2016年福建省龙岩市高考数学一模试卷（文科）含答案解析

第 1 页（共 20 页） 2016 年福建省龙岩市高考数学一模试卷（文科） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1已知集合 M=x| 1 x 1， N=y|y=x M， MN=（ ） A 1， 1 B 0， +） C（ 0， 1） D 0， 1 2已知复数 z 满足（ 2 i） z=5，则 在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3已知 公差为 的等差数列， 前 n 项和，若 等比数列，则 ） A B 35 C D 25 4设 1， 0）， 1， 0）是椭圆 E： + =1（ a b 0）的左、右焦点， P 为 =2，则 a=（ ） A 1 B 2 C D 4 5已知 f（ x）是定义域为 R 的偶函数，且当 x 0 时， f（ x） =（ ） x，则不等式 f（ x） 的解集为（ ） A（ ， ） B（ ， ） C（ 2， 2） D（ 1， 1） 6已知函数 f（ x） =2 （ 0），其图象与 x 轴的相邻两个交点的距离为 ，则 f（ x）在区间 0， 上的最小值为（ ） A 2 B 2 C D 2 7某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A B C D 8阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的 n 的值为（ ） 第 2 页（共 20 页） A 3 B 4 C 5 D 6 9已知 m， n 为正整数，且直线 2x+（ n 1） y 2=0 与直线 mx+=0 互相平行，则 2m+ ） A 7 B 9 C 11 D 16 10设 x、 y 满足约束条件 若目标函数 z=ax+a 0， b 0）的最大值为12，则 a2+最小值为（ ） A B C D 11平面直角坐标系 ，双曲线 =1（ a 0， b 0）的右焦点 F（ 2， 0），以 半径的圆与双曲线的两条渐近线分别交于 A， B（不同于 O），当 | |取最大值时双曲线的离心率为（ ） A B C 2 D 12已知函数 f（ x） = ，方程 x） +x） =0（ m R）有四个不相等的实数根，则实数 m 的取值范围是（ ） A（ ， ） B（ ， 0） C（ ， +） D（ 0， ） 二、填空题 (本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 ) 13已知向量 ， ，满足 =（ 1， 3），（ + ） （ ），则 | |=_ 14在直三棱柱 ， C=4 ， ， ，则其外接球半径为_ 第 3 页（共 20 页） 15已知函数 f（ x） = ，若 f（ 3a） f（ 2a 6），则实数 _ 16 三个内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 B=2A， 0，则的取值范围是 _ 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） . 17已知各项均为正数的等比数列 前三项为 a 2， 4， 2a，记前 n 项和为 （ 1）设 2，求 a 和 k 的值； （ 2）令 2n 1） 数列 前 n 项和 18甲乙两组数学兴趣小组的同学举行了赛前模拟考试，成绩记录如下（单位：分）： 甲： 79， 81， 82， 78， 95， 93， 84， 88 乙： 95， 80， 92， 83， 75， 85， 90， 80 （ 1）画出甲、乙两位学生成绩的茎叶图，； （ 2）计算甲、乙两组同学成绩的平均分和方差，并从统计学的角度分析，哪组同学在这次模拟考试中发挥 比较稳定； （ 3）在甲、乙两组同学中，若对成绩不低于 90 分得再随机地抽 3 名同学进行培训，求抽出的 3 人中既有甲组同学又有乙组同学的概率 （参考公式：样本数据 ， 标准差： s= ，其中 为样本平均数） 19已知：如图所示，平面 平面 0， D=E=2， G， H 分 别是 中点 （ 1）证明： （ 2）求多面体 体积 20平面直角坐标系 ，曲线 C 上的动点 M 到点 F（ 1， 0）的距离比它到直线 x= 2的距离小 1 第 4 页（共 20 页） （ 1）求曲线 C 的方程； （ 2）设 P 为曲线 C 上一点，曲线 C 在点 P 处的切线交 y 轴于点 A，若 接圆面积为4，求点 P 的坐标 21已知函数 f（ x） = （ 1）曲线 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线方程为 y=（ e 1） x+1，求 a； （ 2）当 1 a ，证明： f（ x） 0 请考生在第 22,23,24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号 选修 4等式选讲 22如图， 角平分线 延长线交它的外接圆于点 E （ 1）证明： = ； （ 2）若 面积 S= E，求 大小 选修 4标系与参数方程 23若以直角坐标系 O 为极点， 极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线 C 的极坐标方程是 = （ 1）将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线； （ 2）若直线 l 的参数方程为 （ t 为参数）当直线 l 与曲线 C 相交于 A， B 两点，求| | 选修 4等式选讲 24设函数 f（ x） =x |x+2| |x 3| m（ m R） （ ）当 m= 4 时，求函数 f（ x）的最大值； （ ）若存在 R，使得 f（ 4，求实数 m 的取值范围 第 5 页（共 20 页） 2016 年福建省龙岩市高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1已知集合 M=x| 1 x 1， N=y|y=x M， MN=（ ） A 1， 1 B 0， +） C（ 0， 1） D 0， 1 【考点】 交集及其运算 【分析】 求出 N 中 y 的范围确定出 N，找出 M 与 N 的交集即可 【解答】 解： M= 1， 1， N 中 y=x M，即 B=0， 1， MN=0， 1， 故选： D 2已知复数 z 满足（ 2 i） z=5，则 在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 利用复数的运算法则、共轭复 数、几何意义即可得出 【解答】 解：复数 z 满足（ 2 i） z=5， （ 2+i）（ 2 i） z=5（ 2+i）， z=2+i， =2 i， 则 在复平面内对应的点（ 2， 1）位于第四象限 故选： D 3已知 公差为 的等差数列， 前 n 项和，若 等比数列，则 ） A B 35 C D 25 【考点】 等比数列的前 n 项和 【分析】 利用等差数列及等比数列的性质求出首项，由此能求出 【解答】 解： 公差为 的等差数列， 前 n 项和， 等比数列， =（ ）（ ）， 解得 ， + = 故选： C 第 6 页（共 20 页） 4设 1， 0）， 1， 0）是椭圆 E： + =1（ a b 0）的左、右焦点， P 为 =2，则 a=（ ） A 1 B 2 C D 4 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 由已知得 P（ 0， b）， =（ 1， b）， =（ 1， b），从而 =2，由此利用椭圆性质能求出 a 【解答】 解： 1， 0）， 1， 0）是椭圆 E： + =1（ a b 0）的左、右焦点，P 为 E 的上顶点， P（ 0， b）， =（ 1， b）， =（ 1， b）， =2， =1=2， 解得 ， +1=4， 解得 a=2 故选： B 5已知 f（ x）是定义域为 R 的偶函数，且当 x 0 时， f（ x） =（ ） x，则不等式 f（ x） 的解集为（ ） A（ ， ） B（ ， ） C（ 2， 2） D（ 1， 1） 【考点】 函数奇偶性的性质 【分析】 先求出当 x 0 时，不等式的解，根据偶函数的对称性即可得到结论 