2015届江苏高考数学南通一校四题

江苏省南通中学试题1已知椭圆C：的左右焦点分别为，点P为椭圆C上的任意一点，若以三点为顶点的等腰三角形一定不可能为钝角三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是 解析：因为点P的横坐标x0一定满足，且当点P在短轴顶点时，一定为锐角或直角，所以，所以离心率的取值范围是知识点：椭圆的定义与离心率；难度：0.42在三棱锥P-ABC中，面PAB、PAC、PBC两两垂直，且PABC（1）求证：；（2）求点P到面ABC的距离（1）证明：在三角形PBC内过边BC上一点D作两条直线DE、DF分别垂直于边PB、PC，则因为面PAB面PBC，面PAB面PBC=PB，DE面PBC，DEPB，所以DE面PAB，因为PA面PAB，所以DEPA同理，DFPA又因为DE DF=D，DE，DF面PBC，所以PA面PBC，因为BC面PBC，所以；（2）解：由（1）可知，PA、PB、PC两两垂直，所以，PABCDEF 则三角形ABC中， 所以， 三角形ABC的面积为， 因为三棱锥P-ABC的体积为， 所以本题还可以作出高PH求解知识点：直线、平面间的平行垂直，棱锥的体积公式；难度：0.63设函数（1）试确定和的单调区间及相应区间上的单调性；（2）说明方程是否有解；（3）对，指出关于x的方程的解的个数，并证明相关结论解：（1）因为，所以， 因此为R上的单调减函数 因为，所以，+- 所以，在上为单调减函数，在上为单调增函数；（2）由（1）可知，所以无解；（3）猜想为偶数时，无解；为奇数时，有唯一解证明如下：当为偶数时，设，则在上为单调减函数，在上为单调增函数， 所以当为偶数时无解；当n为奇数时，设；所以为减函数，而，所以方程有唯一解（在区间上）知识点：导数在研究函数上的应用，函数与方程；难度：0.74设数列满足，且满足，求二阶矩阵M解：由题意可知，设矩阵，因为，所以，所以知识点：矩阵与变换，矩阵的乘法；难度：0.9海门市三厂中学1.已知函数f(x)=x3+x2+ax+2，x1,2的图像上存在两点，在这两点处的切线互相垂直，则a的取值范围为_.解：f (x)=x2+x+a在x1,2上递增，则f (x) a+2,a+6,依题意有：(a+2)(a+6)-1,解得：-4-x-4+2. 已知椭圆的左右焦点分别为、，短轴两个端点为、，且四边形是边长为2的正方形.（I）求椭圆方程；（）若分别是椭圆长轴的左右端点，动点满足，连接，交椭圆于点，证明：为定值；（III）在（）的条件下，试问轴上是否存在异于点的定点，使得以为直径的圆恒过直线的交点？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.解：（I），椭圆方程为,4分（），设，则,直线：，即，代入椭圆得,，（定值）,10分（III）设存在满足条件，则, 14分3. 已知函数，（）（）对于函数中的任意实数x，在上总存在实数，使得成立，求实数的取值范围（）设函数，当在区间内变化时， （1）求函数 的取值范围； （2）若函数 有零点，求实数m的最大值.解：（）原命题，先求函数的最小值，得.当时，；当时，故当时，取得极（最）小值，其最小值为；而函数的最小值为m,故当时，结论成立（）（1）：由，可得，把这个函数看成是关于的一次函数，（1）当时，因为，故的值在区间上变化，令，则，在为增函数，故在最小值为，又令，同样可求得在的最大值，所以函数在的值域为-2，-1 （）（2）当时，的最大值，故对任意，在均为单调递减函数，所以函数当时，因为，故的值在区间上变化，此时，对于函数，存在，在单调递减，在单调递增，所以，在的最大值为，因为，所以，故的最大值是，又因为，故当函数有零点时，实数m的最大值是.4. 