2016年贵州省普通高等学校高考数学模拟试卷（文科）含答案解析

第 1 页（共 19 页） 2016 年贵州省普通高等学校高考数学模拟试卷（文科） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1已知集合 A=x|x=2k 1， k Z， B= 1， 0， 1， 2， 3， 4，则集合 AB 中元素的个数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 2已知复数 z 满足（ z 2） i=1+i（ i 是虚数单位），则 z=（ ） A 3 i B 3+i C 3 i D 3+i 3在等差数列 ， 2， 2，则 ） A 2 B 2 C 4 D 6 4某工厂生产 A、 B、 C 三种不同型号的产品，其数量之比依次是 3： 4： 7，现在用分层抽样的方法抽出样本容量为 n 的样本，样本中 A 型号产品有 15 件，那么 n 等于（ ） A 50 B 60 C 70 D 80 5不等式组 所表示的平面区域的面积为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 6一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是正三角形，则该几何体的体积为（ ）A B 8 C D 7设 、 是两个不重合的平面， m、 n 是两条不重合的直线，则以下结论错误的是（ ） A若 ， m，则 m B若 m ， m ， =n，则 m n C若 m， n， m ， n ，则 D若 m ， m ，则 8已知圆 x2+x 2y+a=0 截直线 x+y+2=0 所得弦的长度为 4，则实数 a 的值是（ ） A 2 B 4 C 6 D 8 9阅读如图所示的程序框图，若输出的结果是 63，则判断框内 n 的值可为（ ） 第 2 页（共 19 页） A 8 B 7 C 6 D 5 10如图，圆与两坐标轴分别切于 A， B 两点，圆上一动点 P 从 A 开始沿圆周按逆时针方向匀速旋转回到 A 点，则 面积随时间变化的图象符合（ ） A B C D 11经过双曲线 右焦点的直线与双曲线交于 A， B 两点，若 |4，则这样的直线的条数为（ ） A 4 条 B 3 条 C 2 条 D 1 条 12若函数 f（ x） = （ a 0， b 0）的图象在 x=1 处的切线与圆 x2+ 相切，则 a+b 的最大值是（ ） A 4 B 2 C 2 D 二、填空题：（本题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分） 13设函数 f（ x） = ，则 f（ f（ 1）的值为 14已知平面向量 ， 满足 | |=3， | |=2， 与 的夹角为 60，若（ m ） ，则实数 m= 15已 知命题 p： x R， x+1 0 是假命题，则实数 a 的取值范围是 16数列 ，已知对任意 n N*， a1+a2+n 1，则= 第 3 页（共 19 页） 三、简答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17在 ，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且满足 2c+a） A+C） （ ）求角 B 的大小； （ ）求函数 f（ x） =22x B）（ x R）的最大值 18如 图 1，在直角梯形 ， 0， D= 将 C 折起，使平面 平面 到如图 2 所示的几何体 D ）求证： 平面 （ ）求点 C 到平面 距离 19在某次考试中，全部考生参加了 “科目一 ”和 “科目二 ”两个科目的考试，每科成绩分为 A，B， C， D， E 五个等级某考场考生的两科考试成绩数据统计如图所示，其中 “科目一 ”成 绩为 D 的考生恰有 4 人 （ 1）分别求该考场的考生中 “科目一 ”和 “科目二 ”成绩为 A 的考生人数； （ 2）已知在该考场的考生中，恰有 2 人的两科成绩均为 A，在至少一科成绩为 A 的考生中，随机抽取 2 人进行访谈，求这 2 人的两科成绩均为 A 的概率 20设椭圆 C： + =1（ a b 0）的左、右焦点分别为 顶点为 A，过点 直的直线交 x 轴 负半轴于点 Q，且 是 中点若过 A、 Q、 点的圆恰好与直线 l： x y 3=0 相切 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）设直线 y=x+2 与椭圆 C 交于 G、 H 两点在 x 轴上是否存在点 P（ m， 0），使得以邻边的平行四边形是菱形如果存在，求出 m 的取值范围，如果不存在，请说明理由 第 4 页（共 19 页） 21已知函数 f（ x） = g（ x） = 2x， F（ x） =f（ x） g（ x） （ ）当 m 0，求函数 f（ x）的单调区间； （ ）当 m= 1 时，试问过点（ 2， 5）可作多少条直线与曲线 y=F（ x）相切？