高三数学辅导讲座 函数三

函数（三）,六、幂函数、指数函数与对数函数,【讲解】由a0且a1知t3ax是减函数，从而lg(3ax)也是减函数，故只有a1时，f(x)才是减函数；另外，x1，1时，要保证3ax0，为此只须考虑最小值：x1时,tmin=3a，要3a0，则a3，综上知1a3,例2如果不等式x20在区间上恒成立，那么实数a的取值范围是_,【讲解】设yx2y当a1时，函数在上取负值，因此不可能有x2成立在上函数的最大值是，在上，当0a1时，的最小值是，,略解：(1)x的指数是0,所以原式=1(2)x的指数是=0所以原式=1,(3)原式=,解：令121995=a0则,所以,例8.对于自然数a,b,c(abc)和实数x,y,z,w若,(1)ax=by=cz=70w(2)求证：a+b=c,例9.已知A=6lgp+lgq，其中p,q为素数，且满足q-p=29，求证：3A4,证明：由于p、q为素数，其差q-p=29为奇数，p=2,q=31A=6lg2+lg31=lg(6431)=lg19841000198410000故3A0由平均值不等式,故,例11.已知00得a21,即a1令f(t)=t2-2at+1,f(a)=a2-2a2+1=1-a20,下略,例16.解方程：lg2x-lgx-2=0(其中x表示不大于实数x的最大整数),解：由x的定义知，xx，故原方程可变为不等式：lg2x-lgx-20即-1lgx2,当-1lgx4,即x2+ax+54此不等式有无穷多解,由于当u0时，均为单调增函数，所以它们的乘积也是单增函数,由f(4)=1知，(2)等价于0u4，即0x2+ax+54从上式可知，只有当x2+ax+5=4有唯一解即=a2-4=0，a=2时，不等式0x2+ax+54有唯一解x=-1综上所述，当a=2时原不等式有且只有一个解,又当k=0时，代入原式可推出a=0与已知矛盾，故k的取值范围为(-,-1)U(0,1),分别解关于的不等式、方程得：(k0时）,所以解得k-1或0k0得，x0,所以函数的定义域为(-,0)令3x=t,则t(0,1)，于是,故当x=-1时，得y的最小值-2+2log23,例22已知函数f(x)和g(x)都是奇函数，且F(x)=af(x)+bg(x)+2，若在(0,+)上F(x)有最大值8,则在(,0)上F(x)有(A)最小值8(B)最小值4(C)最小值6(D)最大值8,【解】设x0，则x0，依题意F(x)af(x)+bg(x)+28f(x)和g(x)是奇函数af(x)bg(x)+28af(x)+bg(x)6F(x)af(x)+bg(x)+24故F(x)在（，0）上有最小值4应选（B）,例23求函数的值域【讲解】和这两项的平方和是常数，而平方之积是二次三项式据这个特点可以演变出下面多种解法,【解法1】易知定义域为0x1，0x1x2+x的值域是0，的值域是0，的值域是1，,又由0x1知x2x,，且x1或0时等号成立综合以上结果知，的值域是1，,解之，得当y1时x1或0，时，故两个等号皆成立，故值域为,【解法4】且设，则值域为1，,例24已知函数,定义域为,且ab，求函数的最小值,【讲解】若把定义域扩大为,那么用平均值不等式知，xb时，y有最小值2b,而当时，,于是猜想，在上函数递减，当然在上也是减函数于是有下面的解法1和2,【解法2】令0x1x2ab，则x1x20且x1x2b2，f(x1)f(x2)(x1x2)f(x1)f(x2)即f(x)在上是减函数，xa时，y最小且,【讲解】另一个途径就是对函数解析式做出变形，一方面可以变换为x的一元二次方程，用根的判别式建立y的不等式，另一方面可以创造条件使用均值不等式，或配方，以构造y的不等式，另外，函数解析式变形后，可以和三角公式相联系，寻求三角代换的方法,【讲解3】函数式化为x2yx+b20依题意，该方程在上有实根，于是=y24b20，即y2b而函数(x)x2yx+b2图像的对称