2016年陕西省咸阳市高考数学临考模拟试卷（文）含答案解析

第 1 页（共 20 页） 2016 年陕西省咸阳市高考数学临考模拟试卷（文科） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合 M=0， 1，集合 N=x|x2+x=0），则集合 M N 等于（ ） A 0 B 0 C D 1， 0， 1 2复数 的共轭复数的虚部为（ ） A 2 B 2 C 1 D 1 3已知点 A（ 1， 3）， B（ 2， 3）， C（ m， 0），向量 ，则实数 m 的值是（ ） A 20 B 21 C 22 D 23 4在同一坐标系内，函数 y=x+ 和 y=4图象公共点的个数为（ ） A 6 B 4 C 2 D 1 5某单位有老年人 28 人，中年人 54 人，青年人 81 人为了调查他们的身体状况，需从他们中抽取一个容量为 36 的样本，最适合抽取样本的方法是（ ） A简单随机抽样 B系统抽样 C分层抽样 D先从老年人中剔 除一人，然后分层抽样 6设变量 x， y 满足约束条件 ，则目标函数 z= （ 2x+y）的最小值（ ） A 2 B 1 C 1 D 2 7设计一个杯子，其三视图如图所示，现在向杯中匀速注水，杯中水面的高度 h 随时间 ） A B C D 8已知函数 f（ x） = ， x ，且对于不等于 的任何实数 x，满足 ff（ x） =x，则实数 c 的值为（ ） A 3 B 2 C 2 D 3 第 2 页（共 20 页） 9对一个作直线运动的质点的运动过程观测了 8 次，得到如表所示 的数据 观测次数 i 1 2 3 4 5 6 7 8 观测数据 0 41 43 43 44 46 47 48 在上述统计数据的分析中，一部分计算见如图所示的算法流程图（其中 是这 8 个数据的平均数），则输出的 S 的值是（ ） A 5 B 6 C 7 D 8 10已知直线 l 过抛物线 C 的焦点，且与 C 的对称轴垂直 l 与 C 交于 A， B 两点， |12，P 为 C 的准线上一点，则 面积为（ ） A 18 B 24 C 36 D 48 11已知长方体 外接球的体积为 ，则该长方体的表面积的最大值为（ ） A 32 B 28 C 24 D 16 12已知 f（ x） =a+ ，对 x （ 0， +），有 f（ x） 0，则实数 a 的取值范围是（ ） A B C D 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13若 b 在 0， 10上随机地取值，则使方程 bx+b+3=0 有实根的概率是 14已知 的值为 15已知函数 f（ x） =奇函数（ a 0， a 1），则 m 的值等于 16设点 P 是圆 x2+ 上的任一点，定点 D 的坐标为（ 8， 0）当点 P 在圆上运动时，则线段 中点 M 的轨迹方程是 第 3 页（共 20 页） 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17已知 f（ x）是 R 上的单调函数， R， R，总有 f（ =f（ f（ +f（ 成立 （ I）求 值； （ 若 f（ =1，且 n N*，有 an=f（ ） +1，若数列 前 n 项和 证：1 18已知四棱锥 P 底面为平行四边形，高为 h，过底面一边 截面，与侧面于 截面将棱锥分成体积相等的两部分， （ I）求证： 平面 （ 底面 距离 19五一劳动节期间，记者通过随机询问某景区 60 名游客对景区的服务是否满意，得到如下的列联表：性别与对景区的服务是否满意（单位：名） 男 女 总计 满意 24 不满意 6 总计 60 已知在 60 人中随机抽取 1 人，抽到男性的概率为 （ I）请将上面的 2 2 列联表补充完整（直接写结果），并判断是否有 75%的把握认为 “游客性别与对景区的服务满意 ”有关，说明理由； （ 这 60 名游客中按对景区的服务是否满意采取分层抽样，抽取一个容量为 5 的样本，从这 5 人中任选 3 人，求所选的 3 人至少有一名男性的概率 附： P（ 2= （其中 n=a+b+c+d） 20抛物线的顶点在原点，焦点在 x 轴的正半轴上，直线 x+y 1=0 与抛物线相交于 A、 | （ 1）求抛物线的方程； 第 4 页（共 20 页） （ 2）在 x 轴上是否存在一点 C，使 正三角形？