2016年陕西省西安市高考数学三模试卷（理科）含答案解析

第 1 页（共 21 页） 2016 年陕西省西安市高考数学三模试卷（理科） 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分 有一项是符合题目要求的） 1复数 2 （ m， n 均为实数）的共轭复数，则 m+n 的值为（ ） A 6 B 3 C 3 D 6 2 （ ） A B C D 3若 a+b=5，则 a 0， b 0 是 最大值 的（ ） A必要非充分条件 B充要条件 C充分非必要条件 D既非充分也非必要条件 4已知 公差为 2 等差数列，若 0，则 ） A 192 B 194 C 196 D 198 5投篮测试中，每人投 3 次，至少连续投中 2 个才能通过测试，若 某同学每次投篮投中的概率为 各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ） A 阅读如图所示的程序框图，如果输出的函数值在区间 内，那么输入实数 x 的取值范围是（ ） A 2， 1 B（ ， 1 C 1， 2 D 2， +） 7已知 M（ 函数 C： + 上的一点， C 上的两个焦点，若 0，则 取值范围是（ ） A（ ， ） B（ ， ） C（ ， ） D（ ， ） 8函数 y=x+ ） x ）是（ ） A周期为 2 的偶函数 B周期为 2 的奇函数 C周期为 的偶函数 D周期为 的奇函数 9若平面四边形 足 =2 ，（ ） =0，则该四边形一定是（ ） 第 2 页（共 21 页） A矩形 B直角梯形 C等腰梯形 D平行四边形 10假设（ + ） n 的二项展开式的系 数之和为 729，则其展开式中常数项等于（ ） A 15 B 30 C 60 D 120 11在正四面体 A ，若 ，则这个正四面体外接球的表面积为（ ） A 27 B 36 C 54 D 63 12已知 k 0，函数 f（ x） =其定义域上有两个零点，则实数 k 的取值范围是（ ） A B C D 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13某几何体的三视图如图所示，则其体积为 _ 14在同一坐标系中，直线 l 是函数 f（ x） = 在（ 0， 1）处的切线，若直线 l 也是 g（ x） = x2+切线，则 m=_ 15经过双曲线 =1 的左焦点和右顶点，且面积最小的圆的标准方程为 _ 16一避暑山庄占地的平面图如图所示，它由三个正方形和四个三角形构成，其中三个正方形的面积分别为 18 亩、 20 亩和 26 亩，则整个避暑山庄占地 _亩 三、解答题（本大题分必考题和选考题两部分，共 5 小题，满分 60 分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算过程）必考题 17设数列 前 n 项和为 ， =3n N*） （ 1）求数列 通项公式； （ 2）设 bn=n数列 前 n 项的和 第 3 页（共 21 页） 18随机抽取某厂的某种产品 400 件，经质检，其中有一等品 252 件、二等品 100 件、三等品 40 件、次品 8 件已知生产 1 件一、二、三等品获得的利润分别为 6 万元、 2 万元、 1万元，而 1 件次品亏损 2 万元设 1 件产品的利润（单位：万元）为 （ ）求 的分布列； （ ）求 1 件产品的平均利润； （ ）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为 1%，一等品率提高为 70%如果此时要求 1 件产品的平均利润不小于 元 ，则三等品率最多是多少？ 19如图，四棱柱 ，底面 侧面 是矩形， E 是 （ 1）求证： 底面 （ 2）若平面 平面 夹角为 ，求线段 长 20已知椭圆 C： + =1（ a b 0）的离心率为 ，短轴长为 2 （ 1）求椭圆 C 的标准方程； （ 2）若 P 为椭圆 C 上任意一点，以 P 为圆心， 半径的圆 P 与以椭圆 C 的右焦点 E 为圆心，其中 O 为坐标原点，以 为半径的圆 F 相交于 A， B 两点，求 积的最大值 21已知函数 f（ x） =g（ x） = （ 1）记 F（ x） =f（ x） g（ x），求证： F（ x） =0 在 区间（ 1， +）内有且仅有一个实根； （ 2）用 a， b表示 a， b 中的最小值，设函数 m（ x） =x）， g（ x） ，若方程m（ x） =c 在（ 1， +）有两个不相等的实根 记 F（ x） =0 在（ 1， +）内的实根 求证： 选考题题（请在 22、 23、 24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。