设函数，已知与有且仅有一个公共点 (1)求m的值；(2)对于函数，若存在a，b，使得关于的不等式对于定义域上的任意实数恒成立，求a的最小值以及对应的的解析式（1）令，即，可得，设，则，令，得当时，递增；当时，递减考虑到时，时，；时，考虑到，故，因此4分（2）由（1）知，可知 6分（）由对恒成立，即对恒成立，所以，解得8分（）由对恒成立，即对恒成立，设，则，令，得当时，递增；当时，递减故，则须，即得由得 10分存在a，b，使得成立的充要条件是：不等式有解12分不等式可化为，即，令，则有，设，则，可知在上递增，上递减又，所以在区间内存在一个零点，故不等式的解为，即，得因此a的最小值为2，代入得，故，对应的的解析式为 16分海门中学一校四题1. 设是函数在的导函数，对，且若，则实数的取值范围为 答案：；提示：令，则可证是奇函数，且在上是增函数，2. 在平面直角坐标系中，已知圆经过，三点，是线段上的动点， 是过点且互相垂直的两条直线，其中交轴于点，交圆于、两点（1）若，求直线的方程；（2）若是使恒成立的最小正整数，求的面积的最小值解：（1）由题意可知，圆C的直径为AD，所以，圆C方程为：设方程为：，则，解得 ，当时，直线与y轴无交点，不合，舍去所以，此时直线的方程为 （2）设，由点M在线段AD上，得，即 由AM2M，得 依题意知，线段AD与圆至多有一个公共点，故，解得或 因为t是使AM2BM恒成立的最小正整数，所以，t=4 所以，圆C方程为： 当直线：时，直线的方程为，此时，；当直线的斜率存在时，设的方程为：（），则的方程为：，点所以，又圆心到的距离为，所以，故 因为所以，3. 巳知函数，其中（1）若是函数的极值点，求的值；（2）若在区间上单调递增，求的取值范围；（3）记，求证：解：(1)由，得， 是函数的极值点， ，解得， 经检验为函数的极值点，所以 (2)在区间上单调递增， 在区间上恒成立， 对区间恒成立， 令，则 当时，有， 的取值范围为(3) 解法1： ， 令， 则 令，则，显然在上单调递减，在上单调递增，则，则， 故 解法2： 则表示上一点与直线上一点距离的平方 由得，让，解得， 直线与的图象相切于点， （另解：令，则， 可得在上单调递减，在上单调递增， 故，则， 直线与的图象相切于点）， 点（1，0）到直线的距离为， 则4. 已知是等差数列，是公比为的等比数列，记为数列的前项和（1）若（是大于的正整数），求证：；（2）若（是某一正整数），求证：是整数，且数列中每一项都是数列中的项；（3）是否存在这样的正数，使等比数列中有三项成等差数列？若存在，写出一个的值，并加以说明；若不存在，请说明理由解：设的公差为，由，知，（）来源:Zxxk.Com（1）证：，（2）证：，且，解得，或，但，是正整数，是整数，即是整数设数列中任意一项为，设数列中的某一项=，现在只要证明存在正整数，使得，即在方程中有正整数解即可， 若，则，那么当时，只要考虑的情况，是正整数，是正整数数列中任意一项为与数列的第项相等，从而结论成立；（3）设数列中有三项成等差数列，则有2设，则2令，则，解得即存在使得中有三项成等差数列启东市汇龙中学13.已知函数若对于正数，直线与函数的图象恰有个不同交点，则数列的前项和为 .yx2n+1答案：解析：函数的图象是一系列半径为1的半圆，因为直线与函数的图象恰有个不同交点，所以直线与第n+1个半圆相切，所以，所以17.（函数类应用题）汽车从刹车开始到完全静止所用的时间叫做刹车时间；所经过的距离叫做刹车距离。某型汽车的刹车距离s(单位米)与时间t(单位秒)的关系为,其中k是一个与汽车的速度以及路面状况等情况有关的量。（1）当k=8时，且刹车时间少于1秒，求汽车刹车距离；（2）要使汽车的刹车时间不小于1秒钟，且不超过2秒钟，求k的取值范围。解析：（）当时，这时汽车的瞬时速度为V=，.1分令，解得（舍）或，.3分当时，所以汽车的刹车距离是米。.6分（）汽车的瞬时速度为，所以汽车静止时，故问题转化为在内有解。.7分又，当且仅当时取等号，.8分，记，单调递增，.10分，即，.13分故的取值范围为。.14分18.