若存在，求出 C 点的坐标；若不存在，请说明理由 21已知函数 f（ x） =x 3 （ I） 当 x 5 时， f（ x） 0，求 k 的取值范围； （ 当 k= 1 时，求证： f（ x） 6 选修 4 合证明选讲 22如图，在 ， C=90， 分 点 E，点 D 在 ， （ ）求证： 外接圆的切线； （ ）若 ， ，求 长 选修 4标系与参数方程 23已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与 x 轴的正半轴重合，直线 l 的极坐标方程为 + ） = ，曲线 C 的参数方程是 （ 是参数） （ I）求直线 l 及曲线 C 的直角坐标方程； （ 曲线 C 上的点到直线 l 的最小距离 选修 4等式选讲 24对于实数 x （ 0， ）， f（ x） = （ I） f（ x） t 恒成立，求 t 的最大值； （ （ I）的条件下，求不等式 |x+t|+|x 2| 5 的解集 第 5 页（共 20 页） 2016 年陕西省咸阳市高考数学临考模拟试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合 M=0， 1，集合 N=x|x2+x=0），则集合 M N 等于（ ） A 0 B 0 C D 1， 0， 1 【考点】 并集及其运算 【分析】 先求出集合 N 中的元素，再求出其和 M 的交集即可 【解答】 解： 集合 M=0， 1， 集合 N=x|x2+x=0） =0， 1， 则集合 M N= 1， 0， 1 故选： D 2复数 的共轭复数的虚部为（ ） A 2 B 2 C 1 D 1 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 利用复数代数形式的乘除运算化简，结合共轭复数的概念得答案 【解答】 解： = ， 复数 的共轭复数为 2 2i，其虚部为 2 故选： A 3已知点 A（ 1， 3）， B（ 2， 3）， C（ m， 0），向量 ，则实数 m 的值是（ ） A 20 B 21 C 22 D 23 【考点】 平面向量数量积的运算；平面向量的坐标运算 【分析】 求出向量的坐标，利用数量积为 0，求解即可 【解答】 解：点 A（ 1， 3）， B（ 2， 3）， C（ m， 0）， =（ 1， 6）， =（ m 2， 3） 向量 ， 可得 m 2 18=0 解得 m=20 故选： A 4在同一坐标系内，函数 y=x+ 和 y=4图象公共点的个数为（ ） A 6 B 4 C 2 D 1 【考点】 函数的图象 【分析】 利用函数的奇偶性和单调性、最值，数形结合可得两个函数图象公共点的个数 【解答】 解：函数 y=x+ 和 y=4是奇函数，故它们的图象的交点关于原点对称， 第 6 页（共 20 页） 且 y=4周期为 4 的函数 在（ 0， +）上，再根据当 x=1 时，函数 y=x+ 取得最小值为 2， 同时，函数 y=4得最大值为 4， 故在（ 0， +）上，函数 y=x+ 和 y=4图象公共点的个数为 2， 故在 R 上，函数 y=x+ （图中红色曲线）和 y=4图中黑色曲线）的图象公共点的个数为 4， 如图所示： 故选： B 5某单位有老年人 28 人，中年人 54 人，青年人 81 人为了调查他们的身体状况，需从他们中抽取一个容量为 36 的样本，最适合抽取样本的方法 是（ ） A简单随机抽样 B系统抽样 C分层抽样 D先从老年人中剔除一人，然后分层抽样 【考点】 分层抽样方法 【分析】 由于总体由具有明显不同特征的三部分构成，故应采用分层抽样的方法，若直接采用分层抽样，则运算出的结果不是整数，先从老年人中剔除一人，然后分层抽样 【解答】 解：由于总体由具有明显不同特征的三部分构成，故不能采用简单随机抽样，也不能用系统抽样，若直接采用 分层抽样，则运算出的结果不是整数，先从老年人中剔除一人，然后分层抽样，此时，每个个体被抽到的概率等于 = = ，从各层中抽取的人数分别为 27 =6， 54 =12， 81 =18 第 7 页（共 20 页） 故选 D 6设变量 x， y 满足约束条件 ，则目标函数 z= （ 2x+y）的最小值（ ） A 2 B 1 C 1 D 2 【考点】 简单线性规划 【分析】 画出平面区域，利用目标函数的几何意义求最小值 【解答】 解：已知约束条件对应的区域如图：设 z=2x+y，平移此直线，当过图中 A 时使得Z 最小，由 得到 A（ 1， 1）， 所以 z 的最小值为 2+1=3，所以目标函数 z= （ 2x+y）的最小值为=2； 故选： D 7设计一个杯子，其三视图如图所示，现在向杯中匀速注水，杯中水面的高度 h 随时间 ） 第 8 页（共 20 页） A B C D 【考点】 简单空间图形的三视图；函数的图象；旋转体（圆柱、圆锥、圆台） 【分析】 