2016年4月山西省运城市高考数学模拟试卷(理科)含答案解析

第 1 页（共 21 页） 2016 年山西省运城市高考数学模拟试卷（理科）（ 4 月份） 一、选择题（每小题 5 分，共 60 分） 1设全集为 R，集合 A=x| 0， B=x| 2 x 0，则（ B=（ ） A（ 1， 0） B 1， 0） C 2， 1 D 2， 1） 2复数 =（ ） A 1 2i B 1+2i C 1+2i D 1 2i 3已知等差数列 前 n 项和为 2a6=，则 （ ） A 49 B 42 C 35 D 24 4运行如图所示的程序框图，则输出 S 的值为（ ） A 3 B 2 C 4 D 8 5如图为一个圆柱中挖去两个完全相同的圆锥而形成的几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A B C D 6两个随机变量 x， y 的取值表为 x 0 1 3 4 y x， y 具有线性相关关系，且 = x+下列四个结论错误的是（ ） A x 与 y 是正相关 B当 x=6 时， y 的估计值为 x 每增加一个单位， y 增加 单位 D样本点（ 3， 的残差为 2 页（共 21 页） 7设偶函数 f（ x）对任意 x R，都有 f（ x+3） = ，且当 x 3， 2时， f（ x）=4x，则 f=（ ） A 10 B C 10 D 8已知椭圆 + =1 的右焦点为 F， P 是椭圆上一点，点 A（ 0， 2 ），则 周长最大值等于（ ） A 10 B 12 C 14 D 15 9为了研究钟表与三角函数的关系，以 9 点与 3 点所在直线为 x 轴，以 6 点与 12 点为 秒针针尖指向位置 P（ x， y），若初始位置为 ， ），秒针从 此时 t=0）开始沿顺时针方向走动，则点 P 的纵坐标 y 与时间 t（秒）的函数关系为（ ） A y=t+ ） B y=t ） C y= t+ ） D y= t ） 10在三棱锥 D ，已知 C=， C=2， 三棱锥 D接球的表面积为（ ） A 6 B 12 C 6 D 6 11设 别为双曲线 的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点 P，满足 |且 直线 距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率 e 为（ ） A B C D 12定义在 R 上的函数 f（ x）满足 f（ 1） =1，且对任意的 x R，都有 f（ x） ，则不等式 f（ 的解集为（ ） A（ 1， +） B（ 0， 1） C（ 0， 2） D（ 2， +） 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 13已知非零向量 ， 满足 | |=2，且 | + |=| |，则向量 在向量 方向上的投影是 14（ 1 x） 6（ 1+x） 4 的展开式中 系数是 15设实数 x， y 满足不等式组 ，则 z=|x+y 10|的最大值是 第 3 页（共 21 页） 16已知数列 足 2（ 1） n2+（ 1） n=1+（ 1） n 3n，则 三、解答题（本题共 5 小题，共 70 分） 17在 ，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，满足 2c b （ ）求角 A； （ ）若 面积为 ，且 a= ，请判断 形状，并说明理由 18如图，四棱猪 ，侧棱 底面 D=， B=2， E 为棱 中点 （ 1）证明： （ 2）求二面角 余弦值 19某省高中男生身高统计调查数据显示：全省 100000 名男生的身高服从正态分布 N现从某学校高三年级男生中随机抽取 50 名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于 间，将测量结果按如下方式分成 6 组：第 1 组 第 2 组 ，第 6 组 如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图 （ ）试评估该校高三年级男生的平均身高； （ ）求这 50 名男生身高在 上（含 人数； （ ）在这 50 