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2011年全国初中数学竞赛试题参考答案 一、选择题1A解：因为， ， ， 所以2. B解：（略）3. D解：（略）4C解：由已知得 于是 5B解：依定义的运算法则，有即对任何实数都成立. 由于实数的任意性，得（）=（1，0）6D解：由 可得 于是 因此，当时，的最小值为7C解：由题设可知，于是，所以 ，故，从而于是8C解：两式相加，得，解得，或（舍去）当时，满足等式，故所以，实数t的所有可能值的和为1. 9C解：如图，连接，设，则，从而有因为，所以10A解：当，因为，所以 ， 于是有，故的整数部分等于4二、填空题113m4解：易知是方程的一个根，设方程的另外两个根为，则，显然，所以 0，即 ，0，所以， 0，解之得 3m4.12解： 在36对可能出现的结果中，有4对：（1，4），（2，3），（2，3），（4，1）的和为5，所以朝上的面两数字之和为5的概率是. 136 解：如图，设点的坐标为，点的坐标为,则点的坐标为，点的坐标为 因为点在双曲线上，所以由于， 又因为，于是所以 即 14解：由0，且0，得由于，所以当时，取到最大值1，故当或1时，取到最小值，故所以，1584解：如图，设BCa，ACb，则1225 又RtAFERtACB，所以，即，故 由得 ，解得ab49（另一个解25舍去），所以三、解答题16解：设方程的两个根为，其中为整数，且，则方程的两根为，由题意得，两式相加得 ， 即 ， 所以 或 解得 或又因为 所以；或者，故，或29.17证明：如图，延长交于点，连接.因为为的直径，所以90，故为的直径.于是. 又因为点为的垂心，所以 所以，四边形为平行四边形. 所以点为的中点.18解：（1）如图，分别过点作轴的垂线，垂足分别为.设点的坐标为（0，），则点的坐标为（0，-）.设直线的函数解析式为,并设的坐标分别为 ,.由得 ，于是 ，即 . 于是 又因为，所以. 因为，所以， 故=.（2）解法一 设，不妨设0，由（1）可知=，=，=， 所以 =，=.因为，所以.于是，即，所以由（1）中，即，所以于是可求得 将代入，得到点的坐标（，）. 再将点的坐标代入，求得 所以直线的函数解析式为.根据对称性知，所求直线的函数解析式为，或.解法二 设直线的函数解析式为,其中.由（1）可知，=，所以.故 .将代入上式，平方并整理得，即.所以 或 又由 (1)得，.若代入上式得 从而 .同理，若 可得 从而 .所以，直线的函数解析式为，或.19解：
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