共 1小题，满分 10 分） 选修 4何证明选讲 22如图， O 的半径 直于直径 M 为 一点， 延长线交 O 于 N，过 N 点的切线交 延长线于 P （ 1）求证： B （ 2）若 O 的半径为 ， ，求： 长 第 4 页（共 21 页） 选修 4标系与参数方程 23在直角坐标系 ，直线 l 的参数方程为 （ t 为参数）若以 O 点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线 C 的极坐标方程为 =4 （ 1）求曲线 C 的直角坐标方程及直线 l 的普通方程； （ 2）将曲线 C 上各点的横坐标缩短为原来的 ，再将所得曲线向左平移 1 个单位，得到曲线 曲线 的点到直线 l 的距离的最小值 选修 4等式选讲 24设函数 f（ x） =| x+1|+|x|（ x R）的最小值为 a （ I）求 a； （ ）已知两个正数 m， n 满足 m2+n2=a，求 + 的最小值 第 5 页（共 21 页） 2016 年陕西省西安市高考数学三模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分 有一项是符合题目要求的） 1复数 2 （ m， n 均为实数）的共轭复数，则 m+n 的值为（ ） A 6 B 3 C 3 D 6 【考点】 复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念 【分析】 由复数代数 形式的乘除运算化简 ，又已知复数 2 （ m， n 均为实数）的共轭复数，列出方程组，求解即可得 m， n 的值，则答案可求 【解答】 解： = ， 由复数 2 （ m， n 均为实数）的共轭复数， 得 ， 解得： 则 m+n 的值为： 6 故选： D 2 （ ） A B C D 【考点】 三角函数的化简求值 【分析】 利用诱导公式，两角差的正弦函数公式 及特殊角的三角函数值即可化简求值得解 【解答】 解： = = 故选： C 3若 a+b=5，则 a 0， b 0 是 最大值 的（ ） A必要非充分条件 B充要条件 C充分非必要条件 D既非充分也非必要条件 第 6 页（共 21 页） 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【 分析】 根据题意，判断 a 0， b 0 时， 最大值 ，充分性成立； 最大值 时， a、 b R，必要性不成立；由此得出结论 【解答】 解： a+b=5，当 a 0， b 0 时， a+b 2 ， = ， 当且仅当 a=b= 时取 “=”， 最大值 ，充分性成立； 当 最大值 时， ， 即 2a2+b2 a、 b R，必要性不成立； 综上，是充分不必要条件 故选： C 4已知 公差为 2 等差数列，若 0，则 ） A 192 B 194 C 196 D 198 【考点】 等差数列的通项公式；等差数列的前 n 项和 【分析】 根据等差数列的通项公式与前 n 项和公式，先求出 计算 值 【解答】 解：等差数列 ，公差 d= 2， 所以 5 4 （ 2） =10， 解得 ； 所以 9d=6+99 （ 2） = 192 故选： A 5投篮测试中，每人投 3 次，至少连续投中 2 个才能通过测试，若某同学每次投篮投中的概率为 各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ） A 考点】 相互独立事件的概率乘法公式 【分析】 该同学通过测试包含 3 种情况： 三次全投中； 第一、二次连续投中，第三次不中； 第一次不中，后两次全投中由此能求出该同学通过测试的概率 【解答】 解： 投篮测试中，每人投 3 次，至少连续投中 2 个才能通过测试， 某同学每次投篮投中的概率为 各次投篮是否投中相互独立， 该同学通过测试包含 3 种情况： 三次全投中； 第一、二次连续 投中，第三次不中； 第一次不中，后两次全投中 该同学通过测试的概率为： p= 第 7 页（共 21 页） 故选： B 6阅读如图所示的程序框图，如果输出的函数值在区间 内，那么输入实数 x 的取值范围是（ ） A 2， 1 B（ ， 1 C 1， 2 D 2， +） 【考点】 程序框图 【分析】 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示 的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数 f（ x） = 的函数值根据函数的解析式，结合输出的函数值在区间 ，即可得到答案 【解答】 解：分析程序中各变量、各语句的作用再根据流程图所示的顺序，可知： 该程序的作用是计算分段函数 f（ x） = 的函数值 又 输出的函数值在区间 内， x 2， 1 故选： A 7已知 M（ 函数 C： + 上的一点， C 上的两个焦点，若 0，则 取值范围是（ ） A（ ， ） B（ ， ） C（ ， ） D（ ， ） 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 由椭圆方程求得焦点坐标，利用向量的数量积公式，结合椭圆的方程，即可求出取值范围 【解答】 解：椭圆 C： +， 的焦点坐标 ， 0）， ， 0）， =（ =（ 第 8 页（共 21 页） 则 =3+ 2， 0， 2 0， 解得： ， 故答案选： C 8函数 y=x+ ） x ）是（ ） A周期为 2 的偶函数 B周期为 2 的奇函数 C周期为 的偶函数 D周期为 的奇函数 【考点】 三角函数中的恒等变换应用 【分析】 本题运用了三角函数中的凑角及诱导公式进行了化简 【解答】 解：原式 = = 显然周期为 的奇函数 故选 D 9若平面四边形 足 =2 ，（ ） =0，则该四边形一定是（ ） A矩形 B直角梯形 C等腰梯形 D平行四边形 【考点】 向量在几何中的应用 【分析】 首先根据 =2 ，判断出四边形为梯形， 然后根据，（ ） =0 证明梯形的腰 底边互相垂直，最后综合以上结论得出四边形为梯形 【解答】 解：根据 =2 ， 四边形 对边平行且不相等，故四边形 梯形， 0， 梯形的腰 底边垂直 则该四边形一定是为直角梯形 故选 B 10假设（ + ） n 的二项展开式的系数之和为 729，则其展开式中常数项等于（ ） A 15 B 30 C 60 D 120 【考点】 二项式定理的应用 【分析】 令 x=1，由题意可得： 3n=729，解得 n再利用二项式定理的通项公式即可得出 【解答】 解：令 x=1，由题意可得： 3n=729，解得 n=6 第 9 页（共 21 页） 的通项公式为： = =2r ， 令 3 =0，解得 r=2， 其展开式中常数项 = =60， 故选： C 11在正四面体 A ，若 ，则这个正四面体外接球的表面积为（ ） A 27 B 36 C 54 D 63 【考点】 球内接多面体 【分析】 由正四面体的棱长为 6，所以此四面体一定可以放在棱长为 3 的正方体中，所以此四面体的外接球即为此正方体的外接球，由此能求出此四面体的外接球的半径，再代入面积公式计算 【解答】 解： 正四面体的棱长为 6， 此四面体一定可以放在正方体中， 我们可以在正方 体中寻找此四面体 如图所示，四面体 足题意， ， 正方体的棱长为 3 ， 此四面体的外接球即为此正方体的外接球， 外接球的直径 =正方体的对角线长， 外接球的半径为 R= ， 球的表面积 S=44 故选： C 12已知 k 0，函数 f（ x） =其定义域上有两个零点，则实数 k 的取值范围是（ ） A B C D 【考点】 函数的零点 【分析】 设函数 g（ x） =函数 u（ x） =图象相切时， k=当 0 k ，函数 f（ x） =其定义域上有两个零点 【解答】 解：设 g（ x） =函数 u（ x） =图象相切 设（ m， n）为两个函数图象的 公切点 g（ x） =2u（ x） = 第 10 页（共 21 页） 则 g（ m） =2km=u（ m） = 则 m= 此时 n=即 k = 解 得： k= 故函数 f（ x） =其定义域上有两个零点，则实数 k 的取值范围是 0 k 故选 D 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13某几何体的三视图如图所示，则其体积为 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 利用三视图判断几何体的形状，然后通过三视图的数 据求解几何体的体积 【解答】 解：几何体为圆锥被轴截面分割出的半个圆锥体，底面是半径为 1 的半圆，高为 2 所以体积 故答案为： 14在同一坐标系中，直线 l 是函数 f（ x） = 在（ 0， 1）处的切线，若直线 l 也是 g（ x） = x2+切线，则 m= 2 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 由函数 f（ x）的图象为上半圆 x2+，可得切线方程为 y=1，代入 y= x2+用判别式为 0，解得 m 【解答】 解：函数 y=f（ x） = ， 即为上半圆 x2+，（ 0， 1）为与 y 轴的交点， 即有在（ 0， 1）处的切线为 y=1， 由题意可得直线 l： y=1 也是 g（ x） = x2+切线， 第 11 页（共 21 页） 可得 x2+ 有两个相等的实根， 即为判别式为 0，即 4=0， 解得 m= 2， 故答案为： 2 15经过双曲线 =1 的左焦点和右顶点，且面积最小的圆的标准方程为（ x+1）2+5 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 求出双曲线的左焦点和右顶点，根据圆面积最小，则圆的直径是 