2016年四川省宜宾市高考数学一诊试卷（文科）含答案解析

第 1 页（共 19 页） 2016 年四川省宜宾市高考数学一诊试卷（文科） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1设集合 A=x|3x 4 0，集合 B=x| 2 x 5，则 AB=（ ） A x| 1 x 4 B x| 2 x 1 或 4 x 5 C x|x 1 或 x 4 D x| 2 x 5 2若数据 ， 平均数为 =5，方差 2=2，则数据 3， 3， 3， ，3 的平均数和方差分别为（ ） A 5， 2 B 16， 2 C 16， 18 D 16， 9 3要得到 y=32x+ ）的图象，只需将 y=3图象（ ） A向左平移 个单位长度 B向右平移 个单位长度 C向左平移 个单位长度 D向右平移 个单位长度 4下列关于不等式的结论中正确的是（ ） A若 a b，则 若 a b，则 若 a b 0，则 若 a b 0，则 5执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为（ ） A 10 B 3 C 4 D 5 6双曲线 =1 的右焦点到它的渐进线的距离为（ ） A 12 B 4 C 2 D 2 7下列说法错误的是（ ） A “ “a b”的充分不必要条件 B若 p q 是假命题，则 p q 是假命题 第 2 页（共 19 页） C命题 “存在 R， 2 0”的否定是 “对任意的 x R， 2x 0” D命题 “对任意的 x R”， 2x 真命题 8（中数量积）已知向量 ， ， x， y 满足 | |=| |=1， =0，且 ，则等于（ ） A B C 2 D 5 9如图，在正方体 ，若 M 是线段 的动点，则下列结论不正确的是（ ） A三棱锥 M 主视图面积不变 B三棱锥 M 侧视图面积不变 C异面直线 成的角恒为 D异面直线 成的角可为 10设函数 ，它们的图象在 x 轴上的公共点处有公切线，则当 x 1 时， f（ x）与 g（ x）的大小关系是（ ） A f（ x） g（ x） B f（ x） g（ x） C f（ x） =g（ x） D f（ x）与 g（ x）的大小不确定 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 . 11复数 的虚部是 _ 12已知函数 f（ x） = ，则 f（ f（ ）的值是 _ 13已知过定点（ 1， 0）的直线与抛物线 x2=y 相交于不同的 A（ B（ 点，则（ 1）（ 1） =_ 14如图所示，在海岛 A 上有一座海拔 千米的山峰上，山顶上设有一座观察站 P，一艘轮船沿一固定方向匀速航行，上午 10： 00 时，测得此船 在岛北偏东 20且俯角为 30的 B 处，到 10： 10 时，又测得该船在岛北偏西 40且俯角为 60的 C 处，则该船的航行速度为 _千米 /时 第 3 页（共 19 页） 15已知函数 f（ x） = （ a R） 若 f（ x）有两个零点，则实数 a 的取值范围是 a e 1； 若 f（ x）有三个零点，则实数 a 的取值范围是 0 a ； 若 y=f（ x）的图象与 y=a 的图象有四个交点，则实数 k 的取值范围是 k 0； 若 y=f（ x）的图象与 y=a 的图象有三个交点，则 k= e 其中正确结论的序号是 _ 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤 . 16已知向量 =（ =（ ， 1）， = ，且 A 为锐角 （ 1）求角 A 的大小； （ 2）求函数 f（ x） =x R）的值域 17某高校在 2012 年的自主招生考试成绩中随机抽取 100 名学生的笔试成绩，按成绩分组：第 1 组 75， 80），第 2 组 80， 85），第 3 组 85， 90），第 4 组 90， 95）， 第 5 组 95， 100得到的频率分布直方图如图所示 （ ）分别求第 3， 4， 5 组的频率； （ ）若该校决定在笔试成绩高的第 3， 4， 5 组中用分层抽样抽取 6 名学生进入第二轮面试，求第 3， 4， 5 组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？ （ ）在（ ）的前提下，学校决定在这 6 名学生中随机抽取 2 名学生接受甲考官的面试，求第 4 组至少有一名学生被甲考官面试的概率 18如图 1，在矩形 ， ， ， E 是边 一点，且 ，把 E 翻折，使得点 A 到 A，满足平面 A平面 直（如图 2），连结 AC， AD （ 1）求四棱锥 A 体积； 第 4 页（共 19 页） （ 2）在棱 AC 是否存在点 R，使得 平面 A存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由 19已知各项均为正数的数列 前 n 项和 足 8Sn=a +4（ N*） （ 1）求数列 通项公式； （ 2）设 ，是否存在一个最小的常数 M，使得 b1+m 对于任意的 n N*均成立，若存在，求出常数 m；若不存在，请说明理由 20已知圆 x2+ 上任意一点 P 在 x 轴上的射影为 H，点 F 满足条件 + =2 ， O 为坐标原点 （ 1）求点 F 的轨迹 C 的方程； （ 2）若直线 l： y=kx+m 与曲线 C 交于不同两点 A， B，点 N 时线段 点，设射线 于点 Q，且 = ，求 m 和 k 满足的关系式 21已知函数 f（ x） =a R） （ 1）若 a= 3，求函数 f（ x）的单调递增区间； （ 2）若对任意的 x （ 1， +）， f（ x） （ k+a 1） x k 恒成立，求正整数 k 的值 第 5 页（共 19 页） 2016 年四川省宜宾市高考数学一诊试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1设集合 A=x|3x 4 0，集合 B=x| 2 x 5，则 AB=（ ） A x| 1 x 4 B x| 2 x 1 或 4 x 5 C x|x 1 或 x 4 D x| 2 x 5 【考点】 交集及其运算 【分析】 先求出集合 A，再由交集定义求解 【解答】 解： 集合 A=x|3x 4 0=x|x 4 或 x 1， 集合 B=x| 2 x 5， AB=x| 2 x 1 或 4 x 5 故选： B 2若数据 ， 平均数为 =5，方差 2=2，则数据 3， 3， 3， ，3 的平均数和方差分别为（ ） A 5， 2 B 16， 2 C 16， 18 D 16， 9 【考点】 极差、方差与标准差 【分析】 由平均数和方差的性质得数据 3， 3， 3， ， 3 的平均数为 ，方差为 322 【解答】 解： ， 平均数为 5， =5， +1=3 5+1=16， ， 方差为 2， 3， 3， 3， ， 3 的方差是 32 2=18 故选： C 3要得到 y=32x+ ）的图象，只需将 y=3图象（ ） A向左平移 个单位长度 B向右平移 个单位长度 C向左平移 个单位长度 D向右平移 个单位长度 【考点】 函数 y=x+）的图象变换 【分析】 由条件利用函数 y=x+）的图象变换规律，得 出结论 【解答】 解：将 y=3图象向左平移 个单位长度，可得 y=3x+ ） =32x+ ）的图象， 第 6 页（共 19 页） 故选： C 4下列关于不等式的结论中正确的是（ ） A若 a b，则 若 a b，则 若 a b 0，则 若 a b 0，则 【考点】 不等式的基本性质 【分析】 对于 A， B， C 举反例即可判断，对于 D，根据不等式的性质可判断 【解答】 解：对于 A，当 c=0 时，不成立， 对于 B，当 a=2， b= 3 时，则不成立， 对于 C，当 a= 3， b= 1 时，则不成立， 对于 D，根据不等式的性质， a b 0， = 0，即可得到 ，则成立， 故选： D 5执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为（ ） A 10 B 3 C 4 D 5 【考点】 程序框图 【分析】 首先分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出变量 S 的值，模拟程序的运行，运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果 【解答】 解：按照程序框图依次执行为 k=1， S=1； S=2 1 1=1， k=2； S=2 1 2=0， k=3； S=2 0 3= 3， k=4； S=2 （ 3） 4= 10， k=4 5，退出循环，输出 S= 10 故选 A 第 7 页（共 19 页） 6双曲线 =1 的右焦点到它的渐进线的距离为（ ） A 12 B 4 C 2 D 2 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 求得双曲线的 a， b， c，可得右焦点和渐近线方程，运用点到直线的距离公式，计算即可得到所求值 【解答】 解：双曲线 =1 的 a=2， b=2 ， c= =4， 即有右焦点为（ 4， 0），渐近线方程为 y= x， 可得右焦点到它的渐近线的距离为 d= =2 