由三视图可以看出，此几何体是一个圆柱，如果往其中注水，由于其横截面始终不变，故其水面高度应该是匀速上升的，接合函数的知识来选择正确选项即可 【解答】 解：由三视图可知杯子是圆柱形的，由于圆柱形的杯子上下大小相同，所以当向杯中匀速注水时，其高度随时间的变化是相同的，反映在图象上，其图象形状应是直线型的， 选项 A，递增速度越来越快，不符合题意； 选项 B 符合题意； 选项 C 水面高度增加速度不停变化，故不正确； 选项 D 中水面上升速度越 来越慢，不符合题意，故不正确 故选 B 8已知函数 f（ x） = ， x ，且对于不等于 的任何实数 x，满足 ff（ x） =x，则实数 c 的值为（ ） A 3 B 2 C 2 D 3 【考点】 根的存在性及根的个数判断 【分析】 化简 ff（ x） x=f（ ） x= ，从而判断即可 【解答】 解： ff（ x） x=f（ ） x = x = ， 对于不等于 的任何实数 x，满足 ff（ x） =x， ， 解得， c= 3； 故选 A 9对一个作直线运动的质点 的运动过程观测了 8 次，得到如表所示的数据 观测次数 i 1 2 3 4 5 6 7 8 观测数据 0 41 43 43 44 46 47 48 第 9 页（共 20 页） 在上述统计数据的分析中，一部分计算见如图所示的算法流程图（其中 是这 8 个数据的平均数），则输出的 S 的值是（ ） A 5 B 6 C 7 D 8 【考点】 程序框图 【分析】 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算输入的 8 个数的方差由表中给出的输入的 8 个数的数据，不难得到答案 【解答】 解：分析程序中各变量、各语句的作用， 再根据流程图所示的顺序，可知： 该程序的作用是计算输入的 8 个数的方差 由表中给出的输入的 8 个数的数据，不难得到答案 = （ 40+41+43+43+44+46+47+48） =44， （ 42+32+12+12+02+22+32+42） =7， 故选： C 10已知直线 l 过抛物线 C 的焦点，且与 C 的对称轴垂直 l 与 C 交于 A， B 两点， |12，P 为 C 的准线上一点，则 面积为（ ） A 18 B 24 C 36 D 48 【考点】 直线与圆锥曲线的关系 【分析】 首先设抛物线的解析式 p 0），写出次抛物线的焦点、对称轴以及准线，然后根据通径 |2p，求出 p， 面积是 | 积一半 【解答】 解：设抛物线的解析式为 p 0）， 则焦点为 F（ ， 0），对称轴为 x 轴，准线为 x= 直线 l 经过抛物线的焦点， A、 B 是 l 与 C 的交点， 第 10 页（共 20 页） 又 x 轴 |2p=12 p=6 又 点 P 在准线上 +| |） =p=6 S （ B） = 6 12=36 故选 C 11已知长方体 外接球的体积为 ，则该长方体的表面积的最大值为（ ） A 32 B 28 C 24 D 16 【考点】 球的体积和表面积；球内接多面体 【分析】 设长方体 长宽高分别为 x， y， z，根据外接球的直径就是长方体对角线，且外接球的体积为 ， 得到 x2+y2+6，进而根据基本不等式得到长方体表面积 S=232 【解答】 解：设长方体 长宽高分别为 x， y， z， 外接球的直径就是长方体对角线，且外接球的体积为 ， = ， R=2， 长方体 外接球的直径为 4， 则有 x2+y2+6， 则长方体 表面积 S=2x2+y2+z2+x2+y2+2， 则长方体的表面积的最大值为 32， 故选： A 12已知 f（ x） =a+ ，对 x （ 0， +），有 f（ x） 0，则实数 a 的取值范围是（ ） 第 11 页（共 20 页） A B C D 【考点】 基本不等式 【分析】 变形利用基本不等式的性质即可得出 【解答】 解： f（ x） =a+ ，对 x （ 0， +），有 f（ x） 0， a = ，当且仅当 x=1 时取 等号 故选： A 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13若 b 在 0， 10上随机地取值，则使方程 bx+b+3=0 有实根的概率是 【考点】 几何概型 【分析】 由题意，本题是几何概型的概率；利用区间长度的比解之 【解答】 解：已知 b 在 0， 10上，区间长度为 10， 又在此范围内满足方程 bx+b+3=0 有实根的 b 的范围是 4（ b+3） 0， 即 6， 10， 区间长度为 4，由几何概型的公式得到使方程 bx+b+3=0 有实根的概率是 ； 故答案为： 14已知 的值为 【考点】 两角和与差的正弦函数 【分析】 