名男生身高在 上（含 人中任意抽取 2 人，该 2 人中身高排名（从高到低）在全省前 130 名的人数记为 ，求 的分布列和数学期望 参考数据：若 N（ ， 2），则 P（ +） =P（ 2 +2） =（ 3 +3） = 20已知抛物线 p 0）的顶点到焦点的距离为 1，过点 P（ 0， p）作直线与抛物线交于 A（ B（ 点，其中 第 4 页（共 21 页） （ 1）若直线 斜率为 ，过 A， B 两点的圆 C 与抛物线在点 A 处有共同的切线，求圆C 的方程； （ 2）若 = ，是否存在异于点 P 的点 Q，使得对任意 ，都有 （ ），若存在，求 Q 点坐标；不存在，说明理由 21设函数 f（ x） =（ x+1） a（ x 1） （ 1）若函数 f（ x）在 x=e 处的切线与 y 轴相交于点（ 0， 2 e），求 a 的值； （ 2）当 1 x 2 时，求证： 四、选做题（请考生在第 22、 23、 24 题中任选一题作答，若多做，则按所做的第一题计分）几何证明选讲 22如图，正方形 长为 2，以 D 为圆心、 半径的圆弧与以 直径的半圆O 交于点 F，连结 延长交 点 E （ 1）求证： B； （ 2）求 C 的值 选修 4标系与参数方程 23以直角坐标系的原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，且 两个坐标系取相等的长度单位建立坐标系，已知直线 l 的极坐标方程为 2，曲线 C 的参数方程为（ 为参数） （ ）求曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程； （ ） P（ 1， 1），设直线 l 与曲线 C 相交于 A、 B 两点，求 |值 选修 4等式选讲 24已知函数 f（ x） =|x 2| （ 1）解不等式 f（ x） +f（ x+1） 5； （ 2）若 |a| 1 且 ，证明： |b| 2 第 5 页（共 21 页） 2016 年山西省运城市高考数学模拟试卷（理科）（ 4 月份） 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题 5 分，共 60 分） 1设全集为 R，集合 A=x| 0， B=x| 2 x 0，则（ B=（ ） A（ 1， 0） B 1， 0） C 2， 1 D 2， 1） 【考点】 交、并、补集的混合运算 【分析】 先解出关于集合 A 的不等式，求出 A 的补集，从而求出其补集与 B 的交集 【解答】 解： 集合 A=x| 0=x| 1 x 1=（ 1， 1， ， 1 （ 1， +）， B=x| 2 x 0= 2， 0） （ B= 1， 0） 故选： B 2复数 =（ ） A 1 2i B 1+2i C 1+2i D 1 2i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 把分子分母同时乘以分母的共轭复数，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】 解： = ， 故选： A 3已知等差数列 前 n 项和为 2a6=，则 （ ） A 49 B 42 C 35 D 24 【考点】 等差数列的前 n 项和；等差数列的通项公式 【分析】 设等差数列 公差为 d，由 2a6=，可得 由等差数列的性质可得：a1+利用前 n 项和公式即可得出 【解答】 解：设等差数列 公差为 d， 2a6=， 2（ d） =d+6，化为 d=6 即 由等差数列的性质可得： a1+ =7 6=42 故选 B 4运行如图所示的程序框图，则输出 S 的值为（ ） 第 6 页（共 21 页） A 3 B 2 C 4 D 8 【考点】 程序框图 【分析】 分析程序框图知：该程序运行后输出的是 S=1 1+2 3+（ 1） nn 的值，根据最后一次循环的情况即可得出结论 【解答】 解：运行如图所示的 程序框图，知： 该程序运行后输出的是 S=1 1+2 3+（ 1） nn 的值； 当 n=5 时，满足条件 n 5，计算 S=1 1+2 3+4 5= 2； 当 n=6 时，不满足条件 n 5，输出 S= 2 故选： B 