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第六节,Green公式,Gauss公式,推广,高斯公式,第十一章,格林公式表达了平面闭区域上二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系.,高斯公式表达了空间闭区域上三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系.,一、高斯(Gauss)公式,定理1.设空间闭区域由分片光滑的闭曲,上有连续的一阶偏导数,下面先证:,函数P,Q,R在,面所围成,则有,(Gauss公式),的方向取外侧,证明:设,称为XY-型区域,则,所以,若不是XY型区域,则可引进辅助面,将其分割成若干个XY型区域,故上式仍成立.,正反两侧面积分正负抵消,在辅助面,类似可证,三式相加,即得所证Gauss公式：,例1.用Gauss公式计算,其中为柱面,闭域的整个边界曲面的外侧.,解:这里,利用Gauss公式,得,原式=,及平面z=0,z=3所围空间,思考:若改为内侧,结果有何变化?,若为圆柱侧面(取外侧),如何计算?,利用柱面坐标y=sin,例2.利用Gauss公式计算积分,其中为锥面,解:作辅助面,取上侧,介于z=0及z=h,之间部分的下侧,为法向量的方向角.,所围区域为,则,思考:计算曲面积分,提示:作取上侧的辅助面,介于平面z=0及z=2,之间部分的下侧.,在闭区域上具有一阶和,二阶连续偏导数,证明格林(Green)第一公式,例3.设函数,其中是整个边界面的外侧.,注意:,高斯公式,证:令,由高斯公式得,移项即得所证公式.,例4.,设为曲面,取上侧,求,解:,作取下侧的辅助面,用柱坐标,用极坐标,内容小结,1.高斯公式及其应用,公式:,应用:,(1)计算曲面积分,(非闭曲面时注意添加辅助面的技巧),(2)推出闭曲面积分为零的充要条件:,作业,P2391(4),(5);4,思考与练习,所围立体,判断下列演算是否正确?,(1),(2),为,备用题设是一光滑闭曲面,所围立体的体,是外法线向量与点(x,y,z)的向径,试证,证:设的单位外法向量为,则,的夹角,积为V,高斯(17771855),德国数学家、天文学家和物理学家,是与阿基米德,牛顿并列的伟大数学家,他的数学成就遍及各个领域,在数论、,级数、复变函数及椭圆函数论等方面均有一系列开创,性的贡献,他还十分重视数学的应用,地测量学和磁学的研究中发明和发展了最小二乘法、,曲面论和位势论等.,他在学术上十分谨慎,原则:,
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