由条件利用两角和差的正弦公式、二倍角公式，求得 ）的值 【解答】 解： + ） +2 =1 ， ， 即 ， ） = ， 故答案为： 15已知函数 f（ x） =奇函数（ a 0， a 1），则 m 的值等于 1 【考点】 函数奇偶性的性质 【分析】 根据函数奇偶性的定义建 立方程关系进行求解即可 第 12 页（共 20 页） 【解答】 解： f（ x） =奇函数， f（ x） = f（ x）， 即 f（ x） +f（ x） =0， 则 ） =0， 则 = =1， 即 ，则 m=1 或 m= 1， 当 m=1 时， f（ x） = 1）无意义， 故 m= 1， 故答案为： 1 16设点 P 是圆 x2+ 上的任一点，定点 D 的坐标为（ 8， 0）当点 P 在圆上运动时，则线段 中点 M 的轨迹方程是 （ x 4） 2+ 【考点】 轨迹方程 【分析】 设点 M 的坐标为（ x， y），点 P 的 坐标为（ 由中点坐标公式写出方程组，解出 入已知圆的方程即可 此求轨迹方程的方法为相关点法 【解答】 解：设点 M 的坐标为（ x， y），点 P 的坐标为（ 则 ， 即 x 8， y 因为点 P（ 圆 x2+ 上，所以 即（ 2x 8） 2+（ 2y） 2=4，即（ x 4） 2+，这就是动点 M 的轨迹方程 故答案为：（ x 4） 2+ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17已知 f（ x）是 R 上的单调函数， R， R，总有 f（ =f（ f（ +f（ 成立 （ I）求 值； （ 若 f（ =1，且 n N*，有 an=f（ ） +1，若数列 前 n 项和 证：1 【考点】 数列与函数的综合；抽象函数及其应用；数列的求和 【分析】 （ I）令 x1=，得 f（ 0） =f（ +2f（ 0），故 f（ = f（ 0），令 ， ，得 f（ =f（ +f（ 1） +f（ 0），故 f（ 1） = f（ 0），得 f（ =f（ 1），由函数的单调性即可求得 值； （ （ I）可知：求得 f（ n） =2n 1，可知数列 f（ n） ，是以 2 为公差，以 1 为首项的等差数列，代入求得数列 通项公式，根据等比数列前 n 项和公式即可求证 1 【解答】 解：（ I）令 x1=，得 f（ 0） =f（ +2f（ 0）， f（ = f（ 0） 第 13 页（共 20 页） 令 ， ，得 f（ =f（ +f（ 1） +f（ 0）， f（ 1） = f（ 0） 由 、 知， f（ =f（ 1）， 又 f（ x）是 R 上的单调函数， （ 明： f（ x1+=f（ 1） +f（ +f（ =1+f（ +f（ f（ n+1） =1+f（ n） +f（ 1） =f（ n） +2，（ n N*）， 数列 f（ n） ，是以 2 为公差，以 1 为首项的等差数列， f（ n） =1+2（ n 1） =2n 1， f（ n） =2n 1， 数列 以 为首项， 为公比的等比数列， 由等比数列前 n 项和公式可知： 1 18已知四棱锥 P 底面为平行四边形，高为 h，过底面一边 截面，与侧面于 截面将棱锥分成体积相等的两部分， （ I）求证： 平面 （ 底面 距离 【考点】 点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定 【分析】 （ I）利用四边形 平行四边形，可得 利用线面平行的判定与性质定理即可证明 （ 底面 距离为 x连接 x 分别是三棱锥 E F 高，设平行四边形 底面面积为 S，利用 “等体积法 ”可得：同理可得 于是多面体 体积= 即可得出 第 14 页（共 20 页） 【解答】 （ I）证明： 四边形 平行四边形， 面 面 面 又 截面 F， 面 面 （ ：设 底面 距离为 x 连接 x 分别是三棱锥 E F 高， 设平行四边形 底面面积为 S，则 三棱锥 B 三棱锥 B 高，而 等高， ， 多面体 体积 由 可得： 解之，得 ，故应舍去， 所求距离为 19五一劳动节期间，记者通过随机询问某景区 60 名游客对景区的服务是否满意，得到如下的列联表：性别与对景区的服务是否满意（单位：名） 男 女 总计 满意 24 不满意 6 总计 60 已知在 60 人中随机抽取 1 人，抽到男性的概率为 第 15 页（共 20 页） （ I）请将上面的 2 2 列联表补充完整（直接写 结果），并判断是否有 75%的把握认为 “游客性别与对景区的服务满意 ”有关，说明理由； （ 这 60 名游客中按对景区的服务是否满意采取分层抽样，抽取一个容量为 5 的样本，从这 5 人中任选 3 人，求所选的 3 