2016年广东省惠州市高考数学三模试卷（文科）含答案解析

第 1 页（共 21 页） 2016 年广东省惠州市高考数学三模试卷（文科） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1设集合 A=x|1 x 4，集合 B=x|2x 3 0，则 A（ =（ ） A（ 1， 4） B（ 3， 4） C（ 1， 3） D（ 1， 2） （ 3， 4） 2如果复数 z= （ b R）的实部和虚部相等，则 |z|等于（ ） A 3 B 2 C 3 D 2 3已知函数 f（ x）是偶函数，当 x 0 时， ，则在（ 2， 0）上，下列函数中与f（ x）的单调性相同的是（ ） A y= B y=|x+1| C y=e|x| D 4已知函数 的最小正周期为 ，则该函数的图象是（ ） A关于直线 对称 B关于点 对称 C关于直线 对称 D关于点 对称 5下列四个结论： 若 p q 是真命题，则 p 可能是真命题； 命题 “ R， 1 0”的否定是 “ x R， x 1 0”； “a 5 且 b 5”是 “a+b 0”的充要条件； 当 a 0 时，幂函数 y=区间（ 0， +）上单调递减 其中正确结论的个数是（ ） A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 3 个 6如图，圆 C 内切于扇形 ，若向扇形 随机投掷 300 个点，则落入圆内的点的个数估计值为（ ） A 450 B 400 C 200 D 100 7若等差数列 足 a7+a8+0， a7+0，则当 前 n 项和最大时 n 的值为（ ） A 7 B 8 C 9 D 10 8某几何体的 三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） 第 2 页（共 21 页） A 12 B 18 C 24 D 30 9执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ） A 14 B 15 C 16 D 17 10已知 x， y 满足 ，若目标函数 z=y x 的最小值是 4，则 k 的值为（ ） A B 3 C D 2 11已知抛物线 p 0）的焦点 F 恰好是双曲线 =1（ a 0， b 0）的一个焦点，两条曲线的交点的连线过点 F，则双曲线的离心率为（ ） A B C 1+ D 1+ 12已知函数 f（ x） = ，若函数 y=f（ x） 3 个零点，则实数 ） A（ 1， 1） B（ 1， +） C 2， +） D 1， 2） 二填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 第 3 页（共 21 页） 13已知 首项为 1 的等比数列， 前 n 项和，且 96，则数列 的前5 项和为 14已知函数 f（ x） =2线 y=2x 2 与曲线 y=f（ x）相切，则 b= 15设 M 是线段 中点，点 A 在直线 ， ， ，则= 16已知 在的平面与矩形 在的平面互相垂直， B=3， ， 0，则多面体 E 外接球的表面积为 三解答题：解答应写出文 字说明，证明过程或演算步骤 17在 ，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知 2c b） （ ）求角 A 的大小； （ ）若 a=4，求 积的最大值 18随着国民生活水平的提高，利用长假旅游的人越来越多某公司统计了 2012 到 2016年五年间本公司职员每年春节期间外出旅游的家庭数，具体统计数据如表所示： 年份（ x） 2012 2013 2014 2015 2016 家庭数（ y） 6 10 16 22 26 （ ）从这 5 年中随机抽取两年，求外出旅游的家庭数至少 有 1 年多于 20 个的概率； （ ）利用所给数据，求出春节期间外出旅游的家庭数与年份之间的回归直线方程，判断它们之间是正相关还是负相关；并根据所求出的直线方程估计该公司 2019年春节期间外出旅游的家庭数 参考公式： = ， = 19如图， 底面边长为 2，高为 的正三棱柱，经过 截面与上底面相交于 0 1） （ ）证明： （ ）当 时，求点 C 到平面 距离 20已知点 坐 标分别为（ 2， 0），（ 2， 0）直线 交于点 M，且它们的斜率之积是 （ ）求点 M 的轨迹 C 的方程； 第 4 页（共 21 页） （ ）已知点 A（ 1， t）（ t 0）是轨迹 C 上的定点， E， F 是轨迹 C 上的两个动点，如果直线 直线 斜率存在且互为相反数，求直线 斜率 21已知函数 f（ x） =x a 0） （ ）讨论 f（ x）的单调性； （ ）若 f（ x）有两个极值点 明： f（ +f（ 3 2 选修 4何 