2014-2015学年福建省南平市政和二中高三（上）第二次月考数学试卷（理科）（解析版）

2014-2015学年福建省南平市政和二中高三（上）第二次月考数学试卷（理科）一、选择题（每题5分，共50分）1已知命题p：xR，sinx1，则（）A p：xR，sinx1B p：xR，sinx1C p：xR，sinx1D p：xR，sinx12若复数z满足zi=1i，则z等于（）A 1iB 1iC 1+iD 1+i3设f（x）=ex+x4，则函数f（x）的零点所在区间为（）A （1，0）B （0，1）C （1，2）D （2，3）4下列函数中，既是奇函数又是在其定义域上是增函数的是（）A y=x+1B y=x3C y=D y=x|x|5函数y=loga（|x|+1）（a1）的图象大致是（）A B C D 6如图，在ABC中，ADAB，BC=BD，AD=1，则等于（）A B C D 7已知平面向量、的夹角为60，则=（，1），|=1，则|+2|（）A 2B C 2D 28若函数的最小正周期为，为了得到函数f（x）的图象，只要将y=sin2x的图象（）A 向左平移个单位长度B 向右平移个单位长度C 向左平移个单位长度D 向右平移个单位长度9已知函数y=Asin（x+）+B的一部分图象如图所示，如果A0，0，|，则（）A A=4B =1C =D B=410从如图所示的正方形OABC区域内任取一个点M（x，y），则点M取自阴影部分的概率为（）A B C D 二、填空题（每题4分，共20分）11已知函数，则f（2）=12已知向量，满足，则向量与向量的夹角为13如果sin（+）cos（）=，则tan=14已知数列an满足a1=0，a2=1，an+2=3an+12an，则通项公式an=15下列命题：函数y=的单调区间是（，1）（1，+）函数y=2sin（2x）的一个单调递增区间是；函数图象关于直线对称已知函数f（x）=exmx+1的图象为曲线C，若曲线C存在与直线y=垂直的切线，则实数m的取值范围是m2其中正确命题的序号为三、解答题（6题80分）16已知在等差数列an中，a2=11，a5=5（1）求通项公式an； （2）求前n项和Sn的最大值17ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，向量m=（2sinB，2cos2B），n=（1+sinB，1），且mn（）求角B的大小；（）若ABC不是钝角三角形，且a=，b=1，求ABC的面积18已知函数f（x）=sin2xcos2x，xR（）当x，时，求函数f（x）的最小值和最大值；（）设ABC的对边分别为a，b，c，若c=，f（C）=0，sinB=2sinA，求a，b的值19已知数列an满足a1=3，数列bn满足（1）证明数列bn是等差数列并求数列bn的通项公式；（2）求数列an的前n项和Sn20已知函数f（x）=mxlnx（mR）（）当m=1时，求曲线y=f（x）在x=2处切线方程；（）求f（x）的单调区间21已知f（x）=（x2+ax+a）ex（a2，xR）（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；（2）是否存在实数a，使f（x）的极大值为3？若存在，求出a的值，若不存在，说明理由2014-2015学年福建省南平市政和二中高三（上）第二次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共50分）1已知命题p：xR，sinx1，则（）A p：xR，sinx1B p：xR，sinx1C p：xR，sinx1D p：xR，sinx1考点：命题的否定专题：阅读型分析：本题所给的命题是一个特称命题，存在性命题的否定是一个全称合理，把存在符号变为任意符号，将结论否定即可解答：解：p：xR，sinx1，p：xR，sinx1考查四个选项，D正确故选D点评：本题考查命题的否定，求解本题的关键是正确理解含有量词的命题的否定的书写格式与规则，即特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题2若复数z满足zi=1i，则z等于（）A 1iB 1iC 1+iD 1+i考点：复数代数形式的乘除运算专题：计算题分析：由复数z满足zi=1i，可得z=，运算求得结果解答：解：复数z满足zi=1i，z=1i，故选A点评：本题主要考查两个复数代数形式的除法，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题3设f（x）=ex+x4，则函数f（x）的零点所在区间为（）A （1，0）B （0，1）C （1，2）D （2，3）考点：函数零点的判定定理专题：函数的性质及应用分析：直接利用零点定理判断即可解答：解：f（x）=ex+x4，f（1）=e1140，f（0）=e0+040，f（1）=e1+140，f（2）=e2+240，f（3）=e3+340，f（1）f（2）0，由零点判定定理可知，函数的零点在（1，2）故选：C点评：本题考查函数的零点判定定理的应用，基本知识的考查4下列函数中，既是奇函数又是在其定义域上是增函数的是（）A y=x+1B y=x3C y=D y=x|x|考点：奇偶性与单调性的综合专题：函数的性质及应用分析：分别判断四个函数是否是奇函数，且在定义域内为增函数即可解答：解：Ay=x+1在定义域内非奇非偶函数，不满足条件B在定义域内y=x3是奇函数，且在定义域内单调递减，不满足条件C在定义域内y=是奇函数，且在定义域内不是单调函数，不满足条件Dy=x|x|=是奇函数，在其定义域上是增函数，满足条件故选：D点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质5函数y=loga（|x|+1）（a1）的图象大致是（）A B C D 考点：对数函数的图像与性质专题：数形结合分析：先画y=logax，然后将y=logax的图象向左平移1个单位得y=loga（x+1），再保留y=loga（x+1）图象在y轴的右边的图象，y轴左边的图象与之对称即得到函数yloga（|x|+1）（a1）的大致图象解答：解：先画y=logax，然后将y=logax的图象向左平移1个单位得y=loga（x+1），再保留y=loga（x+1）图象在y轴的右边的图象，y轴左边的图象与之对称即得到函数yloga（|x|+1）（a1）的大致图象故选B点评：本题考查对数函数的图象和性质，解题时要注意图象的变换6如图，在ABC中，ADAB，BC=BD，AD=1，则等于（）A B C D 考点：向量在几何中的应用专题：解三角形；平面向量及应用分析：利用平面向量的基本运算与解三角形的基础知识，求解向量的数量积即可解答：解：=cosDAC，|=1，=cosDAC=|cosDAC，BAC=+DAC，cosDAC=sinBAC，=cosDAC=|cosDAC=|sinBAC，在ABC中，由正弦定理得=变形得|AC|sinBAC=|BC|sinB，=cosDAC=|cosDAC=|sinBAC，=|BC|sinB=|BC|=，故选：B点评：本题考查平面向量的数量积，向量在几何中的应用，平面向量的身影，且均属于中等题或难题，应加强平面向量的基本运算的训练，尤其是与三角形综合的问题7已知平面向量、的夹角为60，则=（，1），|=1，则|+2|（）A 2B C 2D 2考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角专题：计算题分析：根据的坐标求出它的模，利用数量积运算求出所求向量的模解答：解：由=（，1）得，|=2，则|+2|=2，故选C点评：本题考查两个向量的数量积坐标运算公式的应用，利用向量坐标形式进行运算求出对应向量的模8若函数的最小正周期为，为了得到函数f（x）的图象，只要将y=sin2x的图象（）A 向左平移个单位长度B 向右平移个单位长度C 向左平移个单位长度D 向右平移个单位长度考点：由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（x+）的图象变换专题：计算题分析：利用已知条件求出，得到函数的解析式，然后利用左加右减的原则，确定平移的方向与单位解答：解：因为函数的最小正周期为，所以=，所以函数的解析式为：，为了得到函数f（x）的图象，只要将y=sin2x的图象向左平移个单位长长度即可故选C点评：本题考查函数的解析式的求法，函数的图象的变换，考查计算能力9已知函数y=Asin（x+）+B的一部分图象如图所示，如果A0，0，|，则（）A A=4B =1C =D B=4考点：由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式专题：计算题分析：先根据函数的最大值和最小值求得A和B，然后利用图象中求得函数的周期，求得，最后根据x=时取最大值，求得解答：解：如图根据函数的最大值和最小值得求得A=2，B=2函数的周期为（）4=，即=，=2当x=时取最大值，即sin（2+）=1，2+=2k+=2k=故选C点评：本题主要考查了由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式考查了学生基础知识的运用和图象观察能力10从如图所示的正方形OABC区域内任取一个点M（x，y），则点M取自阴影部分的概率为（）A