场所面积最大？19（16分）如图，椭圆C1：（ab0）和圆C2：x2+y2=b2，已知圆C2将椭圆C1的长轴三等分，椭圆C1右焦点到右准线的距离为，椭圆C1的下顶点为E，过坐标原点O且与坐标轴不重合的任意直线l与圆C2相交于点A、B（1）求椭圆C1的方程；（2）若直线EA、EB分别与椭圆C1相交于另一个交点为点P、M求证：直线MP经过一定点；试问：是否存在以（m，0）为圆心，为半径的圆G，使得直线PM和直线AB都与圆G相交？若存在，请求出所有m的值；若不存在，请说明理由20（16分）已知函数，其中a为实常数（1）若f（x）3x在（1，+）上恒成立，求a的取值范围；（2）已知，P1，P2是函数f（x）图象上两点，若在点P1，P2处的两条切线相互平行，求这两条切线间距离的最大值；（3）设定义在区间D上的函数y=s（x）在点P（x0，y0）处的切线方程为l：y=t（x），当xx0时，若在D上恒成立，则称点P为函数y=s（x）的“好点”试问函数g（x）=x2f（x）是否存在“好点”若存在，请求出所有“好点”坐标，若不存在，请说明理由21（10分）已知矩阵的一个特征值是1，求矩阵A的另一个特征值，及属于的一个特征向量22（10分）已知的展开式中第2项的二项式系数与第3项的二项式系数之比为1：7（1）求n的值；（2）求展开式中的常数项（用组合数表示）23（10分）（2010西城区二模）一个盒子中装有5张卡片，每张卡片上写有一个数字，数字分别是1、2、3、4、5，现从盒子中随机抽取卡片（）若从盒子中有放回的取3次卡片，每次抽取一张，求恰有两次取到的卡片上数字为偶数的概率；（）若从盒子中依次抽取卡片，每次抽取一张，取出的卡片不放回，当取到一张记有偶数的卡片即停止抽取，否则继续抽取卡片，求抽取次数X的分布列和期望24（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（2，2），P是动点，且POM的三边所在直线的斜率满足kOM+kOP=kPM（1）求点P的轨迹C的方程；（2）点N在直线y=4x1，过N作（1）中轨迹C的两切线，切点分别为A，B，若ABN是直角三角形，求点N的坐标2013-2014学年江苏省扬州市高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1（5分）复数的实部为考点：复数代数形式的乘除运算5087943专题：计算题分析：直接利用复数的除法运算把给出的复数化简为a+bi（a，bR）的形式，则答案可求解答：解：=复数的实部为故答案为：点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础的计算题2（5分）命题p：xR，x2+10的否定是xR，x2+10考点：命题的否定5087943专题：规律型分析：本题中的命题是一个全称命题，其否定是一个特称命题，由规则写出否定命题即可解答：解：命题“xR，x2+10”命题“xR，x2+10”的否定是“xR，x2+10”故答案为：xR，x2+10点评：本题考查命题的否定，解题的关键是掌握并理解全称命题否定的书写方法，其规则是全称命题的否定是特称命题，书写时注意量词的变化3（5分）已知向量，且，则实数k=4考点：平行向量与共线向量；平面向量的坐标运算5087943专题：平面向量及应用分析：根据条件利用两个向量共线的性质可得 1k2（2）=0，由此解得k的值解答：解：由于向量，且，故有 1k2（2）=0，即k+4=0，解得 k=4，故答案为：4点评：本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题4（5分）（2011江苏模拟）已知直线l1：axy+2a+1=0和l2：2x（a1）y+2=0（aR），则l1l2的充要条件是a=考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系5087943专题：计算题分析：由于直线l1的斜率一定存在，当l2的斜率不存在时，两直线不垂直故l1l2的充要条件是斜率之积等于1，解方程求得a的值解答：解：由于直线l1的斜率一定存在，当l2的斜率不存在时，两直线不垂直故l1l2的充要条件是斜率之积等于1，即 =1，a=，故答案为 