证明选讲 22如图，已知圆 O 是 外接圆， C， 上的高， 圆 O 的直径过点 C 作圆 O 的切线交 延长线于点 F （ ）求证： C=E； （ ）若 ， ，求 长 选修 4标系与参数方程 23在平面直角坐标系 ，直线 l 的参数方程为 （ t 为参数），在以原点 x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆 C 的方程为 =2 （ ）写出直线 l 的普通方程和圆 C 的直角坐标方程； （ ）若点 P 的直角坐标为（ 1， 0），圆 C 与直线 l 交于 A、 B 两点，求 |值 选修 4等式选讲 24已知函数 f（ x） =|x+a|+|x+ |（ a 0） （ I）当 a=2 时，求不等式 f（ x） 3 的解集；（ ）证明： f（ m） + 第 5 页（共 21 页） 2016 年广东省惠州市高考数学三模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1设集合 A=x|1 x 4，集合 B=x|2x 3 0，则 A（ =（ ） A（ 1， 4） B（ 3， 4） C（ 1， 3） D（ 1， 2） （ 3， 4） 【考点】 交、并、补集的混合运算 【分析】 由题意，可先解一元二次不等式，化简集合 B，再求出 B 的补集，再由交的运算规则解出 A（ 可 得出正确选项 【解答】 解：由题意 B=x|2x 3 0=x| 1 x 3，故 x|x 1 或 x 3， 又集合 A=x|1 x 4， A（ =（ 3， 4） 故选 B 2如果复数 z= （ b R）的实部和虚部相等，则 |z|等于（ ） A 3 B 2 C 3 D 2 【考点】 复数求模 【分析】 由已知条件利用复数代 数形式的乘除运算法则和复数的实部和虚部相等，求出z=3+3i，由此能求出 |z| 【解答】 解： z= = = = i， 复数 z= （ b R）的实部和虚部相等， ，解得 b= 9， z=3+3i， |z|= =3 故选： A 3已知函数 f（ x）是偶函数，当 x 0 时， ，则在（ 2， 0）上，下列函数中与f（ x）的单调性相同的是（ ） A y= B y=|x+1| C y=e|x| D 【考点】 奇 偶性与单调性的综合；函数奇偶性的判断 【分析】 先判断函数 f（ x）的单调性和奇偶性，然后进行判断比较即可 第 6 页（共 21 页） 【解答】 解： f（ x）是偶函数，当 x 0 时， ， 当 x 0 时函数 f（ x）为增函数， 则在（ 2， 0）上 f（ x）为减函数， A在（ 2， 0）上 y= 为增函数，不满足条件 B y=|x+1|在（ ， 1）上是减函数，在（ 2， 0）上不单调，不满足条件 C f（ x）在（ 2， 0）上是单调递减函数，满足条件 D当 x 0 时， f（ x） = 是增函数，不满足条件 故选： C 4已知函数 的最小正周期为 ，则该函数的图象是（ ） A关于直线 对称 B关于点 对称 C关于直线 对称 D关于点 对称 【考点】 正弦函数的对称性 【分析】 通过函数的周期求出 ，利用正 弦函数的对称性求出对称轴方程，得到选项 【解答】 解：依题意得 ，故 ，所以， = = 0，因此该函数的图象关于直线 对称，不关 于点 和点 对称，也不关于直线 对称 故选 A 5下列四个结论： 若 p q 是真命题，则 p 可能是真命题； 命题 “ R， 1 0”的否定是 “ x R， x 1 0”； “a 5 且 b 5”是 “a+b 0”的充要条件； 当 a 0 时，幂函数 y=区间（ 0， +）上单调递减 其中正确结论的个数是（ ） A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 3 个 【考点】 命题的真假判断与应用 【分析】 根据复合命题真假关系进行判断 根据含有量词的命题的否定进行判断 根据充分条件和必要条件的定义进行判断 根据幂函数单调性的性质进行判断 【解答】 解： 若 p q 是真命题，则 p， q 都是真命题，则 p 一定是假命题，故 错误； 命题 “ R， 1 0”的否定是 “ x R， x 1 0”，故 错误； 当 a 5 且 b 5 时， a+b 0，即充分性成立， 第 7 页（共 21 页） 当 a=2， b=1 时，满足 a+b 0，但 a 5 且 b 5 不成立，即 “a 5 且 b 5”是 “a+b 0”的充充分不必要条件，故 错误； 当 a 0 时，幂函数 y=区间（ 0， +）上单调递减故 正确， 故正确结论的个数是 1 个， 故选： B 6如图，圆 C 内切于扇形 ，若向扇形 随机投掷 300 个点，则落入圆内的点的个数估计值为（ ） A 450 B 400 C 200 D 100 【考点】 模拟方法估计概率 