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2019年小学数学奥数基础教程(六年级)(I)本教程共30讲比较分数的大小同学们从一开始接触数学，就有比较数的大小问题。比较整数、小数的大小的方法比较简单，而比较分数的大小就不那么简单了，因此也就产生了多种多样的方法。对于两个不同的分数，有分母相同，分子相同以及分子、分母都不相同三种情况，其中前两种情况判别大小的方法是：分母相同的两个分数，分子大的那个分数比较大；分子相同的两个分数，分母大的那个分数比较小。第三种情况，即分子、分母都不同的两个分数，通常是采用通分的方法，使它们的分母相同，化为第一种情况，再比较大小。由于要比较的分数千差万别，所以通分的方法不一定是最简捷的。下面我们介绍另外几种方法。1.“通分子”。当两个已知分数的分母的最小公倍数比较大，而分子的最小公倍数比较小时，可以把它们化成同分子的分数，再比较大小，这种方法比通分的方法简便。如果我们把课本里的通分称为“通分母”，那么这里讲的方法可以称为“通分子”。2.化为小数。这种方法对任意的分数都适用，因此也叫万能方法。但在比较大小时是否简便，就要看具体情况了。3.先约分，后比较。有时已知分数不是最简分数，可以先约分。4.根据倒数比较大小。5.若两个真分数的分母与分子的差相等、则分母（子）大的分数较大；若两个假分数的分子与分母的差相等，则分母（子）小的分数较大。也就是说，6.借助第三个数进行比较。有以下几种情况：（1）对于分数m和n，若mk，kn，则mn。（2）对于分数m和n，若m-kn-k，则mn。前一个差比较小，所以mn。（3）对于分数m和n，若k-mk-n，则mn。注意，（2）与（3）的差别在于，（2）中借助的数k小于原来的两个分数m和n；（3）中借助的数k大于原来的两个分数m和n。（4）把两个已知分数的分母、分子分别相加，得到一个新分数。新分数一定介于两个已知分数之间，即比其中一个分数大，比另一个分数小。利用这一点，当两个已知分数不容易比较大小，新分数与其中一个已知分数容易比较大小时，就可以借助于这个新分数。比较分数大小的方法还有很多，同学们可以在学习中不断发现总结，但无论哪种方法，均来源于：“分母相同，分子大的分数大；分子相同，分母小的分数大”这一基本方法。练习11.比较下列各组分数的大小：答案与提示练习1 附送：2019年小学数学奥数基础教程(六年级) 第29讲本教程共30讲运筹学初步（三） 本讲主要讲统筹安排问题、排队问题、最短路线问题、场地设置问题等。这些都是人们日常生活、工作中经常碰到的问题，怎样才能把它们安排得更合理，多快好省地办事，就是这讲涉及的问题。当然，限于现有的知识水平，我们仅仅是初步探索一下。1.统筹安排问题例1 星期天妈妈要做好多事情。擦玻璃要20分钟，收拾厨房要15分钟，洗脏衣服的领子、袖口要10分钟，打开全自动洗衣机洗衣服要40分钟，晾衣服要10分钟。妈妈干完所有这些事情最少用多长时间？分析与解：如果按照题目告诉的几件事，一件一件去做，要95分钟。要想节约时间，就要想想在哪段时间里闲着，能否利用闲着的时间做其它事。最合理的安排是：先洗脏衣服的领子和袖口，接着打开全自动洗衣机洗衣服，在洗衣服的40分钟内擦玻璃和收拾厨房，最后晾衣服，共需60分钟（见下图）。例1 告诉我们，当有许多事要做时，科学地安排好先后顺序，就能用较少的时间完成较多的事情。2.排队问题例2 理发室里有甲、乙两位理发师，同时来了五位顾客，根据他们所要理的发型，分别需要10，12，15，20和24分钟。怎样安排他们的理发顺序，才能使这五人理发和等候所用时间的总和最少？最少要用多少时间？分析与解：一人理发时，其他人需等待，为使总的等待时间尽量短，应让理发所需时间少的人先理。甲先给需10分钟的人理发，然后15分钟的，最后24分钟的；乙先给需12分钟的人理发，然后20分钟的。甲给需10分钟的人理发时，有2人等待，占用三人的时间和为（103）分；然后，甲给需 15分钟的人理发，有 1人等待，占用两人的时间和为（152）分；最后，甲给需 24分钟的人理发，无人等待。甲理发的三个人，共用（10315224）分，乙理发的两个人，共用（12220）分。总的占用时间为（10315224）（12220）=128（分）。按照上面的安排，从第一人开始理发到五个人全部理完，用了 10152449（分）。如果题目中再要求从第一人开始理发到五人全部理完的时间最短，那么做个调整，甲依次给需10，12，20分钟的人理发，乙依次给需15，24分钟的人理发，总的占用时间仍是128分钟，而五人全部理完所用时间为10122042（分）。例3 车间里有五台车床同时出现故障，已知第一台到第五台修复时间依次为18，30，17，25，20分钟，每台车床停产一分钟造成经济损失5元。