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2012年信息安全数学基础期末考试试题1 证明：如果是整数，则能被3整除。2 用广义欧几里德算法求最大公因子3 设是一个正整数，如果，证明：。4 解方程5 解方程组6 计算3模19的指数。7、计算的Legendre符号8 证明：91是对基3的拟素数。9 设是群到的一个同态，其中是的单位元。证明：是的子群。10 设是群的一个元素。证明：映射是到自身的自同构。2012年信息安全数学基础期末考试试题答案1 证明：因为a3-a=(a-1)a(a+1) 当a=3k，kZ 3|a 则3|a3-a 当a=3k-1，kZ 3|a+1 则3|a3-a 当a=3k+1，kZ 3|a-1 则3|a3-a 所以a3-a能被3整除。2. 12075=2*4655+2765 4655=1*2765+1890 2765=1*1890+875 1890=2*875+140 875=6*140+35 140=4*35所以=353. 因为d|m，所以存在整数使得。又因为，所以存在整数使得。该式又可以写成。故。4. 计算最大公因式(987,2668)=1，所以原同余式有解且只有一个解。利用广义欧几里德除法，求同余式的解为。再写出同余式的解为。5 令， ，。分别求解同余式（i=1,2,3）得到，。故同余式的解为6 解：因为(19)=18,所以只需对18的因数d=1,2,3,6,9,18计算ad(mod12) 因为313, 329, 338, 367, 39-1, 2181(mod13) 所以3模19的指数为18；7 8 证明：因为91=13*7是奇合数， (3,91)=1 又36=7291(mod91) 则391-1=390(36)151(mod91) 则91是对于基3的拟素数。9 对任意，有，从而，。因此，是群的子群。10 证明：（1）任取。计算因此是同态映射。（2）若，且。那
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