【解答】 解：当 x 0 时， f（ x） =（ ） x，此时不等式 f（ x） 等价为（ ） x ，即x 1，此时不等式的解为 0 x 1， 函数 f（ x）是偶函数， 根据偶函数的图象关于 y 轴对称知， 当 1 x 0 时，不等式 f（ x） 成立， 综上不等式的解集为（ 1， 1）， 故选： D 第 7 页（共 20 页） 6已知函数 f（ x） =2 （ 0），其图象与 x 轴的相邻两个交点的距离为 ，则 f（ x）在区间 0， 上的最小值为（ ） A 2 B 2 C D 2 【考点】 三角函数中的恒等变换应用；正弦函数 的图象 【分析】 化简已知函数可得 f（ x） =22x+ ），由图象和周期性可得 值，由 x 的范围和三角函数最值可得 【解答】 解：由三角函数公式可得 f（ x） =2 =（ 1 2 =22x+ ）， 图象与 x 轴的相邻两个交点的距离为 ， 函数的周期 T= ，解得 =1， f（ x） =22x+ ）， x 0， ， 2x+ ， ， 2x+ ） ， 1， 22x+ ） ， 2， f（ x）在区间 0， 上的最小值为 ， 故选： C 7某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A B C D 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 几何体为半球与半圆锥的组合体 第 8 页（共 20 页） 【解答】 解：由三视图可知几何体为半球与半圆锥的组合体 半球的半径为 1，半圆锥的底面半径为 1，母线为 2，故圆锥的高为 圆锥的体积 V= + = 故选 B 8阅读如图所 示的程序框图，运行相应的程序，则输出的 n 的值为（ ） A 3 B 4 C 5 D 6 【考点】 程序框图 【分析】 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 n， S 的值，当 S= + 3 时满足条件，退出循环输出 S 的值为 5 【解答】 解：模拟执行程序框图，可得： n=1， S=0 不满足条件 S 3， S= ， n=2； 不满足条件 S 3， S= + ， n=3； 不满足条件 S 3， S= + +1， n=4； 不满足条件 S 3， S= + +1+ = + 3， n=5； 满足条件 S 3，退出循环，输出 n 的值为 5 故选： C 9已知 m， n 为正整数，且直线 2x+（ n 1） y 2=0 与直线 mx+=0 互相平行，则 2m+ ） A 7 B 9 C 11 D 16 【考点】 直线的一般式方程与直线 的平行关系 【分析】 由直线的平行关系可得 + =1，整体代入可得 2m+n=（ 2m+n）（ + ） =5+ + ，由基本不等式可得 第 9 页（共 20 页） 【解答】 解： 直线 2x+（ n 1） y 2=0 与直线 mx+=0 互相平行， 2n=m（ n 1），变形可得 m+2n=除以 得 + =1（ m 0、 n 0）， 2m+n=（ 2m+n）（ + ） =5+ + 5+2 =9， 当且仅当 = 即 m=n=3（符合 m， n 为正整数）时取等号 故选： B 10设 x、 y 满足约束条件 若目标函数 z=ax+a 0， b 0）的最大值为12，则 a2+最小值为（ ） A B C D 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识先求出 a， b 的关系，然后利用点直线的距离公式进行求解即可 【解答】 解：由 z=ax+a 0， b 0）得 y= ， 作出可行域如图： a 0， b 0， 直线 y= 的斜率为负，且截距最大时， z 也最大 平移直线 y= ，由图象可知当 y= 经过点 A 时， 直线的截距最大，此时 z 也最大 由 ，解得 ，即 A（ 4， 3） 此时 z=4a+3b=12， a2+几何意义为直线 4a+3b=12 上的点到原点的距离的平方， 第 10 页（共 20 页） 则原点到 4a+3b=12 上的最短距离 d= = ， 则 a2+最小值为 ） 2= ， 故选： C 11平面直角坐标系 ，双曲线 =1（ a 0， b 0）的右焦点 F（ 2， 0），以 半径的圆与双曲线的两条渐近线分别交于 A， B（不同于 O），当 | |取最大值时双曲线的离心率为（ ） A B C 2 D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 求得 F 为圆心， 半径的圆的方程，双曲线的渐近线方程，代入圆的方程求得交点 A， B 的坐标，及距离，运用基本不等式即可得到 a=b，进而得到所求离心率 【解答】 解： F 为圆心， 半径的圆的方程为（ x c） 2+y2= 双曲线的渐近线方程为 y= x， 代入圆的方程可得，（ 1+ ） 解得 x= = = ， 即有 A（ ， ）， B（ ， ）， | = =2a2+b2=， 当且仅当 a=b= ，取得等号 则双曲线的离心率为 e= = 故选： A 12已知函数 f（ x） = ，方程 x） +x） =0（ m R）有四个不相等的实数根，则实数 m 的取值范围是（ ） A（ ， ） B（ ， 0） C（ ， +） D（ 0， ） 【考点】 根的存在性及根的个数判断 【分析】 求出当 x 0 时，函数 f（ x）的导数，判断函数的极值，作出函数 f（ x）的图象，判断函数 f（ x） =t 的根的情况，利用数形结合进行求解即可 【解答】 解：当 x 0 时， f（ x） = 第 11 页（共 20 页） 则 f（ x） =（ x+1） 由 f（ x） =0 得 x= 1， 当 x 1 时， f（ x） 0， 当 1 x 0 时， f（ x） 0， 即当 x= 1 时，函数 f（ x）取得极大值，此时 f（ 1） = ， 且当 x 0 时， f（ x） 0， 当 x 0 时， f（ x） =x+1） 0， 设 t=f（ x）， 则当 t= 时，方程 t=f（ x）有两个根， 当 t 或 t=0 时，方程 t=f（ x）有 1 个根， 当 0 t 时，方程 t=f（ x）有 3 个根， 当 t 0 时，方程 t=f（ x）有 0 个根， 则方程 x） +x） =0（ m R）等价为 t2+， 即 t=0 或 t= m， 当 t=0 时，方程 t=f（ x）有 1 个根， 若方程 x） +x） =0（ m R）有四个不相等的实数根， 则等价为 t=f（ x）有 3 个根， 即 0 m ，得 m 0， 故选： B 二、填空题 (本大题 共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 ) 13已知向量 ， ，满足 =（ 1， 3），（ + ） （ ），则 | |= 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 根据向量垂直与向量数量积的关系可得（ + ） （ ） =0，故 | |=| | 【解答】 解： （ + ） （ ）， （ + ） （ ） =0， 即 ， | |=| |= 故答案为： 第 12 页（共 20 页） 14在直三棱柱 ， C=4 ， ， ，则其外接球半径为 5 【考点】 球的体积和 表面积 【分析】 由于直三棱柱 底面 等腰直角三角形，我们可以把直三棱柱 成四棱柱，则四棱柱的体对角线是其外接球的直径，求出外接球的直径后，可得外接球半径 【解答】 解：由于直三棱柱 底面 等腰直角三角形， 0 把直三棱柱 成四棱柱， 则四棱柱的体对角线是其外接球的直径， 所以外接球半径为 =5 故答案为： 5 15已知函数 f（ x） = ，若 f（ 3a） f（ 2a 6），则实数 2， 3） 【考点】 分段函数的应用 【分析】 判断分段函数的单调性，可得 f（ x）在 R 上递减由 f（ 3a） f（ 2a 6），可得 3a 2a 6，解不等式即可得到所求范围 【解答】 解：当 x 2 时， f（ x） =4x+5=（ x 2） 2+3， 即有 f（ x）递减； 当 x 2 时， f（ x） = （ x 1） +1 递减 f（ 2） =（ 2 2） 2+3 （ 2 1） +1， 可得 f（ x）在 R 上递减 由 f（ 3a） f（ 2a 6）， 可得 3a 2a 6， 解得 2 a 3 