出圆心和半径即可得到结论 【解答】 解：若经过双曲线 =1 的左焦点 F 和右顶点 A，且面积最小的圆， 则圆的直径是 则由 =1 得 6， 0， 则 6+20=36，即 a=4， c=6， 则左焦点 F（ 6， 0），右顶点 A（ 4， 0）， 则中点为圆心为（ 1， 0）， 直径 2R=（ 6） =10， 则半径 R=5， 则圆的标准方程（ x+1） 2+5， 故答案为：（ x+1） 2+5 16一避暑山庄占地的平面图如图所示，它由三个正方形和四个三角形构成，其中三个正方形的面积分别为 18 亩、 20 亩和 26 亩，则整个避暑山庄占地 100 亩 【考点】 组合几何体的面积、体积问题 【分析】 根据三角形面积公式 A= ，我们易得 S 用海伦公式求出 S 面积后，再结合三个正方形的面积分别为 18 亩、 20 亩和 26 亩，即得到整个避暑山庄占地面积 【解答】 解：已知如下图所示： 第 12 页（共 21 页） 四边形 为正方形 则 80 则 S AS A S 同理： S 又 ， ， 由海 伦公式可得 S 整个避暑山庄占地 S=26+18+20+4 9=100 亩 故答案为： 100 三、解答题（本大题分必考题和选考题两部分，共 5 小题，满分 60 分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算过程）必考题 17设数列 前 n 项和为 ， =3n N*） （ 1）求数列 通项公式； （ 2）设 bn=n数列 前 n 项的和 【考点】 数列的求和；数列递推式 【分析】 （ 1）利用递推关系、等比数列的通项公式即可 得出； （ 2）设 bn=n，再利用 “错位相减法 ”、等比数列的前 n 项和公式即可得出 【解答】 解：（ 1） ， =3n N*） ， 当 n 2 时， 1，可得： 为 =4 数列 第二项开始是等比数列，公比为 4 4n 2 （ 2）设 bn=n 第 13 页（共 21 页） n 2 时，数列 前 n 项的和 +3（ 2+3 4+4 42+n4n 2） 4+32 4+3 42+（ n 1） 4n 2+n4n 1， 3 3+3（ 2+4+42+4n 2 n4n 1）， = 18随机抽取某厂的某种产品 400 件，经质检，其中有一等品 252 件、二等品 100 件、三等品 40 件、次品 8 件已知 生产 1 件一、二、三等品获得的利润分别为 6 万元、 2 万元、 1万元，而 1 件次品亏损 2 万元设 1 件产品的利润（单位：万元）为 （ ）求 的分布列； （ ）求 1 件产品的平均利润； （ ）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为 1%，一等品率提高为 70%如果此时要求 1 件产品的平均利润不小于 元，则三等品率最多是多少？ 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列 【分析】 （ I） 的所有可能取值有 6， 2， 1， 2，分别求出相应的概率，由此能求出 的分布列 （ 的分布列，能求 出 1 件产品的平均利润 （ 技术革新后的三等品率为 x，求出此时 1 件产品的平均利润为 E（ x） =x（ 0 x 由此能求出三等品率最多为 1% 【解答】 （满分 12 分） 解：（ I） 的所有可能取值有 6， 2， 1， 2， ， ， ， ， 故 的分布列为： 6 2 1 2 P 的分布列，得： 1 件产品的平均利润为： 2） 元） （ 技术革新后的三等品率为 x， 则此时 1 件产品的平均利润为 E（ x） =6 （ 1 x） +x+（ 2） x（ 0 x 依题意， E（ x） x 得 x 三等品率最多为 1% 19如图，四棱柱 ，底面 侧面 是矩形， E 是 （ 1）求证： 底面 第 14 页（共 21 页） （ 2）若平面 平面 夹角为 ，求线段 长 【考点】 与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面垂直的判定 【分析】 （ 1）由 出 平面 是 E，又 而 底面 （ 2）取 点 F，则可证明 平面 E 为原点建立坐标系，设 a，求出平面平面 法向量 与平面 法向量 ，令 | |= 解出 a 【解答】 证明：（ 1） 底面 侧面 是矩形， 又 平面 面 ， 平面 面 又 面 面 D=D， 平面 （ 2）取 点 F，连接 四边形 正方形， 以 E 为原点，以 坐标轴建立空间直角坐标系 E 图所示： 设 a，则 E（ 0， 0， 0）， F（ 1， 0， 0）， B（ 1， 1， 0）， C（ 0， 1， 0）， 0， 2， a）， =（ 1， 0， 0）， =（ 0， 1， a）， =（ 1， 1， 0） 设平面 法向量为 ，则 ， ，令 z=1 得 =（ 