5如图为一个圆柱中挖去两个完全相同的圆锥而形成的几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A B C D 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 V=V 圆柱 2V 圆锥 ，由三视图可观察圆柱的底面直径为 2，高为 2，圆锥的底面直径为 2，高为 1，由圆柱和圆锥的体积公式，即可求得几何体的体积 【解答】 解：圆柱的底面直径为 2，高为 2，圆锥的底面直径为 2，高为 1， 该几何体的体积 V=V 圆柱 2V 圆锥 = = ， 故答案为： C 6两个随机变量 x， y 的取值表为 x 0 1 3 4 y x， y 具有线性相关关系，且 = x+下列四个结论错误的是（ ） A x 与 y 是正相关 第 7 页（共 21 页） B当 x=6 时， y 的估计值为 x 每增加一个单位， y 增加 单位 D样本点（ 3， 残差为 考点】 线性回归方程 【分析】 求出回归方程，分别将对应的数据代入方程分 别对各个选项判断即可 【解答】 解：对于 A：结合表格，显然正确； 对于 B： = （ 0+1+3+4） =2， = （ = +得： = = x=6 时， =6+ 故 B 正确； 对于 C：由 = C 正确； 对于 D： x=3 时， =3+ 残差是： 故 D 错误； 故选： D 7设偶函数 f（ x）对任意 x R，都有 f（ x+3） = ，且当 x 3， 2时， f（ x）=4x，则 f=（ ） A 10 B C 10 D 【考点】 函数的周期性 【分析】 先通过有 f（ x+3） = ，且可推断函数 f（ x）是以 6 为周期的函数进而可求得 f=f（ 再利用 f（ x+3） = 以及偶函数 f（ x）和 x 3， 2时， f（ x）=4x 即可求得 f 的值 【解答】 解：因为 f（ x+3） = ，故有 f（ x+6） = = =f（ x）函数 f（ x）是以 6 为周期的函数 f=f（ 6 17+=f（ = = = = 故选 B 第 8 页（共 21 页） 8已知椭圆 + =1 的右焦点为 F， P 是椭圆上一点，点 A（ 0， 2 ），则 周长最大值等于（ ） A 10 B 12 C 14 D 15 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 如图所示，设椭圆的左焦点为 F， | =4=|， |=2a=6，利用 | | |，即可得出 【解答】 解：如图所示，设椭圆的左焦点为 F， | =4=|， 则 |=2a=6， | | |， 周长 =|6 | 4+6+4=14，当且仅当三点 A， F，P 共线时取等号 周长最大值等于 14 故选： C 9为了研究钟表与三角函数的关系，以 9 点与 3 点所在直线为 x 轴，以 6 点与 12 点为 秒针针尖指向位置 P（ x， y），若初始位置为 ， ），秒针 从 此时 t=0）开始沿顺时针方向走动，则点 P 的纵坐标 y 与时间 t（秒）的函数关系为（ ） A y=t+ ） B y=t ） C y= t+ ） D y= t ） 【考点】 正弦函数的图象 【分析】 求出转速 的值，再求出经过时间 t，秒针与 x 正半轴的夹角以及秒针的长度为|即可求得点 P 的纵坐标 y 与时间 t 的函数关系 【解答】 解：以 9 点与 3 点所在直线为 x 轴，以 6 点与 12 点为 y 轴，设秒针针尖指向位置P（ x， y）， 若初始位置为 ， ），秒针从 此时 t=0）开始沿顺时针方向走动， 第 9 页（共 21 页） 由于秒针每 60 秒顺时针转一周，故转速 = = ， 由于初始位置为 ， ），故经过时间 t，秒针与 x 正半轴的夹角为 t+ ， 再由秒针的长度为 |1，可得点 P 的纵坐标 y 与时间 t 的函数关系为 y= t+ ）， 故选： C 10在三棱锥 D ，已知 C=， C=2， 三棱锥 D接球的表面积为（ ） A 6 B 12 C 6 D 6 【考点】 球的体积和表面积 【分析】 利用直线平面的垂直得出 用直角三角形的性质得出球心，即可求解外接球的半径 【解答】 解： C=， C=2， B=C， C=B， 面 面 O 为 点， 直角三角形中得出： B=D， O 