即有实数 a 的取值范围是（ 2， 3） 故答案为：（ 2， 3） 16 三个内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 B=2A， 0，则的取值范围是（ ， ） 【考点】 正弦定理 【分析】 先利用二倍角公式化简 B=2A 换成边的关系，求得 A 的范围，根据正切函数的单调性求得 的取值范围 【解答】 解：由 0，可知，三角形是锐角三角形， 由正弦定理可知 b=2 13 页（共 20 页） = A+B+C=180， B=2A 3A+C=180， A=60 30， 2A 90 A （ 30， 45）， 1 则 故答案为：（ ， ） 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） . 17已知各项均为正数的等比数列 前三项为 a 2， 4， 2a，记前 n 项和为 （ 1）设 2，求 a 和 k 的值； （ 2）令 2n 1） 数列 前 n 项和 【考点】 数列的求和；等比数列的通项公式 【分析】 （ 1）利用等比数列的通项公式及其前 n 项和公式即可得出； （ 2）利用 “错位相减法 ”与等比数列的前 n 项和公式即可得出 【解答 】 解：（ 1） 各项均为正数的等比数列 前三项为 a 2， 4， 2a， 42=2a（ a 2），化为 2a 8=0，解得 a=4 或 2 a 0， a=4 ， ，公比 q= =2 2= ，解得 k=5 a=4， k=5 （ 2）由（ 1）可得： n 2n 1） 2n 1） 2n 数列 前 n 项和 +3 22+5 23+（ 2n 1） 2n， 22+3 23+（ 2n 3） 2n+（ 2n 1） 2n+1， +2（ 22+23+2n）（ 2n 1） 2n+1= 2（ 2n 1） 2n+1=（ 3 2n）2n+1 6， 2n 3） 2n+1+6 18甲乙两组数学兴趣小组的同学举行了赛前模拟考试，成绩记录如下（单位：分）： 甲： 79， 81， 82， 78， 95， 93， 84， 88 乙： 95， 80， 92， 83， 75， 85， 90， 80 （ 1）画出甲、乙 两位学生成绩的茎叶图，； 第 14 页（共 20 页） （ 2）计算甲、乙两组同学成绩的平均分和方差，并从统计学的角度分析，哪组同学在这次模拟考试中发挥比较稳定； （ 3）在甲、乙两组同学中，若对成绩不低于 90 分得再随机地抽 3 名同学进行培训，求抽出的 3 人中既有甲组同学又有乙组同学的概率 （参考公式：样本数据 ， 标准差： s= ，其中 为样本平均数） 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图；极差、方差与标准差 【分析】 （ 1）由甲乙两组的成绩纪录，能作出甲、乙两位学生成绩的茎叶图 （ 2）分别求出甲组同学成绩的平均分、方差和乙组同学成绩的平均、方差，由甲和乙两组同学成绩平均分相等，乙组同学成绩的方差大于甲组同学成绩的方差，得甲组同学模拟考试中发挥比较稳定 （ 3）在甲、乙两组同学中，成绩不低于 90 分的有 5 人，其中甲组 2 人，乙组 3 人，由此利用对立事件概率计算公式能求出抽出的 3 人中既有甲组同学又有乙组同学的概率 【解答】 解：（ 1）由甲乙两组的成绩纪录 ，作出甲、乙两位学生成绩的茎叶图如下： （ 2）甲组同学成绩的平均分 = （ 79+81+82+78+95+93+84+88） =85， 甲组同学成绩的方差 = （ 79 85） 2+（ 81 85） 2+（ 82 85） 2+（ 78 85） 2+（ 95 85） 2+（ 93 85） 2+（ 84 85） 2+（ 88 85） 2= 乙组同学成绩的平均分 = （ 95+80+92+83+75+85+90+80） =85， 乙组同学成绩的方差 = （ 95 85） 2+（ 80 85） 2+（ 92 85） 2+（ 83 85） 2+（ 75 85） 2+（ 85 85） 2+（ 90 85） 2+（ 80 85） 2=41 甲和乙两组同学成绩的平均分相等，乙组同学成绩的方差大于甲组同学成绩的方差， 甲组同学模拟考试中发挥比较稳定 （ 3）在甲、乙两组同学中，成绩不低于 90 分的有 5 人，其中甲组 2 人，乙组 3 人， 从中任取 3 人，基本事件总数 n= =10， 第 15 页（共 20 页） 抽出的 3 人中既有甲组同学又有乙组同学的概率： p=1 = 19已知：如图所示，平面 平面 0， D=E=2， G， H 分别是 中点 （ 1）证明： （ 2）求多面体 体积 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系 【分析】 （ 1）由平面 平面 平面 中位线定理得 平面 是 E 得 而 平面 而得出 （ 2）多面体 体积对于四棱锥 E 体积减去四棱锥 E 体积 【解答】 （ 1）证明： E， H 是 中点， 平面 平面 面 面 D， 面 平面 G， H 分别是 中点， 平面 平面 又 平面 平面 G=H， 平面 面 （ 2）解： 平面 平面 平面 面 平面 D=D， 平面 = （ 1+2） 2 2=2 中位线， = 平面 面 第 16 页（共 20 页） 四边形 梯形 E=2， H 是 点， ， E= = = = 多面体 体积 V= 20平面直角坐标系 ，曲线 C 上的动点 M 到点 F（ 1， 0）的距离比它到直线 x= 2的距离小 1 （ 1）求曲线 C 的方程； （ 2）设 P 为曲线 C 上一点，曲线 C 在点 P 处的切线交 y 轴于点 A，若 接圆面积为4，求点 P 的坐标 【考点】 直线与圆锥曲线的综合问题 【分析】 （ 1）利用抛物线定义 “到定点距 离等于到定直线距离的点的轨迹 ”求动点 P 的轨迹； （ 2）求出切线方程，可得 A 的坐标，证明 接圆的直径，即可求出点 P 的坐标 【解答】 解：（ 1）因为曲线 C 上的动点 M 到点 F（ 1， 0）的距离比它到直线 x= 2 的距离小 1， 所以动点 M 到直线 x= 1 的距离与它到点 F（ 1， 0）的距离相等， 故所求轨迹为：以原点为顶点，开口向右的抛物线 x （ 2）设切点坐标为（ m， n），则 y= ， 曲线 C 在点 P 处的切线方程为 y n= （ x m）， 令 x=0，可得 y= = ， A（ 0， n）， ， 接圆的直径 接圆面积为 4， 接圆的半径为 2， |4， 第 17 页（共 20 页） m+1=4， m=3， n= 2 P（ 3， 2 ） 21已知函数 f（ x） = （ 1）曲线 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线方程为 y=（ e 1） x+1，求 a； （ 2）当 1 a ，证明： f（ x） 0 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值 【分析】 （ 1）求出函数的导数，求得切线的斜率，解方程可得 a=1： （ 2）讨论若 0 x 1，若 x 1，结合指数函数和对数函数的单调性，由恒成立思想可得 f（ x） 0 得 0 f（ x）的最小值，求出导数，对 a 讨论，分 1 a e， e a 得最小值，即可得证 【解答】 解：（ 1）函数 f（ x） =导数为 f（ x） =， 在点（ 1， f（ 1）处的切线斜率为 k=e a， 由切线方程为 y=（ e 1） x+1，可得 e a=e 1， 解得 a=1； （ 2）证明：若 0 x 1，由 0， 0， 1 a 则 f（ x） =0 显然成立； 若 x 1，由 f（ x） 0 得 0 f（ x）的最小值， f（ x） =，由 a 0，可得 f（ x） = 0，可得 在 x 1 递增，可得 f（ x） e a， 若 1 a e，即有 f（ x） 0， f（ x）递增，可得 f（ x） f（ 1） =e，显然 f（ x） 0 恒成立； 当 e a f（ x） =0 的解为 m， 即有 1 x m 时， f（ x）递减， x m 时， f（ x）递增， 可得 x=m 处 f（ x）取得最小值 由 f（ 1） =e 0， em=e，即有 1 m 2， f（ 2） =0， 即有 f（ m） 0 综上可得当 1 a ， f（ x） 0 请考生在第 22,23,24 题