点评：本题考查两直线垂直的充要条件，即斜率都存在的两直线垂直，斜率之积等于15（5分）已知，且tan=2，则cos2=考点：二倍角的余弦；同角三角函数间的基本关系；三角函数的化简求值5087943专题：三角函数的求值分析：根据的范围及tan的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cos的值，cos2利用二倍角的余弦函数公式化简，将cos的值代入计算即可求出值解答：解：（，），tan=2，cos2=，则cos2=2cos21=故答案为：点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及三角函数的化简求值，熟练掌握公式是解本题的关键6（5分）已知实数的最小值为3考点：简单线性规划5087943专题：计算题；图表型分析：画出平面区域，根据目标函数的特点确定其取得最小值的点，即可求出其最小值解答：解：不等式组所表示的平面区域，如图所示显然目标函数在点B（3，3）处取得最小值3故答案为：3点评：本题考查不等式组所表示的平面区域和简单的线性规划问题在线性规划问题中目标函数取得最值的点一定是区域的顶点和边界，在边界上的值也等于在这个边界上的顶点的值，故在解答选择题或者填空题时，只要能把区域的顶点求出，直接把顶点坐标代入进行检验即可7（5分）已知函数，若函数f（x）的零点所在的区间为（k，k+1）（kZ），则k=1考点：函数零点的判定定理5087943专题：函数的性质及应用分析：由函数的解析式可得可得f（1）0，f（2）0，根据函数f（x）的零点判定定理求得函数零点所在的区间解答：解：由于函数，可得f（1）=01=10，f（2）=ln2=lnln1=0，故函数f（x）的零点所在的区间为（1，2），故k=1，故答案为：1点评：本题主要考查函数零点的判定定理的应用，属于基础题8（5分）若双曲线的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，则m=1考点：双曲线的简单性质；抛物线的简单性质5087943专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：由抛物线的方程得到其焦点为F（2，0），从而得到双曲线的右焦点坐标，由此利用平方关系建立关于m的等式，解之即可得到实数m的值解答：解：y2=8x的焦点为F（2，0），根据题意得到双曲线的右焦点为F（2，0），可得c=2，解之得m=1故答案为：1点评：本题给出双曲线一个焦点与已知抛物线的焦点相同，求参数m之值着重考查了抛物线、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题9（5分）若函数f（x）=（x+a）（bx+2a）（a，bR）是偶函数，且它的值域为（，8，则ab=4考点：函数奇偶性的性质；二次函数的性质5087943专题：函数的性质及应用分析：根据函数奇偶性的性质和定义确定a，b的值即可解答：解：f（x）=（x+a）（bx+2a）=bx2+（2a+ab）x+2a2，f（x）是偶函数，f（x）=f（x），即bx2（2a+ab）x+2a2=bx2+（2a+ab）x+2a2，2a+ab=0，解得a=0或b=2当a=0时，f（x）=bx2，此时函数的值域不可能是（，8，a=0不成立当b=2时，f（x）=2x2+2a2，要使函数f（x）的值域是（，8，则2a2=8，即a2=4，a=2，ab=4，故答案为：4点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，以及二次函数的性质，比较基础10（5分）的图象与直线y=m相切，相邻切点之间的距离为若点A（x0，y0）是y=f（x）图象的一个对称中心，且，则x0=考点：三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的对称性5087943专题：三角函数的图像与性质分析：根据f（x）的图象与直线y=m相切，相邻切点之间的距离为，得到f（x）周期为，利用周期公式求出的值，确定出f（x）解析式，再根据点A（x0，y0）是y=f（x）图象的一个对称中心，且x00，得到2x0+=k，y0=0，即可求出x0的值解答：解：f（x）的图象与直线y=m相切，相邻切点之间的距离为，f（x）的周期为，即=，0，=2，f（x）=sin（2x+），点A（x0，y0）是y=f（x）图象的一个对称中心，且x00，2x