现有两名工作效率相同的修理工，怎样安排才能使得修复的时间最短且经济损失最少？分析与解：因为（1830172520）2=55（分），经过组合，一人修需18，17和20分钟的三台，另一人修需30和25分钟的两台，修复时间最短，为55分钟。上面只考虑修复时间，没考虑经济损失，要使经济损失少，就要使总停产时间尽量短，显然应先修理修复时间短的。第一人按需17，18，20分钟的顺序修理，第2人按需25，30分钟的顺序修理，经济损失为5（17318220）（25230）=935（元）。3.最短路线问题例4 右图是一张道路示意图，每段路上的数字表示小明走这段路所需要的时间（单位：分）。小明从A到B最快要几分钟？分析与解：我们采用分析排除法，将道路图逐步简化。从A到O有两条路，ACO用6分钟，AFO用7分钟，排除后者，可将FO抹去，但AF不能抹去，因为从A到B还有其它路线经过AF，简化为左下图。从A到E还剩两条路，ACGE用12分钟，ACOE用10分钟，排除前者，可将CG，GE抹去，简化为右上图。从A到D还剩两条路，ACOD用12分钟，AHD用13分钟，排除后者，可将AH，HD抹去，简化为左下图。从A到B还剩两条路，ACOEB用17分钟，ACODB用16分钟，排除前者，可将OE，EB抹去，简化为右上图。小明按ACODB走最快，用16分钟。4.场地设置问题例5 下图是A，B，C，D，E五个村之间的道路示意图，中数字是各村要上学的学生人数，道路上的数表示两村之间的距离（单位：千米）。现在要在五村之中选一个村建立一所小学。为使所有学生到学校的总距离最短，试确定最合理的方案。分析与解：我们采用比较学校设在相邻两村的差别的方法。例如比较 A和 C，若设在 A村，则在 C村一侧将集结 20203550=125（人），这些人都要走 AC这段路；若设在C村，则只有40人走AC这段路。对这两种方案，走其余各段路的人数完全相同，所以设在C村比设在A村好。从上面比较A和C的过程可以看出，场地设置问题不必考虑场地之间的距离，只需比较两个场地集结的人数多少，哪个场地集结的人数越多，就应设在哪。同理，经比较得到C比B好，D比E好。最后比较C和D。若设在 C村，则在 D村一侧将集结 35 50= 85（人）；若设在 D村，则在C村一侧将集结 402020=80（人）。因为在D村集结的人数比C村多，所以设在D村比C村好。经过上面的比较，最合理的方案是设在D村。不难发现，本题的解法与第27讲例2的解法十分类似。例6 某天然气站要安装天然气管道通往位于一条环形线上的AG七个居民区，每两个居民区间的距离如下图所示（单位：千米）。管道有粗细两种规格，粗管可供所有7个居民区用气，每千米8000元，细管只能供1个居民区用气，每千米3000元。粗、细管的转接处必须在居民区中。问：应怎样搭配使用这两种管道，才能使费用最省？分析与解：在长度相同的情况下，每根粗管的费用大于2根细管的费用，小于3根细管的费用，所以安装管道时，只要后面需要供气的居民区多于2个，这一段就应选用粗管。从天然气站开始，分成顺时针与逆时针两条线路安装，因为每条线路的后面至多有两个居民区由细管通达，共有7个居民区，所以至少有3个居民区由粗管通达。因为长度相同时，2根或1根细管的费用都低于1根粗管的费用，所以由粗管通达的几个居民区的距离越短越好，而顺时针与逆时针两条线路未衔接部份的距离越长越好。经过计算比较，得到最佳方案：（1）天然气站经G，F，E到D安装粗管，D到C安装2根细管，C到B安装1根细管；（2）天然气站到A安装1根细管。此时总费用最少，为8000（3+12+8+6）+300025+3000（9+10）=319000（元）。练习291.早饭前妈妈要干好多的事：烧开水要15分钟，擦桌椅要8分钟，准备暖瓶要1分钟，灌开水要2分钟，买油条要10分钟，煮牛奶要7分钟。如果灶具上只有一个火，那么全部做完这些工作最少需要多少时间？怎样安排？2.甲、乙、丙三名车工准备在同样效率的3个车床上加工七个零件，各零件加工所需时间分别为4，5，6，6，8，9，9分钟，三人同时开始工作。问：加工完七个零件最少需多长时间？3.车间里有5台车床同时出现故障。已知第一台至第五台修复的时间依次为15，8，29，7，10分钟，每台车床停产一分钟造成经济损失5元。问：（1）如果只有一名修理工，那么怎样安排修理顺序才能使经济损失最少？（2）如果有两名修理工，那么修复时间最少需多少分钟？4.下页左上图是一张道路图，每条路上的数是小王走这段路所需的时间（单位：分）。小王从A到B，最快需要几分钟？5.东升乡有8个行政村。分布如右上图所示，点表示村庄，线表示道路，数字表示道路的长（单位：千米）。现在这个乡要建立有线广播网，沿道路架设电线。问：电线至少要架多长？6.有七个村庄A1，A2，A7分布在公