说明理由 请考生在 22、 23、 24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 选修 4何证明选讲 22已知 圆 O 的直径，点 A 为圆周上一点， 点 D，过点 A 作圆 O 的切线交 延长线于点 P，过点 B 作 直 延长线于点 E求证： （ 1） D=C； （ 2） E 选修 4标系与参数方程 23已知直线 l 的参数方程为 （ t 为参数），以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为 =4 ） （ ）求曲线 C 的直角坐标方程； （ ）若点 P（ x， y）是直线 l 上位于圆内的动点（含端点），求 x+y 的最大值和最小值 选修 4等式选讲 24已知函数 f（ x） =m |x 2|（ m 0），且 f（ x+2） 0 的解集为 3， 3 （ ）求 m 的值； （ ）若 a 0， b 0， c 0 且 + + = ，求证： 2a+3b+4c 9 第 5 页（共 19 页） 2016 年贵州省普通高等学 校高考数学模拟试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1已知集合 A=x|x=2k 1， k Z， B= 1， 0， 1， 2， 3， 4，则集合 AB 中元素的个数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【考点】 交集及其运算 【分析】 列举出 A 中的元素，求出两集合的交集，即可作出判断 【解答】 解： A=x|x=2k 1， k Z=， 3， 1， 1， 3， 5， ， B= 1， 0， 1， 2，3， 4， AB= 1， 1， 3， 则集合 AB 中元素的个数为 3， 故选： C 2已知复数 z 满足（ z 2） i=1+i（ i 是虚数单位），则 z=（ ） A 3 i B 3+i C 3 i D 3+i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】 解：由（ z 2） i=1+i，得 ， z=3 i 故选： A 3在等差数列 ， 2， 2，则 ） A 2 B 2 C 4 D 6 【考点】 等差数列的通项公式 【分析】 由 2，即 d= 2，再根据等差数列的性质即可求出 【解答】 解：由 2，即 d= 2， a9=d= 2+2 （ 2） = 6， 故选： D 4某工厂生产 A、 B、 C 三种不同型号的产品，其数量之比依次是 3： 4： 7，现在用分层抽样的方法抽出样本容量为 n 的样本，样本中 A 型号产品有 15 件，那么 n 等于（ ） A 50 B 60 C 70 D 80 【考点】 分层抽样方法 【分析】 根据分层抽样的定义和方法，可得 = ，由此求得 n 的值 第 6 页（共 19 页） 【解答】 解：根据分层抽样的定义和方法，可得 = ， 解得 n=70， 故选： C 5不等式组 所表示的平面区域的面积为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出不等式对应的平面区域，根据平 面区域的形状确定平面区域的面积 【解答】 解：不等式组对应的平面区域如图： 则对应区域为直角三角形 则三点坐标分别为 A（ 2， 3）， B（ 4， 3）， C（ 4， 5）， 则 ， ， 所以三角形的面积为 S= 2 2=2 故选： B 6一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是正三角形，则该几何体的体积为（ ）A B 8 C D 【考点】 由三视图求面积、体积 第 7 页（共 19 页） 【分析】 由三视图知该几何体是一个三棱锥，由三视图求出几何元素的长度，由锥体的体积公式求出几何体的体积 【解答】 解：根据三视图可知几何体是一个三棱锥， 由俯视图知，底面是一个等腰三角形，底和底边上高分别是 4、 2， 正视图是正三角形， 三棱锥的高是 ， 几何体的体积 V= = ， 故选： C 7设 、 是两个不重合的平面， m、 n 是两条不重合的直线，则以下结论错误的是（ ） A若 ， m，则 m B若 m ， m ， =n，则 m n C若 m， n， m ， n ，则 D若 m ， m ，则 【考点】 空间中直线与平面之间的位置关系 【分析】 若 ， m，根据面面平行的性质，可得 m ； 若 m ， m ， =n，根据线面平行的性质，可得 m n； 若 “m， n， m ， n ，且 mn=O”，则 “ ”成立，但条件中缺少了 “mn=O”，故结论 “ ”不一定成立； 若 m ，经过 m 的平面与 相交于 a，则可得 m 中 m a，由于 m ，所以 a ，根据面面垂直的判定定理，可得 【解答】 解：若 ， m，根据面面平行的性质，可得 m ，故 A 正确； 若 m ， m ， =n，根据线面平行的性质，可得 m n，故 B 正确； 若 “m， n， m ， n ，且 mn=O”，则 “ ”成立，但条件中缺少了 “mn=O”，故结论 “ ”不一定成立，得 C 错误； 若 m ，经过 m 的平面与 相交于 a，则可得 m 中 m a，由于 m ，所以 a ，根据面面垂直的判定定理，可得 ，故 D 正确 故选： C 8已知圆 x2+x 2y+a=0 截直线 x+y+2=0 所得弦的长度为 4，则实数 a 的值是（ ） A 2 B 4 C 6 D 8 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 把圆的方程化为标准形式，求出弦心距，再由条件根据弦长公式求得 a 的值 【解答】 解：圆 x2+x 2y+a=0 即 （ x+1） 2+（ y 1） 2=2 a， 故弦心距 d= = 再由弦长公式可得 2 a=2+4， a= 4， 故选： B 9阅读如图所示的程序框图，若输出的结果是 63，则判断框内 n 的值可为（ ） 第 8 页（共 19 页） A 8 B 7 C 6 D 5 【考点】 程序框图 【分析】 由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 A 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【解答】 解：第一次执行循环体后， A=1， i=2，不满足退出循环的条件； 第二次执行循环体后， A=3， i=3，不满足退出循环的条件； 第三次执行循环体后， A=7， i=4，不满足退出循环的条件； 第四次执行循环体后， A=15， i=5，不满足退出循环的条件； 第五次执行循环体后， A=31， i=6，不满足退出循环的条件； 第六次执行循环体后， A=63， i=7，满足退出循环的条件； 故退出循环的条件应为： i 6， 故选： C 10如图，圆与两坐标轴分别 切于 A， B 两点，圆上一动点 P 从 A 开始沿圆周按逆时针方向匀速旋转回到 A 点，则 面积随时间变化的图象符合（ ） A B C D 【考点】 函数的图象 【分析】 分类讨论，结核函数值的变化情况以及所给的选项，得出结论 【解答】 解：当点 P 从 A 运动到 B 的过程中， 面积逐渐减小，在点 B 处， 当点 P 从 B 运动到圆的最高点的过程中， 面积又逐渐增大， 且当 P 位于圆的最高点时， 面积达到最大值 当点 P 从最高点运动到 A 的过程中， 面积又逐渐减小， 第 9 页（共 19 页） 故选： A 11经过双曲线 右焦点的直线与双曲线交于 A， B 两点，若 |4，则这样的直线的条数为（ ） A 4 条 B 3 条 C 2 条 D 1 条 【考点】 双曲线的简单 性质 【分析】 根据题意，求得 a、 b 的值，根据直线与双曲线相交的情形，分两种情况讨论： 双曲线的两支都相交，分析其弦长的最小值，可得符合条件的直线的数目，综合可得答案 【解答】 解：由双曲线 ，可得 a=2， b=1 若 与双曲线右支相交时， 最小距离是通径， 长度为 =1， 1， 此时有两条直线符合条件； 若 双曲线的两支都相交时，此时 最小距离是实轴两顶点的距离， 长度为 2a=4，距离无最大值， ， 此时有 1 条直线符合条件； 综合可得，有 3 条直线符合条件 故选： B 12若函数 f（ x） = （ a 0， b 0）的图象在 x=1 处的切线与圆 x2+ 相切，则 a+b 的最大值是（ ） A 4 B 2 C 2 D 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程；圆的切线方程 【分析】 求导数，求出切线方程，利用切线与圆 x2+ 相切，可得 a2+，利用基本不等式，可求 a+b 的最大值 【解答】 解： f（ x） = 的导数为 f（ x） = ， 令 x=1，可得切线的斜率为 f（ 1） = ，又 f（ 1） = ， 则切线方程为 y+ = （ x 1），即 ax+=0， 切线与圆 x2+ 相切， =1， a2+， a 0， b 0 a2+2 2（ a2+ （ a+b） 2， a+b = 第 10 页（共 19 页） a+b 的最大值是 故选： D 二、填空题：（本题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分） 13设函数 f（ x） = ，则 f（ f（ 1）的值为 2 【考点】 分段函数的应用；函数的值 【分析】 直接利用分段函数化简求解即可 【解答】 解：函数 f（ x） = ， 则 f（ 1） = ， f（ f（ 1） =f（ ） = 2 故答案为： 2 14已知平面向量 ， 满足 | |=3， | |=2， 