（直线、圆、椭圆）.已知椭圆C;的左右顶点分别为A、B，M为椭圆上的任意一点，A关于M的对称点为P，如图所示，（1）若M的横坐标为，且点P在椭圆的右准线上，求b的值；（2）若以PM为直径的圆恰好经过坐标原点O，求b的取值范围。解析：（1）M是AP的中点，2分P在椭圆的右准线上，解得。5分（第18题图）MBAyxPO（2）设点P的坐标为（），点M的坐标为（），又因为P关于M的对称点为A，所以即7分PM为直径的圆恰好经过坐标原点O，即，9分所以，即又因为点M在椭圆上，所以，即，12分所以，因为，所以， 所以，14分所以，即所以，即15分又因为，所以16分21C（极坐标与参数方程）在极坐标系中，点，圆O1：，以极点为原点，极轴与x轴的正方向重合(1) 将点A化为直角坐标；圆O1的极坐标方程化为直角坐标方程；(2) 过点A的直线交圆O1于M、N，且,求的直角坐标方程。解析：(1) 由，所以；圆O1：4cos所以，所以 （5分）（2）当直线的斜率不存在时，方程为x=3,适合。当直线的斜率存在时，设直线方程为，即，因为，所以圆心到直线的距离为1，所以，解得，所以直线的方程为x=3或。 （10分）1设是各项均为非零实数的等差数列的前项和，且满足条件，则的最大值为 。解：公差为，又，所以令，即，看做直线与圆面有交点，即有，所以最大值为。2.在中，三个内角分别为，且（1）若,求（2）若，且，求解：因为，得，即，因为，且，所以，所以。（1）因为，所以又，由正弦定理知：，即。（2）因为，所以，所以，所以.3已知椭圆的离心率为，且过点，其短轴的左右两个端点分别为A，B，直线与x轴、y轴分别交于两点M，N，交椭圆于两点C，D。 （I）若，求直线的方程： （II）设直线AD，CB的斜率分别为，若，求k的值。解：由题意得：，解得。所以，椭圆方程为。（1）设，联立方程，得，所以，判别式，因为为式的根，所以，由已知得，又，所以，所以，即，解得。所求方程为。（2）由题意得：，所以。因为，即，平方，又，所以，同理，代入式，解得，即，所以解得或。又，所以异号，所以（舍去），所以。ABCC1A1B1FED4如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC，点D为BC中点，点E为BD中点，点F在AC1上，且AC14AF.(1)求证：平面ADF平面BCC1B1；(2)求证：EF /平面ABB1A1.证（1）因为AB=AC，点D为BC中点，所以，因为直三棱柱ABC-A1B1C1所以平面,平面,平面BCC1B1所以平面BCC1B1, 平面所以平面ADF平面BCC1B1。（2）在平面中，连接CF，并延长交于G点，连接BG。因为直三棱柱ABC-A1B1C1，所以四边形为平行四边形，所以，又AC14AF.所以，又点D为BC中点，点E为BD中点，所以，所以,又平面,平面,所以EF /平面ABB1A1.江苏省启东中学高三数学备课组供题试题1：已知椭圆的中心在坐标原点O, A,C分别是椭圆的上下顶点，B是椭圆的左顶点，F是椭圆的左焦点，直线AF与BC相交于点D。若椭圆的离心率为12，则BDF的正切值 。解析：因为tanCAF=cb,tanACB=ab,所以tanBDF=tan(CAF+ACB)=cb+ab1-cbab=b(a+c)b2-ac=33.试题2：已知数列an满足a1=1,an+1=1+knan+1.nN*（1）当k=1时，求a4（2）当k=2时,证明:an=n2.解析：当k=1时，an+1=n+1nan+1 a2=2a1+1=3,a3=32a2+1=112,a4=43a3+1=253.(2) 当k=2时，an+1=n+2nan+1，所以an+1(n+2)(n+1)-annn+1=1n+2n+1=1n+1-1n+2,所以annn+1-an-1n-1n=1n-1n+1(n2)所以n2时，annn+1=a12+a223-a112+annn+1-an-1n-1n=nn+1, 所以an=n2.