《高等数学复习资料》第一章第四次

1/26,回顾：,1、基本概念：,左（右）极限,函数极限、,2、函数极限的性质：,局部保号性,局部有界性、,唯一性、,2/26,函数极限的统一定义,(见下表),3/26,4/26,第四节无穷小与无穷大,三、无穷小与无穷大的关系,一、无穷小,二、无穷大,四、小结,5/26,一、无穷小,1.定义:,例如：,注意,1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆;,2.零是可以作为无穷小的唯一的常数.,6/26,2.无穷小与函数极限的关系:,证：,必要性,充分性,意义：,1.将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);,7/26,3.无穷小的运算性质:,定理2在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.,证,无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.,注意：,8/26,定理3有界函数与无穷小的乘积是无穷小.,证：,9/26,在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.,常数与无穷小的乘积是无穷小.,有限个无穷小的乘积也是无穷小.,都是无穷小,推论1：,推论2：,推论3：,有限个无穷小之间进行加、减、乘以及数乘运算得到的还是无穷小。,小结：,问题：,无穷小之间进行除运算会得到什么结果呢？,10/26,二、无穷大,绝对值无限增大的变量称为无穷大.,11/26,特殊情形：正无穷大，负无穷大,注意,1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆;,3.无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.,12/26,不是无穷大,无界，,13/26,证,14/26,【渐近线】,(1)铅直渐近线,【例如】,是函数,的铅直渐近线。,(2)水平渐近线,(3)小结求渐近线,15/26,例,【解】,16/26,三、无穷小与无穷大的关系,在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.,定理4：,关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.,意义：,证明：略课本P41,17/26,1、主要内容:,两个定义;四个定理;三个推论.,2、几点注意:,无穷小与无穷大是相对于过程而言的.,（1）无穷小（大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；,（2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小.,（3）无界变量未必是无穷大.,小结,18/26,第五节极限运算法则,二、求极限方法举例,一、极限运算法则,三、小结、思考题,19/26,一、极限运算法则,定理1,证：略（课本P44）,20/26,推论1,常数因子可以提到极限记号外面.,推论2,推论3,(1)、(2)的结论可推广到有限个函数的情形,21/26,【定理2】,设数列,【注意】,定理1及其两个推论成立的前提条件是：,“f(x)与g(x)的极限存在”,若,则,2.数列极限运算法则,22/26,【定理3】,【证】,令,则,由定理3可知,由第三节函数极限的局部保号性的推论可知,【证完】,3.极限保序性,23/26,定理4(复合函数的极限运算法则）,证明：,24/26,说明：,或,可得类似的定理。,1、把定理中的,换成,而把,换成,2、给出了用变量代换法求复合函数极限理论依据。,25/26,二、求极限方法举例,例1,解,26/26,小结:,27/26,解,商的法则不能用,由无穷小与无穷大的关系,得,例2,28/26,解,例3,消去零因子法,29/26,例4,解,无穷小因子分出法,30/26,小结:,无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.,31/26,例5（补充）,解,先变形再求极限.,32/26,例6,解,33/26,例7（补充）,解,左右极限存在且相等,34/26,思考题：,1在某个过程中，若有极限，无极限，那么（1）是否有极限？为什么？（2）是否有极限？为什么？,作业：P426、8,P491（3