【分析】 本题是一个等可能事 件的概率，试验发生包含的事件对应的包含的事件对应的是扇形 足条件的事件是圆，根据题意，构造直角三角形求得扇形的半径与圆的半径的关系，进而根据面积的求法求得扇形 面积与 P 的面积比，可得概率，即可得出结论 【解答】 解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，设圆 C 的半径为 r， 试验发生包含的事件对应的是扇形 满足条件的事件是圆，其面积为 C 的面积 = 连接 长交扇形于 P 由于 CE=r， ， r， r， 则 S 扇形 = ； C 的面积与扇形 面积比是 概率 P= ， 向扇形 随机投掷 300 个点， 落入圆内的点的个数估计值为 300 =200 故选 C 第 8 页（共 21 页） 7若等差数列 足 a7+a8+0， a7+0，则当 前 n 项和最大时 n 的值为（ ） A 7 B 8 C 9 D 10 【考点】 等差数列的性质 【分析】 由题意和等差数列的性质可得 前 8 项为正数，从第 9 项开始为负数，由此易得结论 【解答】 解： 等差数列 足 a7+a8+0， a7+0， 3a8=a7+a8+0， a8+a9=a7+0， 0， 0， 等差数列 前 8 项为正数，从第 9 项开始为负数， 当 前 n 项 和最大时 n 的值为 8， 故选： B 8某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A 12 B 18 C 24 D 30 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，根据三视图判断三棱柱的高及消去的三棱锥的高，判断三棱锥与三棱柱的底面三角形的形状及相关几何量的数据，把数据代入棱柱与棱锥的体积公式计算 【解答】 解：由三视图知：几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，如图： 三棱柱的高为 5，消去的三棱锥的高为 3， 三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为 3 和 4 的直角三角形， 几何体的体积 V= 3 4 5 3 4 3=30 6=24 故选： C 9执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ） 第 9 页（共 21 页） A 14 B 15 C 16 D 17 【考点】 程序框图 【分析】 通过分析循环，推出循环规律，利用循环的次数，求出输出结果 【解答】 解：第一次循环： ， n=2； 第二次循环： ， n=3； 第三次循环： ， n=4； 第 n 次循环： = ， n=n+1 令 解得 n 15 输出的结果是 n+1=16 故选： C 10已知 x， y 满足 ，若目标函数 z=y x 的最小值是 4，则 k 的值为（ ） A B 3 C D 2 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，根据目标是的最小值建 立不等式关系进行求解即可 【解答】 解：由 z=y x 得 y=x+z， 若 z=y x 的最小值为 4，即 y x= 4， 即 y=x 4， 则不等式对应的区域在 y=x 4 的上方， 先作出 对应的图象， 第 10 页（共 21 页） 由 得 ，即 C（ 4， 0）， 同时 C（ 4， 0）也在直线 y+2=0 上， 则 4k+2=0，得 k= ， 故 选： C 11已知抛物线 p 0）的焦点 F 恰好是双曲线 =1（ a 0， b 0）的一个焦点，两条曲线的交点的连线过点 F，则双曲线的离心率为（ ） A B C 1+ D 1+ 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 先根据抛物线方程得到焦点坐标和交点坐标，代入双曲线，把 =c 代入整理得 6 等式两边同除以 到关于离心率 e 的方程，进而可求得 e 【解答】 解：由题意， 两条曲线交点的连线过点 F 两条曲线交点为（ ， p）， 代入双曲线方程得 ， 又 =c 代入化简得 6 6=0 +2 =（ 1+ ） 2 e= +1 故选： C 第 11 页（共 21 页） 12已知函数 f（ x） = ，若函数 y=f（ x） 3 个零点，则实数 ） A（ 1， 1） B（ 1， +） C 2， +） D 1， 2） 【考点】 函数零点的判定定理 【分析】 由 f（ 0） =，可得： x=0 是函数 y=f（ x） 一个零点；当 x 0 时，由 f（ x） = x=得 x= k，由 x= k 0，可得： k ；当 x 0 时，函数 f（ x） =1，由 f（ x） （ 1， +），进而可得 