又a1=1, 所以an=n2.试题3：已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率e=12，右准线L与x轴交于点p(4,0)，过p作两直线分别与椭圆交于A,B(A在B右）与C，D（C在D右）,直线AB与CD交于Q点。（1）求椭圆方程。（2）点Q在定直线上。解析：（1）x24+y23=1 （2）设直线PA:y=k1(x-4)代入椭圆方程x24+k12(x-4)23=1,得4k12+3x2-32k12x+64k12-12=0,设Ax1,y1,B(x2,y2)，所以x1+x2=32k124k12+3,x1x2=64k12-124k12+3,同理设Cx3,y3,D(x4,y4),x3+x4=32k224k22+3,x3x4=64k22-124k22+3.所以kBC=y2-y3x2-x3=k1x2-k2x3+4(k2-k1)x2-x3 所以直线BC：y-y2=k1x2-k2x3+4k2-k1x2-x3(x-x2) 即y=k1x2-k2x3+4k2-k1x2-x3x+k2-k1x2x3+4(k1x3-k2x2)x2-x3 同理直线AD：y=k1x1-k2x4+4k2-k1x1-x4x+k2-k1x1x4+4(k1x4-k2x1)x1-x4-得x=1. 所以点Q在定直线x=1上。试题4：已知函数fx=lnx+ax2-2bxa,bR, gx=2x-2x+1-clnx.(1)a=12时，fx与g(x)在定义域上单调性相反，求 b+c的最小值。（2）当b2a0时，求证：存在mR，使fx=m的三个不同的实数解t1,t2,t3，且对任意i,j1,2,3且ij都有2ti+tj0，且m0，x因，则在上单调递增，在上单调递减，2已知圆O：，O为坐标原点（1）边长为的正方形ABCD的顶点A、B均在圆O上，C、D在圆O外，当点A在圆O上运动时，C点的轨迹为E（）求轨迹E的方程；（）过轨迹E上一定点作相互垂直的两条直线，并且使它们分别与圆O、轨迹E 相交，设被圆O截得的弦长为，设被轨迹E截得的弦长为，求的最大值（2）正方形ABCD的一边AB为圆O的一条弦，求线段OC长度的最值解：（1）（）连结OB，OA，因为OA=OB=1，AB=，所以，所以，所以，在中，所以轨迹E是以O为圆心，为半径的圆，所以轨迹E的方程为； （）设点O到直线的距离分别为，因为，所以， xODBA11Cy则，则4=， 当且仅当，即时取“=”，所以的最大值为； xODBA11Cy（2）设正方形边长为a，则， 当A、B、C、D按顺时针方向时，如图所示，在中，即，由，此时；当A、B、C、D按逆时针方向时，在中，yxO1-1，即 ， 由，此时， 综上所述，线段OC长度的最小值为，最大值为 3已知函数的图像如图所示，数列的前项的和，为数列的前项的和，且.（1）求数列、的通项公式；（2）找出所有满足：的自然数的值（不必证明）；（3）若不等式对于任意的，恒成立，求实数的最小值，并求出此时相应的的值.解：（1）由题意得：，解之得:,当时，；当时，符合上式，故，.当时，当时，不符合上式，故. （2）当时，且，不合当时，由题意可得：而方程只有满足条件，故当时，.（3）由题得：，对于一切，恒成立即 令（，）则， 当时，；当时，而，故当时，的最小值为46. 4已知函数（）求函数的极大值；（）若对满足的任意实数恒成立，求实数的取值范围（这里是自然对数的底数）；（）求证：对任意正数、，恒有解：（）的增区间为，减区间为和极大值为（）原不等式可化为由（）知，时，的最大值为的最大值为，由恒成立的意义知道，从而（）设则当时，故在上是减函数，又当、是正实数时，由的单调性有：，即启东市大江中学（一校四题）1.