与 的夹角为 60，若（ m ） ，则实数 m= 3 【考点】 数量积判断两个平面向量的垂直关系 【分析】 由题意可得 =3 2 3，（ ） = m =9 m 3=0，解方程求得实数 m 的值 【解答】 解：由题意可得 =3 2 3，（ ） = m =9 m 3=0， m=3， 故答案为： 3 15已知命题 p： x R， x+1 0 是假命题，则实数 a 的取值范围是 a 1 【考点】 特称命题；命题的真假判断与应用 【分析】 将条件转化为 x+1 0 恒成立，检验 a=0 是否满足条件，当 a 0 时，必须，从而解出实数 a 的取值范围 【解答】 解：命题 p： x R， x+1 0 是假命题， 即 “x+1 0“是真命题 当 a=0 时， 不成立， 当 a 0 时，要使 成立，必须 ，解得 a 1， 故实数 a 的取值范围为 a 1 故答案为： a 1 第 11 页（共 19 页） 16数列 ，已知对任意 n N*， a1+a2+n 1，则 = 【考点】 数列的求和 【分析】 设数列 前 n 项和为 ，当 n 2 时， 即可得出 n 1进而得到 ，再利用等比数列的前 n 项和公式即可得出 【解答】 解：设数列 前 n 项和为 ，当 n 2 时， n 1=3n 1（ 3n 1 1） =2 3n 1，当 n=1 时也成立 =（ 2 3n 1） 2=4 9n 1 =4（ 90+91+9n 1） = = 故答案为： 三、简答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17在 ，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且满 足 2c+a） A+C） （ ）求角 B 的大小； （ ）求函数 f（ x） =22x B）（ x R）的最大值 【考点】 正弦定理；三角函数的最值 【分析】 （ ）由正弦定理和和差角的三角函数公式可得 得角 B； （ ）由（ ）和三角函数公式化简可得 f（ x） = 2x ），易得函数最大值 【解答】 解：（ ） 在 2c+a） A+C）， 由正弦定理可得 2 2 A+B） = 2 2 约掉 得 ， B= ； （ ）由（ ）化简可得 f（ x） =22x ） =2 =2 2x ）， 当 2x =2即 x=， k Z 时，函数取最大值 第 12 页（共 19 页） 18如图 1，在直角梯形 ， 0， D= 将 C 折起， 使平面 平面 到如图 2 所示的几何体 D ）求证： 平面 （ ）求点 C 到平面 距离 【考点】 点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定 【分析】 （ I）由题意可得： C=2 ，又 得 面面垂直的性质定理可得： 平面 得 可证明结论 （ （ I）可知：平面 平面 点 C 作 足为 H可得 平面 用 即可得出 【解答】 （ I）证明：由题意可得： C=2 ， 又平面 平面 平面 又 C=C， 平面 （ ：由（ I）可知：平面 平面 点 C 作 足为 H则 面 点 C 到平面 距离 平面 在 ， ， ， =2 = = 点 C 到平面 距离是 19在某次考试中，全部考生参加了 “科目一 ”和 “科目二 ”两个科目的考试，每科成绩分为 A，B， C， D， E 五个等级某考场考生的两科考试成绩数据统计如图所示，其中 “科目一 ”成绩为 D 的考生恰有 4 人 第 13 页（共 19 页） （ 1）分别求该考场的考生中 “科目一 ”和 “科目二 ”成绩为 A 的考生人数； （ 2）已知在该考场的考生中，恰有 2 人的两科成绩均为 A，在至少一科成绩为 A 的考生中，随机抽取 2 人进 行访谈，求这 2 人的两科成绩均为 A 的概率 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【分析】 （ 1）根据题意，求出考生人数，计算考生 “科目一 ”和 “科目二 ”成绩为 A 的考生人数即可 （ 2）通过列举的方法计算出选出的 2 人所有可能的情况及这两人的两科成绩等级均为 A 的情况；利用古典概型概率公式求出随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为 【解答】 解：（ 1） “考生中 “科目一 ”科目中 D 等级学生所占的频率为 1 因为 “科目一 ”科目中成绩为 D 的考生有 4 人 ，所以该考场共有 4 0（人） 所以该考场学生中 “科目一 ”科目成绩等级为 A 的人数为 40 人， 所以该考场学生中 “科目二 ”科目成绩等级为 A 的人数为 40 （ 1 =40 （人） （ 2）因为两科考试中，共有 6 人得分等级为 A，又恰有两人的两科成绩等级均为 A， 所以还有 2 人只有一个科目得分为 A， 设这四人为甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是两科成绩都是 