k 1；综合讨论结果，可得答案 【解答】 解： 函数 f（ x） = ， f（ 0） =， x=0 是函数 y=f（ x） 一个零点， 当 x 0 时，由 f（ x） = 得 x= 即 x+ =k，解得 x= k， 由 x= k 0，解得 k ， 当 x 0 时，函数 f（ x） =1， f（ x） =（ 1， +）， 要使函数 y=f（ x） x 0 时有一个零点， 则 k 1， k 1， 即实数 k 的取值范围是（ 1， +）， 故选： B 二填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13已知 首项为 1 的等比数列， 前 n 项和，且 96，则数列 的前5 项和为 【考点】 数列的求和 【分析】 利用等比数列求和公式代入 9s3=得 q，根据首项为 1 写出等比数列 通项公式，从而确定出数列 也为等比数列，进而根据等比数列求和公式求得数列 的前 5 项和 【解答】 解：显然 q 1，所以 ， 第 12 页（共 21 页） 所以 是首项为 1，公比为 的等比数列， 则前 5 项和为： 故答案为： 14已知函数 f（ x） =2线 y=2x 2 与曲线 y=f（ x）相切，则 b= 0 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 设出切点坐标，求出函数在切点处的导数，把切点横坐标分别代入曲线和直线方程，由纵坐标相等得一关系式，再由切 点处的导数等于切线的斜率得另一关系式，联立后求得 【解答】 解：设点（ 直线 y=2x 2 与曲线 y=f（ x）的切点， 则有 22 （ *） f（ x） = +b， +b=2 （ *） 联立（ *）（ *）两式，解得 b=0 故答案为： 0 15设 M 是线段 中点，点 A 在直线 ， ， ，则= 2 【考点】 向量在几何中的应用 【分析】 根据向量加法的平行四边形形法则和减法的三角形法则，可得以 邻边的平行四边形 得 t C 上的中线，可得 = ，结合题中数据即可算出 的值 【解答】 解： 以 邻边作平行四边形，可得对角线 度相等 因此，四边形 矩形 M 是线段 中点， 边 的中线，可得 = ，得 2=16，即 =4 = =2 故答案为： 2 第 13 页（共 21 页） 16已知 在的平面与矩形 在的平面互相垂直， B=3， ， 0，则多面体 E 外接球的表面积为 16 【考点】 球的体积和表面积 【分析】 设球心到平面 距离为 d，利用 在的平面与矩形 在的平面互相垂直， B=3， 0，可得 E 到平面 距离为 ，从而 ）2+2+（ d） 2，求出 ，即可求出多面体 E 外接球的表面积 【解答】 解：设球心到平面 距离为 d，则 在的平面与矩形 在的平面互相垂直， B=3， 0， E 到平面 距离为 ， ） 2+2+（ d） 2， d= ， ， 多面体 E 外接球的表面积为 46 故答案为： 16 三解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17在 ，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知 2c b） （ ）求角 A 的大小； （ ）若 a=4，求 积的最大值 【考点】 余弦定理；正弦定理 【分析】 （ ）已知等式利用正弦定理化简，整理后求出 值，即可确定出角 A 的大小； （ ）由 a， 值，利用余弦定理列出关系式，再利用基本不等式求出 最大值，即可确定出三角形 积的最大值 【解答】 解：（ ）在 ，已知等式 2c b） ， 利用正弦定理化简得： 2， 整理得： A+B） = ， A 为三角形内角， A= ； 第 14 页（共 21 页） （ ） a=4， A= ， 由余弦定理得： 16=b2+2bc= 16， 当且仅当 b=c 时取等号， S 4 ，当且仅当 b=c 时取等号， 则 积的最小值为 4 18随着国民生活水平的提高，利用长假旅游的人越来越多某公司统计了 2012 到 2016年五年间本公司职员每年春节期间外出旅游的家庭数，具体统计 数据如表所示： 年份（ x） 2012 2013 2014 2015 2016 家庭数（ y） 6 10 16 22 26 （ ）从这 5 年中随机抽取两年，求外出旅游的家庭数至少有 1 年多于 20 个的概率； （ ）利用所给数据，求出春节期间外出旅游的家庭数与年份之间的回归直线方程，判断它们之间是正相关还是负相关；并根据所求出的直线方程估计该公司 2019年春节期间外出旅游的家庭数 参考公式： = ， = 【考点】 线性回归方程 【分析】 （ ）利用列举法计算基本事件数，求出对应的概率值； （ ）由已知数据求出回归直线方程的系数，写出对应方程，判断是正相关关系； 利用回归方程计算 