函数的值域为 解析：函数的定义域为，=表示到的距离减去到的距离，从而得到，所以范围为 2.在中，三个内角的对边分别是,其中且满足 求（1）的值； （2），若，求的值。解：（1）由得 .在中，由余弦定理得： 在中，由正弦定理得：， 。 -（2）建立直角坐标系得XBCAYO 由得 3.设椭圆 ，其长轴长是短轴长的倍，过焦点且垂直于轴的直线被椭圆截得的弦长为.（I）求椭圆的方程；（II）点是椭圆上横坐标大于的动点，点在轴上，圆内切于，试判断点在何位置时的面积最小，并证明你的判断.解：（I）由已知，解得：，故所求椭圆方程为. （II）设，.不妨设，则直线的方程为即，又圆心到直线的距离为，即，化简得，同理，是方程的两个根，则，是椭圆上的点，.则，令，则，令，化简，得，则，令，得，而，函数在上单调递减，当时，取到最小值，此时，即点的横坐标为时，的面积最小. 4.假设有穷数列各项均不相等，将数列从小到大重新排序后相应的项数构成的新数列成为数列的排序数列，例如：数列，满足则排序数列为2,3,1(1)写出2,4,3,1的排序数列；(2)求证：数列的排序数列为等差数列的充要条件是数列为单调数列。解：（）排序数列为4,1,3,2.-（）证明：充分性： 当数列单调增时，,排序数列为1,2,3，n.排序数列为等差数列.当数列单调减时，,排序数列为n,n-1,n-2，1 .排序数列为等差数列.综上，数列为单调数列时，排序数列为等差数列.必要性：排序数列为等差数列排序数列为1,2,3，n或n,n-1,n-2，1.或数列为单调数列. 一校四题（通州中学）1如果直线axby50（a0，b0）和函数f(x)（m0，m1）的图像恒过同一个定点，且该定点始终落在的内部或圆上，那么的取值范围是_2如图，制图工程师要用两个同中心的边长均为4的正方形合成一个八角形图形由对称性，图中8个三角形都是全等的三角形，设ACBDEFGHA1B1C1D1E1F1G1H1（1）试用表示的面积；（2）求八角形所覆盖面积的最大值，并指出此时的大小解：（1）设为,， ， ,，（2）令，只需考虑取到最大值的情况，即为， 当, 即时, 达到最大 此时八角形所覆盖面积的最大值为 3椭圆C：的长轴是短轴的两倍，点在椭圆上.不过原点的直线l与椭圆相交于A、B两点，设直线OA、l、OB的斜率分别为、，且、恰好构成等比数列，记的面积为S（1）求椭圆C的方程.（2）试判断是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由？（3）求S的最大值解：（1）由题意可知且，所以椭圆的方程为 （2）设直线的方程为，由 且 恰好构成等比数列.=即 此时，即 = 所以是定值为5. （3） = =当且仅当即时，的最大值为1. 4设，函数来源:学&科&网 （1）当时，求在内的极值； （2）设函数，当有两个极值点，（）时，总有，求实数的值（其中是函数的导函数）解：（1）当时，则，令，则，显然在上单调递减.又因为，故时，总有，所以在上单调递减. 又因为，所以当时，从而，这时单调递增，当时，从而，这时单调递减,当变化时，的变化情况如下表：+0极大所以在上的极大值是.-5分（2）由题可知，则. 根据题意方程有两个不等实数根，且， 所以，即，且.因为，所有. 由，其中， 可得 又因为，将其代入上式得： ，整理得. 即不等式对任意恒成立(1) 当时，不等式恒成立，即；(2) 当时，恒成立，即令，显然是上的减函数，所以当时，所以；(3)当时，恒成立，即由（2）可知，当时，所以； 综上所述， 题1.已知ABC中，且，则的取值范围是 2，题2.已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，其左、右焦点分别为F1，F2，一个顶点B和两个焦点F1，F2构成的三角形的面积为（1）求椭圆C的方程；（2）若M为椭圆C上任一点，试问：是否存在一个定圆N，与以M为圆心，以MF2为半径的圆相内切？