材料力学课件第14章

第14章梁的纵横弯曲与弹性基础梁简介,在实际工程中，经常会遇到同时承受纵向载荷与横向载荷的杆件，如果杆件的抗弯刚度很大，或者纵向力很小，那么在小变形情况下，可以忽略纵向力在杆件横截面内产生的弯矩的影响，而按照拉压和弯曲组合变形问题进行分析。,如果杆件的抗弯刚度不是很大，而纵向力又不是太小，则纵向力产生的附加弯矩的影响一般是不能忽略的，而且梁的变形、弯矩与纵向力的关系也不再是线性的，这类问题称为纵横弯曲。,14.1梁的纵横弯曲,受轴向压力与横向载荷联合作用的直杆有时也称为梁柱。,1.轴向压力与横向载荷联合作用的梁,记,通解分别为,由两端挠度为零的边界条件，可以求出,由C截面的连续条件,对于集中力Q作用在跨度中点的特殊情况，,记,放大系数,例14-1试分析受轴向压力与均匀载荷共同作用的简支梁的变形，并计算最大弯矩。,解：,通解为,由两端挠度为零的边界条件，可求出,同前，记,，则,例14-2图示简支梁受轴向压力并在一端有集中力偶作用，试分析其变形。,解：,通解为,利用两端挠度为零的边界条件求得,于是,放大系数,利用叠加原理不仅可以解决轴向压力和多个横向载荷共同作用的静定梁问题，还可以求解相应的静不定梁问题。,利用上两例结果，有,由,，得,2.轴向拉力与横向载荷联合作用的梁,受轴向拉力与横向载荷联合作用的直杆称为系杆或系梁。,与受轴向压力的情况解法类似，可得,在梁柱问题中以-P代替P，以ki代替k，以ui代替u，并利用下列关系：,就可以得到相应的系杆问题的微分方程或者解。,例14-3试求图示均布横向载荷作用的系杆的最大挠度和两端转角。,解：,利用例14-1的结果，得,14.2弹性基础上的无限长梁,具有密集或连续弹性支撑特点的梁，如铁路钢轨、船舶底板梁、房屋地基梁等。,弹性基础梁,假设：梁上某一点的基础反力的集度与梁在该点的挠度成正比。,（德国科学家E.Wenkler于1867年提出。）,1.微分方程及其通解,基础支反力,弹性基础系数，量刚为力/长度2,挠度,引进记号,对于没有分布载荷作用的一段梁，上式为齐次方程,其通解为,A、B、C、D为积分常数，由边界条件确定。,(14-31),2.无限长梁,（1）受集中载荷作用的无限长梁,依对称性，仅研究原点右侧的一半即可。,(14-35),为使梁得变形和内力表示简便，引进如下函数,(14-37),(14-36),（2）受集中力偶作用的无限长梁,依挠度的反对称性，仅研究原点右侧的一半即可。,对于复杂载荷作用的情况，可以利用以上受集中力或集中力偶作用的两种结果，应用叠加原理求解。,例14-4如图示，集度为q、分布长度为l的均布载荷作用在无限长的弹性基础梁上。试求梁的任意一点的挠度。,解：,例14-5弹性基础上的无限长梁受四个等值且等间距的集中力作用，如图示。梁为20b工字钢，已知E=40MPa，I=2500cm4，W=250cm3，基础系数k=30MPa。若集中力P=100kN，试求B截面的变形、内力及最大应力。,解：,以B点为原点，根据图中各集力到B点的距离求得函数值如下表,根据(14-37)式和叠加原理，并考虑到C、D处载荷在B截面右侧，其产生的转角与剪力应改变符号，于是得,B截面的最大弯曲正应力为,从B截面的变形和内力的计算过程可以看出，只有B点的集中力影响最大，其他三个集中力的影响都比较小。,3.半无限长梁,仍然利用通解(14-31)式,积分常数A和B可由梁左端的静力边界条件求出，即,采用(14-36)式的函数表达式，上式还可写成,(14-44),利用(14-44)式并应用叠加原理，就可以解决半无限长梁的较复杂的问题。,例14-6在弹性基础上有一受均匀载荷作用的半无限长梁，梁的左端固定，如图所示。试求固定端反力和任意一点的挠度。,解：,根据(14-44)式之第一式并应用叠加原理，,由边界条件,例14-7半无限长梁上作用一集中力P，P距左端的长度为a，如图示。试求梁的挠度表示式。,解：,+,=,(14-37),(14-37),(14-44),14.3弹性基础上的有限长梁,1.克雷洛夫函数,克雷洛夫函数,(14-49),2.用初参数表示的齐次微分方程的通解,初参数,(14-53),3.用初参数法解有限长梁,(1)受集中力作用的有限长梁,集中力P产生的附加挠度,(14-54),也应满足相同的齐次微分方程，故,(14-57),(2)受集中力偶作用的有限长梁,(14-60),(3)受分布载荷作用的有限长梁,挠度表达式为(14-53)式；,：,：,：,可将三段挠度统一表示成,(14-63),(14-65),例14-8弹性基础上的有限长梁左端受集中力作用，试求梁的弯矩方程和剪力方程。,解：,，代入式（14-53），有,将(14-67)式代回(14-66)式即得梁的弯矩方程和剪力方程。,(14-67),(14-66),例14-9例14-8中，设梁长l=2m，抗弯刚度EI=30MPa，弹性地基系数k=8MPa，P=30kN。试求解梁的剪力和弯矩。,解：,代入(14-67)式，求得,代入(14-66)式，求得,例14-10弹性基础上的有限长梁的中点有一集中力作用（如图），试求梁的中点与端点的挠度。,解：,代入(14-53)式，有,由(14-49),讨论：,即梁的抗弯刚度EI很大或梁很短因而l很小时，梁好像刚体一样，各点几乎均匀沉陷，沉陷量为P/lk，相当于集度为P/l的均布载荷作用于整个梁上产生的基础沉陷。这类梁称为短梁。,（1）当时，,；当时，,（2）当时，,对比受集中力作用的无限长梁相应的解（式(14-35)）,不难