故选： C 7下列说法错误的是（ ） A “ “a b”的充分不必要条件 B若 p q 是假命题，则 p q 是假命题 C命题 “存在 R， 2 0”的否定是 “对任意的 x R， 2x 0” D命题 “对任意的 x R”， 2x 真命题 【考点】 命题的真假判断 与应用 【分析】 A根据不等式的基本性质， “a b”不一定 “论，因为必须有 0 这一条件；反过来若 “说明 0 一定成立，一定可以得出 “a b”，即可得出答案； B利用复合命题的真假关系进行判断； C根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论 D x=2， 4 时，命题不正确 【解答】 解：当 c=0 时， a b ，说明 c 0，由 0，得 a b，故 “ “a b”成立的充分不必要条件，正确 第 8 页（共 19 页） 若命题 p q 是假命题，则 p， q 都是假命题，所以命题 p q 是假命题，正确； 命题是特称命题， 根据特称命题的否定是全称命题得到命题的否定是：对任意的 x R， 2x 0， x=2， 4 时，命题不正确 故选： D 8（中数量积）已知向量 ， ， x， y 满足 | |=| |=1， =0，且 ，则等于（ ） A B C 2 D 5 【考点】 平面向量的综合题 【分析】 求向量的模，先求它们的平方，这里求平方，利用向量的完全平方公式即可 【解答】 解：由所给的方程组解得 ， ， ， = 故选 B 9如图，在正方体 ，若 M 是线段 的动点，则下列结论不正确的是（ ） A三棱锥 M 主视图面积不变 B三棱锥 M 侧视图面积不变 C异面直线 成的角恒为 D异面直线 成的角可为 【考点】 棱柱的结构特征 【分析】 判断主视图和侧视图的底与高是否发生变化来判断 A， B，建立空间坐标系求出数量积来判断 C 和 D 【解答】 解：对于 A，三棱锥 M 主视图为三角形，底边为 长，高为正方体的高，故棱锥的主视图面积不变，故 A 正确； 对于 B，侧视图为三角形的底边为 长，高为正方体的 高，故棱锥侧视图的面积不变，故 B 正确； 对于 C，连结 第 9 页（共 19 页） 又 是 平面 面 C 正确； 对于 D，分别以 坐标轴，以 A 为原点建立空间直角坐标系，设正方体边长为 1， M（ a， a， 1）， B（ 1， 0， 0）， A（ 0， 0， 0）， C（ 1， 1， 0） =（ a 1， a 1， 1）， =（ 1， 0， 0）， = ， 异面直线 成的角不可能是 故 D 错误 故选： D 10设函数 ，它们的图象在 x 轴上的公共点处有公切线，则当 x 1 时， f（ x）与 g（ x）的大小关系是（ ） A f（ x） g（ x） B f（ x） g（ x） C f（ x） =g（ x） D f（ x）与 g（ x）的大小不确定 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程；对数函数的图象与性质 【分析】 f（ x）与 x 轴的交点（ 1， 0）在 g（ x）上，所以 a+b=0，在此点有公切线，即此点导数相等，可求出 a 与 b 的值，令 h（ x） =f（ x） g（ x），然后利用导数研究该函数在（ 1，+）上的单调性，从而得到正确选项 【解答】 解： f（ x）与 x 轴的交点 （ 1， 0）在 g（ x）上， 所以 a+b=0，在此点有公切线，即此点导数相等， f（ x） = ， g（ x） =a ， 以上两式在 x=1 时相等，即 1=a b， 又因为 a+b=0， 所以 a= ， b= ， 即 g（ x） = ， f（ x） = 定义域 x|x 0， 令 h（ x） =f（ x） g（ x） =+ ， 对 x 求导，得 h（ x） = = = x 1 h（ x） 0 第 10 页（共 19 页） h（ x）在（ 1， +）单调递减，即 h（ x） 0 f（ x） g（ x） 故选 B 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分 . 