人至少有一名男性的概率 附： P（ 2= （其中 n=a+b+c+d） 【考点】 独立性检验的应用；列举法计算基本事件数及事件 发生的概率 【分析】 （ I）由题意可知求得男生的人数，即可求得女生的总人数，将 2 2 列联表填完整，根据所给的公式，代入数据求出临界值，把求得的结果同临界值表进行比较，即可得到没有75%的把握认为 “游客性别与对景区的服务满意 ”有关； （ 别求得总的事件和可能了的事件的个数，根据古典概型公式即可求得所选的 3 人至少有一名男性的概率 【解答】 解：（ I） 2 2 列联表： 男 女 总计 满意 18 24 42 不满意 6 12 18 总计 24 36 60 = 没有 75%的把握认为 “游客性别与对景区的服务满意 ”有关 （ 60 名游客中采取分层抽样的方法抽取一个容量为 5 的样本，其中男性 2 人，女性 3人，男性记为 性记为 则所有可能结果为：（ （ （ （ （ b2，（ （ （ （ （ 共有 10 种情况， 记 “所选的 3 人 至少有一名男性的概率 ”为事件 M，则事件 M 包含的基本事件共有 9 种情况， 则 P（ M） = 20抛物线的顶点在原点，焦点在 x 轴的正半轴上，直线 x+y 1=0 与抛物线相交于 A、 | （ 1）求抛物线的方程； （ 2）在 x 轴上是否存在一点 C，使 正三角形？若存在，求出 C 点的坐标；若不存在，请说明理由 【考点】 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程 【分析】 （ 1）设所求抛物线 的方程为 直线的方程代入抛物线的方程，消去 y 得到关于 x 的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得 P 值，从而解决问题 第 16 页（共 20 页） （ 2）对于存在性问题，可先假设存在，即假设 x 轴上存在满足条件的点 C（ 0），再利用 正三角形，求出 长，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在 【解答】 解：（ 1）设所求抛物线的方程为 p 0）， 由 消去 y， 得 2（ 1+p） x+1=0 设 A（ B（ 则 x1+（ 1+p）， x1 | ， = ， 12142p 48=0， p= 或 （舍） 抛物线的方程为 x （ 2）设 中点为 D，则 D 假设 x 轴上存在满足条件的点 C（ 0）， 正三角形， C（ ）， | 又 | | ， 故矛盾， x 轴上不存在点 C，使 正三角形 21已知函数 f（ x） =x 3 （ I） 当 x 5 时， f（ x） 0，求 k 的取值范围； （ 当 k= 1 时，求证： f（ x） 6 【考点】 二次函数的性质；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ I）由题意，分离参数求得 k 的取值范围，构造辅助函数 （ x 5），求导，利用导数求得函数的单调区间及最大值，即可求得 k 的取值范围； （ k= 1 时，求得 f（ x），构造辅助函数 h（ x） =2x+3+导，求得 h（ x）单调区间及零点，即可求得 f（ x）的最小值，由 在（ 2， 1）上单调递减，f（ f（ 1） = 6，即可求证 f（ x） 6 第 17 页（共 20 页） 【解答】 解：（ I） 由题意可知，当 x 5 时 x 3 成立，即 令 （ x 5），则 ， 由 g（ x） 0，得 5 x 3 或 x 2，由 g（ x） 0，得 3 x 2， 所以 g（ x）在 5， 3）和（ 2， +）单调递减，在（ 3， 2）单调递增 所以 ， ， g（ 5） g（ 2）， 所以 x 5 时， ， 所以 k 7 （ 明：当 k= 1 时， f（ x） =x 3+f（ x） =2x+3+ h（ x） =2x+3+ 则 h（ x） =2+0 恒成立，所以 h（ x）在 R 上单调递增 又因为 ， ， 所以 h（ x） =0 在 R 上有唯一的零点， 即 f（ x）在 R 上单调递增且 f（ x） =0 在 R 上有唯一的零点， 设这个零点为 （ 2， 1），并且有 可知 f（ x）在（ +）单调递增，在（ ， 调递减 所以 = = ， 因为 在（ 2， 1）上单调递减， 于是 f（ f（ 1） = 6， 所以 f（ x） 6 选修 4合证明选讲 22如图，在 ， C=90， 分 点 E，点 D 在 ， （ ）求证： 外接圆的切线； （ ）若 ， ，求 长 【考点】 圆的切线的性质定理的证明 【分析】 （ ）要证明 外接圆的切线，故考虑取 中点