0， a， 1） 1E=E， 平面 =（ 1， 1， 0）为平面 一个法向量 = = 平面 平面 夹角为 ， | |= 即 = ，解得 a=1 第 15 页（共 21 页） 20已知椭圆 C： + =1（ a b 0）的离心率为 ，短轴长为 2 （ 1）求椭圆 C 的标准方程； （ 2）若 P 为椭圆 C 上任意一点，以 P 为圆心， 半径的圆 P 与以椭圆 C 的右焦点 E 为圆心，其中 O 为坐标原点，以 为半径的圆 F 相交于 A， B 两点，求 积的最大值 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ 1）先根据短轴的长求得 b，再根据离心率得出 a， c 关系，求得 a 的值，求得椭圆方程； （ 2）求得焦点坐标及圆的方程，设出 P 点坐标，求得直线 程，由题意可知，求得丨 及点 P 到直线 最大值丨 ，根据三角形面积公式即可求得 积的最大值 【解答】 解：（ 1）由题意可得： 2b=2， b=1， e= = ， = ， 解得 a=2， 椭圆的标准方程为： ， （ 2）由（ 1）可知， c= ， 点 F（ ， 1） 圆的方程为（ x ） 2+， 设 P（ 圆 P 的方程为：（ x 2+（ y 2= 即 x2+22， 直线 方程为：（ ） x+1=0， 连接 C 点，则点 F 到直线 距离丨 = ， P（ 椭圆上，即 ， 第 16 页（共 21 页） 丨 = = = =2， 连接 ，丨 = = =1， 丨 =2 丨 =2， 点 P（ 椭圆上，点 F 为椭圆的右焦点， 丨 +2， 又丨 =丨 丨 =丨 2 丨， 丨 ， 积的最大值： = 21已知函数 f（ x） =g（ x） = （ 1）记 F（ x） =f（ x） g（ x），求证： F（ x） =0 在区间（ 1， +）内有且仅有一个实根； （ 2）用 a， b表示 a， b 中的最小值，设函数 m（ x） =x）， g（ x） ，若方程m（ x） =c 在（ 1， +）有两个不相等的实根 记 F（ x） =0 在（ 1， +）内的实根 求证： 【考点】 利用导数求 闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ 1）求出函数的导数，通过解关于导函数的不等式，得到函数的单调性，结合零点存在定理证出结论即可； （ 2）问题转化为证明 x1+2据 m（ x）在（ +）上递减，即证明 m（ m（ 2根据函数的单调性证明即可 【解答】 证明：（ 1） F（ x） =，定义域是（ 0， +）， F（ x） =1+， 第 17 页（共 21 页） x 1 时， F（ x） 0， F（ x）在（ 1， +）递增， 又 F（ 1） = 0， F（ 2） =2 0， 而 F（ x）在（ 1， +）上连续， 根据零点存在定理可得： F（ x） =0 在区间（ 1， +）有且只有 1 个实根； （ 2） 0 x 1 时， f（ x） =0，而 g（ x） = 0， 故此时有 f（ x） g（ x）， 由（ 1）得： F（ x）在（ 1， +）递增，又 F（ x） =0 在（ 1， +）内的实根， F（ =f（ g（ =0，故 1 x ，即 f（ x） g（ x）， x ， F（ x） 0 即 f（ x） g（ x）， m（ x） = ， 1 x ， m（ x） =m（ x） =1+0， m（ x）在（ 1， 增， x ， m（ x） = ， m（ x） = 0， m（ x）在（ +）递减， 若方程 m（ x） =c 在（ 1， +）有两个不相等的实根 则满足 （ 1， （ +）， 要证明 证明 x1+2证明 2 而 m（ x）在（ +）上递减，即证明 m（ m（ 2 m（ =m（ 即证明： m（ m（ 2即证明： ， （ 1， ， 记 h（ x） =， x （ 1， 由 F（ =0 得： ， h（ =0， h（ x） =1+ ， g（ x） = ， g（ x） = ， 0 x 1 时， g（ x） 0， x 1 时， g（ x） 0， 第 18 页（共 21 页） 故 g（ x） g（ 1） = ， x 0 时， 0 g（ x） ， 2x 0， 0 ， h（ x） =1+ 1 0， h（ x）递增，从而 1 ， h（ x） h（ =0， 即 ， 故 证 选考题题（请在 22、 23、 24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。共 1小题，满分 10 分） 选修 4何证明选讲 22如图， O 的半径 直于直径 M 为 一点， 延长线交 O 于 N，过 N 点的切线交 延长线于 P （ 1）求证： B （ 2）若 O 的半径为 ， ，求： 长 【考点】 与圆有关的比例线段 【分析】 （ 1）连结 用等腰三角形的性质和圆的切割线定理，即可得到 B