B C D 考点：定积分在求面积中的应用；几何概型专题：计算题分析：欲求所投的点落在叶形图内部的概率，须结合定积分计算叶形图（阴影部分）平面区域的面积，再根据几何概型概率计算公式易求解解答：解：可知此题求解的概率类型为关于面积的几何概型，由图可知基本事件空间所对应的几何度量S（）=1，满足所投的点落在叶形图内部所对应的几何度量：S（A）=所以P（A）=故选：B点评：几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P=求解二、填空题（每题4分，共20分）11已知函数，则f（2）=2考点：函数的值专题：计算题分析：考查对分段函数的理解程度，因为20，所以用上面一个式子代入得到：f（2）=222=2，解答：解：当x0时，f（x）=x2x，f（2）=222=2故答案为：2点评：此题是分段函数当中经常考查的求分段函数值的小题型，主要考查学生对“分段函数在定义域的不同区间上对应关系不同”这个本质含义的理解12已知向量，满足，则向量与向量的夹角为60考点：数量积表示两个向量的夹角专题：计算题；平面向量及应用分析：由算出=，再由平面向量的夹角公式，即可算出向量与向量的夹角大小解答：解：，可得，=设向量与向量的夹角为，则cos=0，180，=60故答案为：60点评：本题给出向量互相垂直，求向量与向量的夹角大小着重考查了平面向量的数量积公式及其应用的知识，属于基础题13如果sin（+）cos（）=，则tan=1考点：运用诱导公式化简求值；同角三角函数间的基本关系专题：三角函数的求值分析：直接利用诱导公式化简，然后弦切互化求解即可解答：解：由sin（+）cos（）=，得sincos=，则=，即=，解得：tan=1故答案为：1点评：本题考查诱导公式的应用，三角函数的化简求值，考查计算能力14已知数列an满足a1=0，a2=1，an+2=3an+12an，则通项公式an=2n11考点：数列递推式专题：等差数列与等比数列分析：通过数列的递推关系式，推出新数列是等比数列，然后求解通项公式，利用累加法求解即可解答：解：an+2=3an+12an，an+2an+1=2（an+1an），数列an+1an是以1为首项，2为公比的等比数列，故答案为：2n11点评：本题考查等比数列的证明方法；累加法求通项公式；等比数列的求和公式，考查分析问题解决问题的能力15下列命题：函数y=的单调区间是（，1）（1，+）函数y=2sin（2x）的一个单调递增区间是；函数图象关于直线对称已知函数f（x）=exmx+1的图象为曲线C，若曲线C存在与直线y=垂直的切线，则实数m的取值范围是m2其中正确命题的序号为考点：命题的真假判断与应用专题：简易逻辑分析：函数y=，只讨论在（，1）和（1，+）的单调性；根据三角形函数的图象和性质判断；求出曲线C：f（x）的导数，即C的切线斜率，因与直线y=x垂直，可得m的取值范围解答：解：对于函数y=1在区间（，1）和（1，+）都是增函数，但在（，1）（1，+）上不是增函数故错误；对于函数y=2sin（2x）的单调递增，+2k2x2k+，即+kxk+，当k=0时，即为，即x，故正确；对于函数图象的对称轴为2x+=k+，即x=+，当k=1收，x=，当k=0时，x=，故错误；对于曲线C的方程：f（x）=exmx+1，f（x）=exm，由曲线C的切线与直线y=x垂直，得（exm）=1，m=ex+22，故正确；故答案为：点评：本题通过命题真假的判定，考查了函数的单调性，三角函数的性质，导数知识的应用，是容易出错的题目，属于中档题三、解答题（6题80分）16已知在等差数列an中，a2=11，a5=5（1）求通项公式an； （2）求前n项和Sn的最大值考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式专题：计算题；等差数列与等比数列分析：（1）设等差数列an的公差为d，可得 ，解之代入通项公式可得；（2）由（1）可得Sn=（n7）2+49，由二次函数的最值可得解答：解：（1）设等差数列an的公差为d，则 ，解得an=13+（n1）（2）=2n+15（2）由（1）可得Sn=13n+=n2+14n=（n7）2+49当n=7时，Sn有最大值，为S7=49点评：本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题17ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，向量m=（2sinB，2cos2B），n=（1+sinB，1），且mn（）求角B的大小；（）若ABC不是钝角三角形，且a=，b=1，求ABC的面积考点：正弦定理；平面向量数量积的运算专题：解三角形分析：（）由两向量垂直时满足的关系列出关系式，求出sinB的值，即可确定出角B的大小；（）法1：由三角形不为钝角三角形，求出B的度数，再由a与b的值，利用正弦定理求出sinA的值，确定出A的度数，进而得到C为直角，即可求出三角形ABC面积；法2：由三角形不为钝角三角形，求出B的度数，利用余弦定理求出c的值，再利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积解答：解：（）=（2sinB，2cos2B），=（1+sinB，1），且，2sinB+2sin2B+cos2B2=2sinB+2sin2B2sin2B+12=0，即sinB=，B为三角形内角，B=或；（）法1：ABC不是钝角三角形，B=，由正弦定理=得：sinA=，A=，即C=，则SABC=ab=；法2：ABC不是钝角三角形，B=，由余弦定理得：b2=a2+c22accosB，1=3+c23c，c=1或c=2，经检验，当c=1时，ABC是钝角三角形，不符合题意，舍去，则SABC=acsinB=点评：此题考查了正弦定理，平面向量的数量积运算，以及余弦定理，熟练掌握定理是解本题的关键18已知函数f（x）=sin2xcos2x，xR（）当x，时，求函数f（x）的最小值和最大值；（）设ABC的对边分别为a，b，c，若c=，f（C）=0，sinB=2sinA，求a，b的值考点：余弦定理；两角和与差的正弦函数专题：解三角形分析：（）f（x）解析式利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由x的范围求出这个叫哦的范围，利用正弦函数的值域即可确定出f（x）的最小值和最大值；（）由f（C）=0，以及第一问确定的函数解析式，求出C的度数，利用正弦定理化简sinB=2sinA，得到b=2a，再利用余弦定理列出关系式，将b=2a，c，以及cosC的值代入求出a与b的值即可解答：解：（）f（x）=sin2x=sin2xcos2x=sin（2x）1，x，2x，sin（2x）1，即1sin（2x）10，f（x）的最小值为1，最大值为0；（）由f（C）=0，得f（C）=sin（2C）1=0，即sin（2C）=1，C（0，），2C（，），2C=，即C=，由正弦定理化简sinB=2sinA，得：b=2a，由余弦定理得：c2=a2+b22abcosC，将c=，b=2a，cosC=，代入得：3=a2+4a22a2=3a2，解得：a=1，则a=1，b=2a=2点评：此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，二倍角的余弦函数公式，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握定理及公式是解本题的关键19已知数列an满足a1=3，数列bn满足（1）证明数列bn是等差数列并求数列bn的通项公式；（2）求数列an的前n项和Sn考点：数列递推式；等差数列的通项公式；数列的求和专题：计算题；等差数列与等比数列分析：（1）由，可得，然后检验bn+1bn是否为常数即可证明，进而可求其通项（2）由题意可先求an，结合数列的通项的特点，考虑利用错位相减求和即可求解解答：解（1）证明：由，得，（2分）所以数列bn是等差数列，首项b1=1，公差为（4分）（6分）（2）（7分）Sn=a1+a2+an=31+43+（n+2）3n1（9分）得=2+1+3+32+3n1（n+2）3n=（11分）（12分）点评：本题主要考查了利用数列的递推公式证明等差数列，及等差数列的通项公式的应用，数列的错位相减求和方法的应用20已知函数f（x）=mxlnx（mR）（）当m=1时，求曲线y=f（x）在x=2处切线方程；（）求f（x）的单调区间考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程专题：导数的综合应用分析：（）先将m=1代入函数的表达式，求出函数的导数，从而求出切点的坐标以及直线的斜率，代入点斜式方程整理即可；（）先求出函数的导数，通过讨论m的符号，从而得到函数的单