0+=，y0=0，则x0=故答案为：点评：此题考查了三角函数的周期性及其求法，正弦函数的定义域与值域，以及正弦函数的对称性，熟练掌握运算法则是解本题的关键11（5分）椭圆的一条准线与x轴的交点为P，点A为其短轴的一个端点，若PA的中点在椭圆C上，则椭圆的离心率为考点：椭圆的简单性质5087943专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：设椭圆的右准线与x轴的交点为P，点A为椭圆的上顶点，根据椭圆方程算出A、P两点的坐标，从而得出PA的中点为（，），代入椭圆方程得到关于a、b、c的等式，解出a=即可得到该椭圆的离心率大小解答：解：设椭圆的右准线与x轴的交点为P，点A为椭圆的上顶点，椭圆的方程为，上顶点为A（0，b）右准线方程为x=，得P（，0），由此可得PA的中点为（，），代入椭圆方程得，化简得，可得a=，该椭圆的离心率为e=故答案为：点评：本题给出椭圆满足的条件，求椭圆的离心率着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题12（5分）函数f（x）=2x24x+1（xR），若f（x1）=f（x2），且x1x2，则的最小值为2考点：基本不等式在最值问题中的应用；二次函数的性质；函数最值的应用5087943专题：函数的性质及应用分析：利用二次函数单调函数的对称轴为x=1，由f（x1）=f（x2），得到x1=2x2，代入利用基本不等式，即可求出式子的最小值解答：解：f（x）=2x24x+1，二次函数的对称轴为x=1，又f（x1）=f（x2），x1=2x2，x2=2x1，x1x2，x11，则=，x11，x110，由基本不等式得则=，当且仅当x11=，即x11=1，即x1=2时取等号则的最小值为2故答案为：2点评：本题主要考查二次函数的性质，以及基本不等式的应用，综合性较强，注意基本不等式成立的三个条件13（5分）已知向量，满足，若，则所有可能的值为0或2考点：向量的模；平面向量的基本定理及其意义5087943专题：计算题；平面向量及应用分析：用，表示，利用余弦定理求出cosAOB，从而求出，再利用|=，求得解答：解：=+（）=（+1）+（1），|=1，|=2，|=，cosAOB=，=（+1）2+（1）2+2（21）=（+1）2+4（1）2+2（21）=7326=0=2或0故答案是：0或2点评：本题考查了向量的加、减混合运算，考查了向量的模与数量积运算，还考查了余弦定理，运算量较大，易出错14（5分）设圆x2+（y1）2=1的切线l与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B，当AB取最小值时，切线l在y轴上的截距为考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；直线的截距式方程；直线与圆的位置关系5087943专题：计算题；导数的综合应用；直线与圆分析：设直线l在x轴与y轴上的截距分别为a、b，得到直线l的截距式根据l与已知圆相切利用点到直线的距离公式，建立关于a、b的等式，化简得出a2=，由此算出AB2=设F（b）=，利用导数研究F（b）的单调性，得出当b=时F（b）=AB2有最小值，由此即可得到答案解答：解：设直线l与坐标轴的交点分别为A（a，0），B（0，b），可得a1且b2则直线l：，即bx+ayab=0直线l与圆x2+（y1）2=1相切，圆心（0，1）到直线l的距离等于半径，即=1，化简得a2=，因此，AB2=a2+b2=，设F（b）=，求导数得F（b）=，其中（b2）若F（b）=0，可得b=（另外两根小于2，舍去），b（2，）时，F（b）0；b（，+）时F（b）0F（b）在（2，）上单调递减；在（，+）单调递增因此，当b=时，AB2有最小值，此时a2=+2，得a=即当AB取最小值时，切线l在y轴上的截距为点评：本题给出动直线与定圆相切，求直线在两坐标轴上交点间的距离的最小值着重考查了直线的基本量与基本形式、直线与圆的位置关系利用导数研究函数的单调性等知识，属于中档题二、解答题：（本大题共6道题，计90分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15（14分）已知集合，B=x|（xm4）（xm+1）0（1）若m=2，求集合AB；（2）若AB=，求实数