为外接球的球心， 半径 R= = ， 三棱锥 D 接球的表面积为： 4 （ ） 2=6， 故选： A 第 10 页（共 21 页） 11设 别为双曲线 的左、右焦点，若在双 曲线右支上存在点 P，满足 |且 直线 距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率 e 为（ ） A B C D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出 a 与 b 之间的等量关系，进而求出离心率 【解答】 解 ：依题意 |可知三角形 一个等腰三角形， 直线 勾股定理知 可知 |2 =4b 根据双曲定义可知 4b 2c=2a，整理得 c=2b a，代入 c2=a2+4，求得 = ； e= = = = 故选： D 12定义在 R 上的函数 f（ x）满足 f（ 1） =1，且对任意的 x R，都有 f（ x） ，则不等式 f（ 的解集为（ ） A（ 1， +） B（ 0， 1） C（ 0， 2） D（ 2， +） 【考点】 利用导数研究函数的单调性 【 分析】 设 g（ x） =f（ x） x，由 f（ x） ，得到 g（ x）小于 0，得到 g（ x）为减函数，将所求不等式变形后，利用 g（ x）为减函数求出 x 的范围，即为所求不等式的解集 【解答】 解：设 g（ x） =f（ x） x， f（ x） ， g（ x） =f（ x） 0， g（ x）为减函数，又 f（ 1） =1， f（ = ， 即 g（ =f（ =g（ 1） =f（ 1） =g（ y=底数是 2 的增函数， 第 11 页（共 21 页） 0 x 2， 则不等式 f（ 的解集为（ 0， 2） 故选： C 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 13已知非零向量 ， 满足 | |=2，且 | + |=| |，则向量 在向量 方向上的投影是 2 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 由 | + |=| |可得 =0，计算（ ） ，代入投影公式计算即可 【解答】 解： | + |=| |， ，即 =0 （ ） = = 4 向量 在向量 方向上的投影为 | | = = = 2 故答案为： 2 14（ 1 x） 6（ 1+x） 4 的展开式中 系数是 3 【考点】 二项式系数的性质 【分析】 由（ 1 x） 6（ 1+x） 4 变 形为：（ 1 4（ 1 2x+=（ 1 +）（ 1 2x+即可得出 【解答】 解：（ 1 x） 6（ 1+x） 4=（ 1 4（ 1 2x+=（ 1 +）（ 1 2x+ 展开式中 系数 1 = 3 故答案为： 3 15设实数 x， y 满足不等式组 ，则 z=|x+y 10|的最大值是 8 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，利用点到直线的距离公式进行转化求解即可 【解答】 解：作出不等式组对应的平面区域如图， z=|x+y 10|= ， 设 d= ， 则 d 的几何意义是区域内的点到直线 x+y 10=0 的距离， 第 12 页（共 21 页） 则 z= d， 由图象知 D 到直线 x+y 10=0 的距离最大， 其中 D（ 1， 1）， 此时 d= = ， 则 z= d= =8， 故答案为： 8， 16已知数列 足 2（ 1） n2+（ 1） n=1+（ 1） n 3n，则 300 【考点】 数列递推式 【分析】 由 2（ 1） n2+（ 1） n=1+（ 1） n 3n，当 n=2k（ k N*），可得：=1+6k， n=2k 1（ k N*），可得： 31+ 6k+3，于是 1=4k 1，利用 “累加求和 ”方法与等差数列的前 n 项和公式即可得出 【解答】 解： 2（ 1） n2+（ 1） n=1+（ 1） n 3n， n=2k（ k N*），可得： =1+6k， n=2k 1（ k N*），可得： 31+ 6k+3， 1=4k 1， +（ +（ +（ 4 12 1） +（ 4 11 1） +（ 4 1 1） + 12+00+ 则 00， 故答案为： 300 