x=2019 时 y 的值即可 【解答】 解：（ ）从这 5 年 中任意抽取两年，所有的事件有： ， ，共 10 种， 至少有 1 年多于 20 个的事件有： ， ，共 7 种， 则至少有 1 年多于 20 个的概率为 P= ； （ ）由已知数据得 =2014， =16， （ ）（ ） = 2 （ 10） +（ 1） （ 6） +0 0+1 6+2 10=52， =（ 1） 2+（ 2） 2+02+12+22=10， = = = =16 2014= 回归直线的方程为 y= 第 15 页（共 21 页） y 与 x 是正相关关系； 当 x=2019 时， y=2019 2， 该村 2019 年在春节期间外出旅游的家庭数约为 42 19如图， 底面边长为 2，高为 的正三棱柱，经过 截面与上底面相 交于 0 1） （ ）证明： （ ）当 时，求点 C 到平面 距离 【考点】 点、线、面间的距离计算；棱柱的结构特征 【分析】 （ I）由平面 平面 用线面平行的性质定理可得： 可证明 （ 立如图所示的直角坐标系设平面 法向量为 =（ x， y， z），则 ，利用点 C 到平面 距离 d= 即可得出 【解答】 证明：（ I） 平面 平面 面 面 B，平面 面 P， 又 解：（ 立如图所示的直角坐标系 O（ 0， 0， 0）， P（ 0， 0， ）， A（ 0， 1， 0）， B（ ， 0， 0）， C（ 0， 1， 0）， =（ 0， 1， ）， =（ ， 1， 0）， =（ 0， 2， 0）， 设平面 法向量为 =（ x， y， z）， 则 ，可得 ， 取 = ， 点 C 到平面 距离 d= = = 第 16 页（共 21 页） 20已知点 坐标分别为（ 2， 0），（ 2， 0）直线 交于点 M，且它们的斜率之积是 （ ）求点 M 的轨迹 C 的方程； （ ）已知点 A（ 1， t）（ t 0）是轨迹 C 上的定点， E， F 是轨迹 C 上的两个动点，如果直线 直线 斜率存在且互为相反数，求直线 斜率 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 （ I）设 M（ x， y），根据斜率关系列方程化简即可； （ 斜率为 k，则 斜率为 k，联立直线方程与椭圆方程，根据根与系数的关系求出 E， F 的坐标，代入斜率公式化简得出答案 【解答】 解：（ I）设 M（ x， y），则 ， ，即 点 M 的轨迹方程为 （ 椭圆方程得 E（ 1， ） 设直线 程为 y=k（ x 1） + 则直线 方程为 y= k（ x 1） + 联立方程组 ，消元得：（ 3+4k（ 3 2k） x+4（ k） 2 12=0， 设 E（ F（ 点 A（ 1， ）在椭圆上， ， yE=k（ 1） + 第 17 页（共 21 页） 同理可得： ， k（ 1） + xE+ = ， = = = 21已知函数 f（ x） =x a 0） （ ）讨论 f（ x）的单调性； （ ）若 f（ x）有两个极 值点 明： f（ +f（ 3 2 【考点】 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ 1）先求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，确定导函数的符号，从而判断函数的单调性； （ 2）表示出 f（ +f（ =+，通过求导进行证明 【解答】 解：（ 1） f（ x） = ，（ x 0， a 0）， 不妨设 （ x） =2x+1（ x 0， a 0） ， 则关于 x 的方程 2x+1=0 的判别式 =1 8a， 当 a 时， 0， （ x） 0，故 f（ x） 0， 函数 f（ x）在（ 0， +）上单调递减， 当 0 a 时， 0，方程 f（ x） =0 有两个不相等的正根 不妨设 当 x （ 0， x （ +）时 f（ x） 0， 当 x （ ， f（ x） 0， f（ x）在（ 0， （ +）递减，在（ 增； （ 2）由（ 1）知当且仅当 a （ 0， ）时 f（ x）有极小值 极大值 且 方程的两个正根，则 x1+， x1 ， f（ +f（ =（ x1+ a（ x1+2 2x1 （ =2a） + +1=+（ 0 a ）， 令 g（ a） =+， 第 18 页（共 21 页） 当 a （ 0， ）时， g（ a） = 0， g（ a）在（ 0， ）内单调递减， 故 g（ a） g（ ） =3 2 f（ +f（ 3 2 选修 4何证明选讲 22如图，已知圆 O 是 外接圆， C， 上的高， 圆 O 的直径过点 C 作圆 O 的切线交 延长线于点 F （ ）求证： C=E； （ ）若 ， ，求 长 【考点】 与圆有关的比例线段 【分析】 （ I）如图所示，连 接 于 O 的直径，可得 0利