m的取值范围考点：其他不等式的解法；并集及其运算；交集及其运算5087943专题：计算题分析：（1）利用分式不等式的解法求出集合A，二次不等式的解法求出集合B，即可求解AB（2）通过AB=，得到不等式组，求出m的范围即可解答：解：（1）由得1x3即A=x|1x3，当m=2时，由（x6）（x1）0得x6或x1，B=x|x6或x1AB=x|x3或x6（2）由（xm4）（xm+1）0得xm+4或xm1即B=x|xm+4或xm1因为AB=，所以，即1m0点评：本题考查分式不等式的解法，二次不等式的解法，集合的交集与并集的求解，考查转化思想以及计算能力16（14分）在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，已知向量，且（1）求角B的大小；（2）若a+c=7，求的值考点：平面向量数量积的运算；余弦定理5087943专题：计算题；解三角形分析：（1）根据与的坐标，利用向量数量积公式与三角恒等变换化简整理，得到sinA（12cosB）=0，从而算出，可得角B的大小；（2）根据余弦定理b2=a2+c22accosB的式子，可得a2+c2ac=13，与a+c=7联解得到ac=12再由向量数量积的公式加以计算，即可得到的值解答：解：（1），cosB（sinC2sinA）+sinBcosC=0，即sinBcosC+cosBsinC2sinAcosB=0，化简得：sin（B+C）2cosBsinA=sinA（12cosB）=0A（0，），sinA0，结合B（0，），可得；（2），由（1）的计算可得，根据余弦定理b2=a2+c22accosB，得，又a+c=7，平方得（a+c）2=a2+2ac+c2=49，由联解，可得ac=12因此，点评：本题给出以三角形内角的三角函数为坐标的向量互相垂直，求角B的大小并依此求向量的数量积着重考查了向量的数量积、三角恒等变换公式和解三角形等知识，属于中档题17（15分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆M：x2+y28x+6=0，过点P（0，2）且斜率为k的直线与圆M相交于不同的两点A，B，线段AB的中点为N（1）求k的取值范围；（2）若ONMP，求k的值考点：直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式5087943专题：计算题；直线与圆分析：（1）求出已知圆的圆心与半径，设直线方程为y=kx+2根据直线与圆M相交，利用点到直线的距离公式建立关于k的不等式，解之可得实数k的取值范围；（2）由平行直线的斜率相等，得到直线ON的方程为，与y=kx+2联解得到交点，由圆的性质得MNAB，建立关于k的方程，解之即可得到实数k的值解答：解：（1）设已知直线方程为y=kx+2，即kxy+2=0，将圆的方程化为（x4）2+y2=10，可得圆心为M（4，0）、半径r=直线与圆M相交于不同的两点A、B，圆心M到直线的距离小于半径，即，化简得（4k+2）210（k2+1），解得（2）ONMP，且MP斜率为，直线ON的斜率也等于，可得ON的方程为，由，解得，可得，又N是AB中点，由圆的性质，得MNAB，由此可得，解之得，即当ONMP时，实数k的值等于点评：本题给出经过定点的直线与圆相交，求参数k的取值范围，并在满足两直线平行的情况下求k值着重考查了直线的基本量与基本形式、圆的标准方程、直线与圆的位置关系和点到直线的距离公式等知识，考查了学生的逻辑推理能力与计算能力，考查了函数方程与数形结合的数学思想，属于中档题18（15分）某小区有一块三角形空地，如图ABC，其中AC=180米，BC=90米，C=90，开发商计划在这片空地上进行绿化和修建运动场所，在ABC内的P点处有一服务站（其大小可忽略不计），开发商打算在AC边上选一点D，然后过点P和点D画一分界线与边AB相交于点E，在ADE区域内绿化，在四边形BCDE区域内修建运动场所现已知点P处的服务站与AC距离为10米，与BC距离为100米设DC=d米，试问d取何值时，运动场所面积最大？