三、解答题（本题共 5 小题，共 70 分） 17在 ，角 A， B， C 的对边 分别为 a， b， c，满足 2c b （ ）求角 A； （ ）若 面积为 ，且 a= ，请判断 形状，并说明理由 【考点】 余弦定理；正弦定理 【分析】 （ ）由正弦定理，三角形内角和定理化简已知可得 2 0，可得 ，结合范围 0 A ，即可求得 A 的值 第 13 页（共 21 页） （ ）利用特殊角的三角函数 值可求 用三角形面积公式可求 值，由余弦定理解得 b2+，从而解得 b=c=a= ，即可得解 【解答】 （本题满分为 12 分） 解：（ ） 2c b，由正弦定理，可得： 2 又 A+B） = 2 ， 0，故 ， 0 A ， A= （ ） 等边三角形，理由如下： 由（ ）可知 A= ， ， S 解得 ，由余弦定理： a2=b2+2得 b2+ 解得： c= ， b= ， 等边三角形 18如图，四棱猪 ，侧棱 底面 D=， B=2， E 为棱 中点 （ 1）证明： （ 2）求二面角 余弦值 【考点】 二面角的平面角及求法 【分析】 （ ）由题意可知， 两互相垂直，以 a 为坐标原点建立空间直角坐标系，标出点的坐标后，求出 和 ，由 =0 得到 （ ）求出平面 平面 一个法向量，先求出两法向量所成角的余弦值，由此能求出二面角 余弦值 【解答】 证明：（ 1） 四棱锥 ，侧棱 底面 B D=1， B=2， E 为棱 中点 以点 A 为原点， 别为 x， y， 立空间直角坐标系，如图， 第 14 页（共 21 页） 依题意得 A（ 0， 0， 0）， B（ 0， 0， 2）， C（ 1， 0， 1）， 0， 2， 2）， 1， 2， 1）， E（ 0， 1， 0） 则 =（ 1， 0， 1）， =（ 1， 1， 1）， =（ 1， 0， 1） （ 1， 1， 1） =0 解：（ 2）解： =（ 1， 2， 1）， 设平面 法向量为 =（ x， y， z）， 则 ，取 z=1，得 x= 3， y= 2 =（ 3， 2， 1） 由（ ）知 平面 故 =（ 1， 0， 1）为平面 一个法向量， = = = ， 二面角 平面角为锐角， 二面角 余弦值为 19某省高中男生身高统计调查数据显示：全省 100000 名男生的身高服从正态分布 N现从某学校高三年级男生中随机抽取 50 名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于 间，将测量结果按如下方式分成 6 组：第 1 组 第 2 组 ，第 6 组 如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图 （ ）试评估该校高三年级男生的平均身高； （ ）求这 50 名男生身高在 上（含 人数； （ ）在这 50 名男生身高在 上（含 人中任意抽取 2 人，该 2 人中身高排名（从高到低）在全省前 130 名的人数记为 ，求 的分布列和数学期望 参考数据：若 N（ ， 2），则 P（ +） =P（ 2 +2） =（ 3 +3） = 第 15 页（共 21 页） 【考点】 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；频率 分布直方图；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差 【分析】 （ I）计算平均身高用组中值 频率，即可得到结论； （ 理解频率分布直方图横纵轴表示的意义，横轴表示身高，纵轴表示频数，即每组中包含个体的个数； 根据频数分布直方图，了解数据的分布情况，知道每段所占的比例，从而求出这 50 名男生身高在 上（含 人数； （ 根据正态分布的规律求出全市前 130 名的身高在 上的 50 人中的人数，确定 的可能取值，求出其概率，即可得到 的分布列与期望 【 解答】 解：（ ）根据频率分布直方图，得我校高三年级男生平均身高为 =160 5+165 5+170 5+175 5+180 5+185 5= 高于全市的平均值 （ ）由频率分布直方图知，后两组频率为 人数为 50=10， 即这 50 名男生身高在 上（含 177.5 人数为 10 人； （ ） P= P（ = = 100 000=130， 