若存在，求出这个定圆的方程；若不存在，说明理由（3）设斜率为的直线l与曲线C交于两个不同点，若直线不过点，设直线的斜率分别为，求证：为定值.解：（1）设椭圆的方程为，由题意知 解得，所以椭圆C的方程为 （2）答：一定存在满足题意的定圆.理由：动圆M与定圆N相内切， 两圆的圆心之间距离MN与其中一个圆的半径之和或差必为定值. 又(1，0)是曲线椭圆C的右焦点，且M是曲线C上的动点，记曲线C的左焦点为F(-1，0)，联想椭圆轨迹定义，有MF+M=4， 若定圆的圆心N与点F重合，定圆的半径为4时，则定圆N满足题意. 定圆N的方程为：(x+1)2+y2=16. （3）直线的斜率为，且不过点， 可设直线：(m) 联立方程组得x2+mx+m2-3=0 设交点为A(x1，y1）、B(x2，y2）， 所以为定值. 题3.已知函数.(1) 若g(2)=2，讨论函数h(x)的单调性；(2) 若函数g(x)是关于x的一次函数，且函数h(x)有两个不同的零点x1,x2.求b的取值范围；求证：.（1） 解：g(2)=2 a-b=1 ，其定义域为（0，+）（）若a0,则函数h(x)在区间（0,1）上单调增；在区间（1,+）上单调减.（）若a0,令得当a-1时，则，所以函数h(x)在区间（0,）上单调增；在区间（1,+）上单调增；在区间（,1）上单调减.当a=-1时，所以函数h(x)在区间（0，+）单调减.当-1a0时，则，所以函数h(x)在区间（0,1）上单调增；在区间（,+）上单调增；在区间（1,）上单调减.(2) 函数g(x)是关于x的一次函数 ，其定义域为（0，+）由得，记，则 在单调减，在单调增， 当时取得最小值又，所以时，而时 b的取值范围是（，0）由题意得，不妨设x1x2要证 , 只需要证即证，设则函数在（1，+）上单调增，而，所以即.题4. 已知各项均为正数的数列满足：，其中.(1)若a2a18，a3a，且数列an是唯一的.求a的值；设数列满足，是否存在正整数m，n（1m0,所以 ，此时由知，所以，若成等比数列，则，可得所以，解得：又，且1mn，所以m=2，此时n=12故当且仅当m=2，n=12.使得成等比数列.(2) 由a2ka2k1ak1(akak1a1)8 得且a2k1a2k2a3k=当且仅当，即时，a2k1a2k2a3k取得最小值32.一校四题：如东中学1已知集合，则A中方程的曲线与B中方程的曲线的交点个数是_14_2.已知函数，其中且.（1）讨论的单调性；(2) 若恒成立，求实数范围；（3）若存在两个异号实根，求证：解:()的定义域为.其导数当时, 在上增;当时, 在上增;在 (0,+)上减. ()当时, 则取适当的数能使，比如取，能使, 所以不合题意当时，令， 问题化为求恒成立时的取值范围. 由于 在上,;在上,. 的最小值为,所以只需即, ()由于存在两个异号根，不仿设，因为,所以 构造函数:()所以在上减. ,则,于是,又,由在上为减函数可知.即 y3.如图，椭圆：（）和圆：，已知圆将椭圆的长轴三等分，椭圆右焦点到右准线的距离为，椭圆的下顶点为，过坐标原点且与坐标轴不重合的任意直线与圆相交于点、 （1）求椭圆的方程；（2）若直线、分别与椭圆相交于另一个交点为点、.求证：直线经过一定点；试问：是否存在以为圆心，为半径的圆，使得直线和直线都与圆相交？若存在，请求出所有的值；若不存在，请说明理由。解：（1）依题意，则，又，则，方程为（2）由题意知直线的斜率存在且不为0，设直线的斜率为，则：，由得， 用去代，得，方法1：，：，即，直线经过定点方法2：作直线关于轴的对称直线，此时得到的点、关于轴对称，则与相交于轴，可知定点在轴上，当时，此时直线经过轴上的点，、三点共线，即直线经过点，故直线经过定点 由得或，则直线：，设，则，直线：，直线：，假设存在圆心为，半径为的圆，使得直线和直线都与圆相交，则由（）得对恒成立，则