考点：基本不等式在最值问题中的应用5087943专题：计算题分析：解法一：以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CA所在直线为y轴建立直角坐标系，得到C、A、B、P、D的坐标，再写出直线DE、AB的方程，由此联立解出E的坐标，进而表示ADE的面积，利用基本不等式的知识分析可得答案；解法二：分别过点P，E作AC的垂线，垂足为Q，F，设EF=h，分情况讨论可得EF的长度，进而可以表示ADE的面积，再利用基本不等式的知识分析可得答案解答：解：法一：以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CA所在直线为y轴建立直角坐标系，则C（0，0），A（0，180），B（90，0），P（10，100），D（0，d）DE直线方程：，AB所在直线方程为2x+y=180，解、组成的方程组得，直线DE经过点B时，设，=，（当且仅当t=60，即k=4时取等号），此时d=120t=60，当d=60时，绿化面积最小，从而运动区域面积最大法二：如图，分别过点P，E作AC的垂线，垂足为Q，F，设EF=h，若如图1所示，则PQ=10，CQ=100，DQ=100d，由AFEACB得，即AF=2h，从而CF=1802h，DF=1802hd，由DPQDEF得，解得若如图2所示，则PQ=10，CQ=100，DQ=d100，AF=2h，CF=1802h，DF=2h+d180，由DPQDEF得，解得；由0h90得，由，设，=，（当且仅当t=60，即k=4时取等号），此时d=120t=60，当d=60时，绿化面积最小，从而运动区域面积最大点评：本题考查基本不等式的应用，关键是根据题意，建立正确的模型，得到关于关于三角形面积的不等关系式19（16分）如图，椭圆C1：（ab0）和圆C2：x2+y2=b2，已知圆C2将椭圆C1的长轴三等分，椭圆C1右焦点到右准线的距离为，椭圆C1的下顶点为E，过坐标原点O且与坐标轴不重合的任意直线l与圆C2相交于点A、B（1）求椭圆C1的方程；（2）若直线EA、EB分别与椭圆C1相交于另一个交点为点P、M求证：直线MP经过一定点；试问：是否存在以（m，0）为圆心，为半径的圆G，使得直线PM和直线AB都与圆G相交？若存在，请求出所有m的值；若不存在，请说明理由考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程5087943专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（1）由圆C2将椭圆C1的长轴三等分，可得；又椭圆C1右焦点到右准线的距离为，可得，及a2=b2+c2即可得出；（2）由题意知直线PE，ME的斜率存在且不为0，设直线PE的斜率为k，则PE：y=kx1，与椭圆的方程联立可得点P的坐标，同理可得点M的坐标，进而得到直线PM的方程，可得直线PM过定点由直线PE的方程与圆的方程联立可得点A的坐标，进而得到直线AB的方程假设存在圆心为（m，0），半径为的圆G，使得直线PM和直线AB都与圆G相交，则圆心到二直线的距离都小于半径即（i），（ii）得出m的取值范围存在即可解答：解：（1）由圆C2将椭圆C1的长轴三等分，则a=3b，又椭圆C1右焦点到右准线的距离为，b=1，则a=3，椭圆方程为（2）由题意知直线PE，ME的斜率存在且不为0，设直线PE的斜率为k，则PE：y=kx1，由得或，用去代k，得，PM：，即，直线PM经过定点由得或，则直线AB：，设，则tR，直线PM：，直线AB：y=5tx，假设存在圆心为（m，0），半径为的圆G，使得直线PM和直线AB都与圆G相交，则（i），（ii）由（i）得对tR恒成立，则，由（ii）得，对tR恒成立，当时，不合题意；当时，得，即，存在圆心为（m，0），半径为的圆G，使得直线PM和直线AB都与圆G相交，所有m的取值集合为点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到交点的坐标、直线与圆相交问题转化为圆心到直线距离小于半径、点到直线的距离公式、恒成立问题的等价转化等基础知识与搅拌机能力、考查了推理能力、计算能力，属于难题20（16分）已知函数，其中a为实常数（1）若f（x）3x在（1，+）上恒成立，求a的取值范围；（2）已知，P1，P2是函数f（x）图象上两点，若在点P1，P2处的两条切线相互平行，求这两条切线间距离的最大值；（3）设定义在区间D上的函数y=s（x）在点P（x0，y0）处的切线方程为l：y=t（x），当xx0时，若在D上恒成立，则称点P为函数y=s（x）的“好点”试问函数g（