全省前 130 名的身高在 182.5 上，这 50 人中 182.5 上的有 5 人； 随机变量 可取 0， 1， 2，于是 P（ =0） = = ， P（ =1） = = ， P（ =2） = =， +1 +2 =1 20已知抛物线 p 0）的顶点到焦点的距离为 1，过点 P（ 0， p）作直线与抛物线交于 A（ B（ 点，其中 （ 1）若直线 斜率为 ，过 A， B 两 点的圆 C 与抛物线在点 A 处有共同的切线，求圆C 的方程； 第 16 页（共 21 页） （ 2）若 = ，是否存在异于点 P 的点 Q，使得对任意 ，都有 （ ），若存在，求 Q 点坐标；不存在，说明理由 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 （ 1）先求出 p 的值，再求出直线方程 ，求出 A， B 的坐标，根据导数的几何意义求出切线的斜率，设圆 C 的方程为（ x a） 2+（ y b） 2=用待定系数法解得即可， （ 2）依题意可设直线 方程为 y=，代入抛物线方程 y，根据未达定理得到 8，若 k=0，这时 =1，设点 Q 的坐标是（ 0， m），利用向量的坐标运算和向量的垂直的条件得到即 （ x1+ 4m） =0，代入计算即可求出 m 的值 【解答】 解：（ 1）由已知得 p=2，直线和 y 轴交于点（ 0， 2）， 则直线 方程为 y 2= x，即 x 2y+4=0， 由 得 A， B 的坐标分别为（ 4， 4），（ 2， 1）， 又由 y，得到 y= y= x， 抛物线抛物线在点 A 处切线的斜率为 2， 设圆 C 的方程为（ x a） 2+（ y b） 2= 则 ， 解得 a= 1， b= ， ， 圆的方程为（ x+1） 2+（ y ） 2= ， 即为 x2+x 13x+12=0， （ 2）依题意可设直线 方程为 y=，代入抛物线方程 y 得 48=0， 8， ， 由已知 = 得 若 k=0，这时 =1，要使 （ ）， Q 点必在 y 轴上， 设点 Q 的坐标是（ 0， m），从而 =（ 0， 2 m）， =（ m） （ m） =（ m （ m） （ ） =（ 2 m） m（ 1 ） =0， m（ 1 ） =0， 即 + m（ 1+ ） =0， 即 （ x1+ 4m） =0，将 代入得 m= 2， 存在点 Q（ 0， 2）使得 （ ） 第 17 页（共 21 页） 21设函数 f（ x） =（ x+1） a（ x 1） （ 1）若函数 f（ x）在 x=e 处的切线与 y 轴相交于点（ 0， 2 e） ，求 a 的值； （ 2）当 1 x 2 时，求证： 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 （ 1）求函数的导数，根据导数的几何意义即可求出函的切线斜率，即可求得 a 的值； （ 2） a=2 时， f（ x） =（ x+1） 2（ x 1），得到 f（ x）在（ 1， 2）上是增函数，可知（ x+1）2（ x 1），即 利用函数的单调性，求得 ，根据对数函数的运算即可证明不等式成立 【解答】 解：（ 1） f（ x） =+1 a， x （ 0， +） 由题意可知： =f（ e）， 整理得： e+1 a（ e 1）（ 2 e） =e（ 1+ +1 a），解得 a=2； 证明：（ 2）当 a=2 时， f（ x） =（ x+1） 2（ x 1）， f（ x） = 1， f（ x） = 0， f（ x）在（ 1， 2）递增， f（ x） f（ 1） =0， f（ x）在（ 1， 2）上是增函数， f（ x） f（ 1） =0，即（ x+1） 2（ x 1）， ， 1 x 2， 0 2 a 1， 1， = ， 即 ， +得： + = ， 原式成立 四、选做题（请考生在第 22、 23、 24 题中任选一题作答，若多做，则按所做的第一题计分）几何证明选讲 22如图，正方形 长为 2，以 D 为圆心、 半径的圆弧与以 直径的半圆O 交于点 F，连结 延长交 点 E （ 1）求证： B； 第 18 页（共 21 页） （ 2）求 C 的值 【考点】 与圆有关的比例线段 【分析】 （ 1）由题意得 圆 D 的切线，由切割线定理，得 FF此能证明