A 的同学， 则在至少一科成绩等级为 A 的考生中，随机抽取两人进行访谈，基本事件空间为： =甲，乙 ， 甲，丙 ， 甲，丁 ， 乙，丙 ， 乙，丁 ， 丙，丁 ，一共有 6 个基本事件 设 “随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为 A”为事件 M，所以事件 M 中包含的基本事件有 1 个， 则 P（ M） = 20设椭圆 C： + =1（ a b 0）的左、右焦点分别为 顶点为 A，过点 直的直线交 x 轴负半轴于点 Q，且 是 中点若过 A、 Q、 点的圆恰好与直线 l： x y 3=0 相切 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）设直线 y=x+2 与椭圆 C 交于 G、 H 两点在 x 轴上是否存在点 P（ m， 0），使得以邻边的平行四边形是菱形如果存在，求出 m 的取值范围，如果不存在，请说明理由 第 14 页（共 19 页） 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ 1）设椭圆 C 的半焦距为 c（ c 0），由已知得过 A、 Q、 点的圆的圆心为 c， 0），半径 2c=a， =2c，由此能求出椭圆的方程 （ 2）将直线 y=x+2 代入 ，得 76x+4=0，由此利用韦达定理能求出 中点 M，再由菱形的对角线互相垂直平分能求出存在满足题意的点 P，且能求出 m 的值 【解答】 解：（ 1）设椭圆 C 的半焦距为 c（ c 0）， 椭圆 C： + =1（ a b 0）的左、右焦点分别为 顶点为 A， 过点 A 与 直的直线交 x 轴负半轴于点 Q，且 是 中点， 过 A、 Q、 点的圆恰好与直线 l： x y 3=0 相切， 过 A、 Q、 点的圆的圆心为 c， 0），半径 2c=a， 又 该项圆与直线 l 相切， =2c， 解得 c=1， ， ， 所求椭圆的方程为 （ 2）将直线 y=x+2 代入 ，得 76x+4=0， 设 G（ H（ 则 ， ， ， 中点 M（ ）， 菱形的对角线互相垂直平分， 1， ，解得 m= ， 第 15 页（共 19 页） 存在满足题意的点 P，且 m 的值为 21已知函数 f（ x） = g（ x） = 2x， F（ x） =f（ x） g（ x） （ ）当 m 0，求函数 f（ x）的单调区间； （ ）当 m= 1 时，试问过点（ 2， 5）可作多少条直线与曲线 y=F（ x）相切？说明理由 【考点】 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 （ I）求出函数的定义域，求出函数的导数，利用函数的导数的符号判断函数的单调性，求出单调区间 （ 先表示出过点（ 2， 5）与曲线 y=g（ x）相切的直线，进而假设函数，可求得切线的条数 【解答】 解：（ I）函数 f（ x） = 定义域是（ 0， +） f（ x） =x = = 令 f（ x） =0 得： x= 或 x= （舍去） 由 f（ x） 0 得 x ， 此时 f（ x）是增函数； 由 f（ x） 0 得 0 x ， f（ x）是减函数 函数 f（ x）的增区间是（ = ， +），减区间是（ 0， ） （ 切点为（ 当 n= 1 时， F（ x） =f（ x） g（ x） =x， F（ x） = +2， 切线方程为 y 5=（ +2）（ x 2），切点在 y=F（ x）上，即 y1= 5=（ +2）（ 2）， 即 2=0， 令 ， 由 h（ x） =0 可得， x=2， 第 16 页（共 19 页） 由 h（ x） 0 得 x 2，由 h（ x） 0，得 x 2， h（ x）在（ 0， 2）上单调递减，在（ 2， +）上单调递增， 当 x=2 时，函数 h（ x）取得极小值同时也是最小值， h（ 2） =1 0，且 h（ ） =2e 3 0， h（ = 0， h（ x）与 x 轴有两个交点 过点（ 2， 5）可作 2 条曲线 y=g（ x）的切线 请考生在 22、 23、 24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 选修 4何证明选讲 22已知 圆 O 的直径，点 A 为圆周上一点， 点 D，过点 A 作圆 O 的切线交 延长线于点 P，过点 B 作 直 延长线于点 E求证： （ 1） D=C； （ 2） E 【考点】 与圆有关的比例线段 【分析】 （ 1）证明 得 E=B，因为 别为圆 O 的切线与割线，所以 B式相除，即可证明 D=C； （ 2）连接 明 A， D， B， E 四点共圆且 直径，即可得出 E 【解答】 证明：（ 1）因为 所以 所以 ， 所以 E=B， 因为 别为圆 O 的切线与割线， 所以 B 所以 = ， 所以 D=C； （