x）=x2f（x）是否存在“好点”若存在，请求出所有“好点”坐标，若不存在，请说明理由考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数恒成立问题；函数最值的应用5087943专题：导数的综合应用分析：（1）方法一：讨论二次项系数是否为0，然后讨论开口方向结合利用二次函数的性质求出a的取值范围；方法二：利用参变量分离法进行求解，将a分离出来，然后研究不等式另一侧函数的最大值即可求出a的取值范围；（2）先利用导数分别求出切线的斜率，然后表示出两切线方程，最后利用两平行线的距离公式表示出这两条切线间距离，再利用基本不等式可求出最大值；（3）设g（x）存在“好点”P（x0，y0），然后根据“好点”的定义建立关系式，讨论a的正负可求出“好点”坐标解答：解：（1）方法一：f（x）3x在（1，+）上恒成立，即为（a3）x2+6x+20在（1，+）上恒成立，a=3时，结论成立；a3时，函数h（x）=（a3）x2+6x+2图象的对称轴为，所以函数h（x）=（a3）x2+6x+2在（1，+）单调递增，依题意h（1）0，即a5，所以a3；a3不合要求，综上可得，实数a的取值范围是a3方法二：f（x）3x在（1，+）上恒成立等价于，令因为x1，所以，故5h（x）3所以a3（2）设P1（x1，y1），P2（x2，y2），在点P1，P2处的两切线互相平行，则，所以x1=x2（舍去），或x1=x2，过点P1的切线l1：yy1=f（x1）（xx1），即f（x1）xy+f（x1）x1f（x1）=0，过点P2的切线l2：f（x2）xy+f（x2）x2f（x2）=0两平行线间的距离是=，因为，所以d，即两平行切线间的最大距离是（3）g（x）=x2f（x）=ax3+6x2+2x，设g（x）存在“好点”P（x0，y0），由g（x）=3ax2+12x+2，得h（x）=g（x0）（xx0）+g（x0），依题意对任意xx0恒成立，因为=，所以对任意xx0恒成立，若a0，不可能对任意xx0恒成立，即a0时，不存在“好点”；若a0，因为当x=x0时，要使对任意xx0恒成立，必须，所以，综上可得，当a0时，不存在“好点”；当a0时，存在惟一“好点”为点评：本题主要考查了导数的几何意义，以及函数的单调性与导数的关系的应用和恒成立问题，恒成立求参数常常利用参变量分离法进行求解，同时考查运算求解能力，推理论证能力，化归与转化思想对数学思维的要求比较高，有一定的探索性综合性强，难度大，是高考的重点解题时要认真审题，仔细解答21（10分）已知矩阵的一个特征值是1，求矩阵A的另一个特征值，及属于的一个特征向量考点：特征值与特征向量的计算5087943专题：计算题分析：根据特征多项式的一个零点为1，可得a=4，再回代到方程f（）=0即可解出另一个特征值为=5最后利用求特征向量的一般步骤，可求出其对应的一个特征向量解答：解：矩阵的特征多项式是f（）=（1）（3）2a，由f（1）=0得a=4，令f（）=0，则=1或=5，解方程组，可得一组不为零的解是，所以矩阵A的另一个特征值是5，属于5的一个特征向量是点评：本题给出含有字母参数的矩阵，在知其一个特征值的情况下求另一个特征值和相应的特征向量，考查了特征值与特征向量的计算的知识，属于基础题22（10分）已知的展开式中第2项的二项式系数与第3项的二项式系数之比为1：7（1）求n的值；（2）求展开式中的常数项（用组合数表示）考点：二项式系数的性质5087943专题：计算题分析：（1）先求出二项式展开式的通项，根据第2项的二项式系数与第3项的二项式系数之比为1：7，可得，由此解得n的值（2）在二项式展开式的通项中，令x的幂指数等于零，求得r的值，可得常数项解答：解：（1）由于二项式展开式的通项为，第2项的二项式系数与第3项的二项式系数之比为1：7，即 =，即 ，化简可得 n1=14，解得n=15（2）由（1）得二项式展开式的通项为 ，令，则r=6，常数项为第7项，即点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题23（10分）（2010西城区二模）一个盒子中装有5张卡片，每张卡片上写有一个数字，数字分别是1、2、3、4、5，现从盒子中随机抽取卡片（）若从盒子中有放回的取3次卡片，每次抽取一张，求恰有两次取到的卡片上数字为偶数的概率；（）若从盒子中依次抽取卡片，每次抽取一张，取