11复数 的虚部是 【考点】 复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念 【分析】 复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，复数化简为 a+a， b R）的形式，即可 【解答】 解：复数 = = ， 它的虚部为： ， 故答案为： 12已知函数 f（ x） = ，则 f（ f（ ）的值是 【考点】 函数的值 【分析】 根 据对数的运算法则可求出 f（ 4）的值，从而可将 f（ f（ 4）从内向外去除括号，求出所求 【解答】 解：由题意可得：函数 f（ x） = ， f（ ） = 2 f（ f（ ） =f（ 2） =3 2+1= 故答案为： 13已知过定点（ 1， 0）的直线与抛物线 x2=y 相交于不同的 A（ B（ 点，则（ 1）（ 1） =1 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 设过定点（ 1， 0）的直线的方程为 y=k（ x 1），代入抛物线 x2=y 可得 kx+k=0，故有 x1+x2=k， x1x2=k，由此求得（ 1）（ 1）的值 【解答】 解：设过定点（ 1， 0）的直线的方程为 y=k（ x 1），代入抛物线 x2=y 可得 kx+k=0， x1+x2=k， x1x2=k， （ 1）（ 1） =x1 x1+1=1 故答案为： 1 第 11 页（共 19 页） 14如图所示，在海岛 A 上有一座海拔 千米的山峰上，山顶上设有一座观察站 P，一艘轮船沿一固定方向匀速航行，上午 10： 00 时，测得此船在岛北偏东 20且俯角为 30的 B 处，到 10： 10 时，又测得该船在岛北偏西 40且俯角为 60的 C 处，则该船的航行速度为 千米 /时 【考点】 解三角形的实际应用 【分析】 在 确定 长，进而求得， 0+40=60，利用余弦定理求得 里程除以时间即为船的速度 【解答】 解：在 ， 0， ， 在 ， 0， 在 ， 0+40=60， = 则船的航行速度 = 故答案为： 15已知函数 f（ x） = （ a R） 若 f（ x）有两个零点，则实数 a 的取值范围是 a e 1； 若 f（ x）有三个零点，则实数 a 的取值范围是 0 a ； 若 y=f（ x）的图象与 y=a 的图象有四个交点，则实数 k 的取值范围是 k 0； 若 y=f（ x）的图象与 y=a 的图象有三个交点，则 k= e 其中正确结论的序号是 【考点】 分段函数的应用 【分析】 作出 y=| |（ x 0）和 y=a（ x 0）的函数图 象，根据函数图象判断零点个数与 a 的关系；求出 y= y=| |（ x 0）的左段图象相切时的斜率，结合图象判断交点个数与 k 的关系 【解答】 解： 当 x 0 时， f（ x） =a 的值域为 R，故 f（ x）在（ 0， +）上恒有一个零点， 第 12 页（共 19 页） 当 x 0 时，令 f（ x） =0 得 | |=a，作出 y=| |（ x 0）和 y=a（ x 0）的函数图象如图所示， 由图象可知：若 f（ x）有两个零点，则 a e 或 a=0，故 错误； 若 f（ x）有三个零点，则 0 e ，故 正确； 令 f（ x） =a 得， | |=x 0）或 kx=a（ x 0） 设 y= y= （ x 0）相切，切点为（ 则 ，解得 m= 2， 此时，直线与 f（ x）有三个交点，故 错误； 当 k 0 时，由图象可知 f（ x）与 y=a 有四个交点，故 正确 故答案为： 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤 . 16已知向量 =（ =（ ， 1）， = ，且 A 为锐角 （ 1）求 角 A 的大小； （ 2）求函数 f（ x） =x R）的值域 【考点】 三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算；正弦函数的图象 【分析】 （ 1）根据 = 列出方程解出 A； （ 2）使用二倍角公式化简 f（ x） = 2（ 1） 2+3，根据二次函数的性质得出 f（ x）的最值 第 13 页（共 19 页） 【解答】 解：（ ） = A+ ） = ， ， A 为锐角， ， （ ）由（ ）知 ， f（ x） = 2 2（ 1） 2+3， x R， 1， 1， 当 时， f（ x）有最大值 3； 当 1 时， f（ x）有最小值 5， 函数 f（ x）的值域是 5， 3 17某高校在 2012 年的自主招生考试成绩中随机抽取 100 名学生的笔试成绩，按成绩分组：第 1 组 75， 80），第 2 组 80， 85），第 3 组 85， 90），第 4 组 90， 95）， 第 5 组 95， 100得到的频率分布直方图如图所示 （ ）分别求第 3， 4， 5 组的频率； （ ）若该校决定在笔试成绩高的第 3， 4， 5 组中用分层抽样抽取 6 名学生进入第二轮面试，求第 3， 4， 5 组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？ （ ）在（ ）的前提下，学校决定在这 6 名学生中随机抽取 2 名学生接受甲考官的面试，求第 4 组至少有一名学生被甲考官面试的概率 【考点】 频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式 【分析】 （ I）根据频率分步直方图的性质，根据所给的频率分步直方图中小矩形的长和宽，求出矩形的面积，即这组数据的频率 （ 上一问求得频率，可知 3， 4， 5 组各自所占的比例样，根据分层抽样的定义进行求解； （ ）由题意知变量 的可能取值是 0， 1， 2，该变量符合超几何分布，根据超几何分布的概率公式写出变量的概率，写出这组数据的分布列从而求出 P（ 1）的概率； 【解答】 解：（ ）根据所给的频率分步直方图中小正方形的长和宽， 得到第三组的频率为 5= 第四组的频率为 5= 第五组的频率为 5= （ ）由题意知本题是一个等可能事件的概率， 由（ ）可知第三，四，五组的频率分别为： 14 页（共 19 页） 则分层抽样第 3，抽取的人数为： 6=3 第 4 组抽取的人数为： 6=2 5 组每组抽取的人数为： 6=1； （ ）学校决定在这 6 名学生中随机抽取 2 名学生接受甲考官的面试， 由题意知变量 的可能取值是 0， 1， 2 该变量符合超几何分布， P（ =i） = （ i=0， 1， 2） 分布列是 P（ 1） = + = = ； 18如图 1，在矩形 ， ， ， E 是边 一点，且 ，把 E 翻折，使得点 A 到 A，满足平面 A平面 直（如图 2），连结 AC， AD （ 1）求四棱锥 A 体积； （ 2）在棱 AC 是否存在点 R，使得 平面 A存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的性质 【分析】 （ I）过 A作 AF 用等积法求出 AF，则 AF 为棱锥的高，代入棱锥的体积公式计算； （ 长 于点 P，过 D 作 AP 的平行线交 AC 于 R，则 平面 A用平行线等分线段成比例定理得出 的值 【解答】 解：（ ）过 A作 AF F 平面 A平面 面 A面 E， AF平面 A AF 平面 =90， ， =2 ， AF= = 第 15 页（共 19 页） 四棱锥 A 体积 （ ）延长过 于 P，连结 AP，过 D 作 AP 交 AC 于 R， 面 AAP平面 A 平面 A ， ， ， ， 在棱 AC 存在点 R，使得 平面 A 这时 19已知各项均为正数的数列 前 n 项和 足 8Sn=a +4（ N*） （ 1）求数列 通项公式； （ 2）设 ，是否存在一个最小的常数 M，使得 b1+m 对于任意的 n N*均成立，若存在，求出常数 m；若不存在，请说明理由 【考点】 数列的求和；数列递推式 【分析】 （ I）利用递推关系与等差数列的通项公式即可得出； （ 用等差数列的前 n 项和公式、 “裂项求和 ”即可得出 【解答】 解：（ ） ， 81= +41+3，（ n 2）， ， 0， 1=4（ n 2）， 数列 以 4 为公差的等差数列 又 ， ，而 3， 第 16 页（共 19 页） n 3（ n N*） （ ）由（ ）知 ， ， ， ， 存在 ，使 b1+m 对于任意的正整数 n 均成立 20已知圆 x2+ 上任意一点 P 在 x 轴上的射影为 H，点 F 满足条件 + =2 ， O 为坐标原点 （ 1）求点 F 的轨迹 C 的方程； （ 2）若直线 l： y=kx+m 与曲线 C 交于不同两点 A， B，点 N 时线段 点，设射线 于点 Q，且 = ，求 m 和 k 满足的关系式 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 （ ）利用代入法求椭圆方程； （ ）设 A（ B（ 由直线代入椭圆方程，消去 y，得（ 1+44=0，由此利用根的判别式、韦达定理、中点坐标公式，结合已知条件能证明结论 【解答】 解：（ ）设点 F（ x， y），点 P（ x， y），因为点 P 在 x 轴上的射影为 H，所以 H（ x， 0） 又因为 ，所以点 F 是线段 中点， 即有 因为点 P 是圆 x2+ 上任意一点，所以（ x） 2+（ y） 2=4， 所以 所以点 F 的轨迹 C 的方程为 （ ）设 A（ B（ 联立解方程组：， 第 17 页（共 19 页） ，即 ， 又点 N 是线段 点，由中点坐标公式，得 ， 又 ，得 ， 将 代入椭圆方程 ， 得 ，化简得 26 821已知函数 f（ x） =a R） （ 1）若 a= 3，求函数 f（ x）的单调递增区间； （ 2）若对任意的 x （ 1， +）， f（ x） （ k+a 1）