圆锥曲线第二讲——双曲线

圆锥曲线第二讲双曲线一、基础练习：1. 已知，曲线上的动点到距离之差为6，则双曲线的方程为 .2. 双曲线的渐近线为，则离心率为 . 3.设P为双曲线上的一点F1、F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|：|PF2|=3：2，则PF1F2的面积为 .4. 设，分别为具有公共焦点与的椭圆和双曲线的离心率，为两曲线的一个公共点，且满足，则的值为 .5双曲线kx2y21的一条渐近线与直线2xy10垂直，则此双曲线的离心率是_6(2010年苏州调研)双曲线1的右焦点为F，右准线与一条渐近线交于点A，AOF的面积为，则两条渐近线的夹角为_7(2009年高考江西卷改编)设F1和F2为双曲线1(a0，b0)的两个焦点，若F1，F2，P(0,2b)是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为_8(2010年南通市质检)已知双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线上一点，且PF1PF2，|PF1|PF2|4ab，则双曲线的离心率是_9已知双曲线C：1(a0，b0)的一个焦点是F2(2,0)，离心率e2.(1)求双曲线C的方程；(2)若以k(k0)为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M、N，线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求实数k的取值范围二、知识梳理：1. 双曲线的定义（1）第一定义：当时, 的轨迹为双曲线; 当时, 的轨迹不存在; 当时, 的轨迹为以为端点的两条射线（2）双曲线的第二义: ;（双曲线上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化）.解析：平面内到定点与定直线(定点不在定直线上)的距离之比是常数()的点的轨迹为双曲线2. 双曲线的标准方程与几何性质标准方程性质焦点， 焦距范围顶点对称性关于x轴、y轴和原点对称离心率准线渐近线与双曲线共渐近线的双曲线系方程为：与双曲线共轭的双曲线为，有相同的渐近线，相同焦距。等轴双曲线的渐近线方程为 ，离心率为.； 焦点在x轴上的双曲线的焦半径：|PF1|ex0a(x00)，|PF2| ex0a (x00)或|PF1|ex0a(x00)，|PF2|ex0a(x00)的左、右焦点分别为F1、F2，其一条渐近线方程为yx，点P(，y0)在该双曲线上，则12_.5已知点F，A分别为双曲线C：1(a0，b0)的左焦点，右顶点，点B(0，b)满足0，则双曲线的离心率为_6(2009年高考辽宁卷)已知F是双曲线1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的一动点，则|PF|PA|的最小值为_7(2009年高考全国卷改编)已知双曲线C：1(a0，b0)的右焦点为F，过F且斜率为的直线交C于A、B两点若A4，则双曲线C的离心率为_8(2009年高考湖南卷)已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60，则双曲线C的离心率为_9(2010年淮安、宿迁、徐州、连云港四市调研)如图，已知双曲线以长方形ABCD的顶点A，B为左，右焦点，且过C，D两顶点若AB4，BC3，求此双曲线的标准方程10已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为，且过点M(4，)(1)求双曲线方程；(2)若点N(3，m)在双曲线上，求证：1N20；(3)求F1NF2的面积11在PAB中，已知A(，0)、B(，0)，动点P满足|PA|PB|4.(1)求动点P的轨迹方程；(2)设M(2,0)，N(2,0)，过点N作直线l垂直于AB，且l与直线MP交于点Q，试在x轴上确定一点T，使得PNQT；(3)在(2)的条件下，设点Q关于x轴的对称点为R，求的值一、基础练习答案：1、解析：一要注意是否满足，二要注意是一支还是两支的轨迹是双曲线的右支.其方程为.2、解析：当焦点在x轴上时，；当焦点在y轴上时，.3、解析： 又由、解得 直角三角形，4、解析 设，5、解析：由题意知k0，因为双曲线的渐近线yx中有一条与直线2xy10垂直所以(2)1，即k，因此双曲线中a2，c，所以离心率e.答案：6、解析：据题意令yA，故SAOFcab，故双曲线渐近线的方程为：yx，因此其夹角为直角答案：90.7、解析：tan60，4b23c24(c2a2)3c2c24a24e2.答案：28、解析：因为PF1PF2，所以有，即4c24a28ab，所以b2a，c25a2，即e.9、解：(1)由已知得c2，e2，a1，b，所求的双曲线方程为x21.(2)设直线l的方程为ykxm(k0)点M(x1，y1)，N(x2，y2)的坐标满足方程组将式代入式，整理得(3k2)x22kmxm230.此方程有两个不等实根，于是3k20，且(2km)24(3k2)(m23)0. 整理得m23k20.由根与系数的关系可知线段MN的中点坐标(x0，y0)满足x0，y0kx0m.从而线段MN的垂直平分线方程为y(x)此直线与x轴，y轴的交点坐标分别为(，0)，(0，)由题设可得|4. 整理得m2，k0，将式代入式得3k20，整理得(k23)(k22|k|3)0，k0.解得0|k|3.k的取值范围是(，3)(，0)(0，)(3，)三、互动展示答案1、 2、【解题思路】这是一个存在性问题，可转化为最值问题来解决解析(方法1)由定义知，又已知，解得，在中，由余弦定理，得，要求的最大值，即求的最小值，当时，解得即的最大值为(方法2) ，双曲线上存在一点P使，等价于 (方法3)设，由焦半径公式得，的最大值为3、 解析（1）依题意，有，即，即双曲线方程为，故双曲线的渐近线方程是，即（2）设渐近线与直线交于A、B，则，解得即，又，(正确答案：c4=3)双曲线的方程为.4、解（1）设双曲线方程为由已知得，再由，得故双曲线的方程为.（2）将代入得 由直线与双曲线交与不同的两点得 即且. 设，则，由得，而.于是，即解此不等式得 由+得故的取值范围为5、（1）设，则，（2）由（1）知，故，从而双曲线的渐近线方程为，依题意，可设，由，得 由，得，解得点在双曲线上，又，上式化简得 由，得，从而得故双曲线C的方程为四、随堂检测及反馈答案1、解析：据题意|AF2|AF1|2a，|BF2|BF1|2a，故(|AF2|BF2|)(|AF1|BF1|)(|AF2|BF2|)|AB|4a，因此(|AF2|BF2|)|AB|4a61622，故三角形周长为22628.2、解析：c5，设平行于一条渐近线的直线方程为y(x5)，即4x3y200，联立直线与双曲线方程，求得yB，则S(53).答案：3、解析：过P(4,4)的直线与双曲线只有一个交点，则有两条与双曲线相切，两条与双曲线的渐近线平行答案：44、解析：b，点P(，y0)代入1中得y01.不妨设P(，1)，F1(2,0)，F2(2,0)，12(2，1)(2，1)3410.答案：05、解析：由题意可得：|FB|2|AB|2|AF|2c2b2c2(ac)2，整理得c2a2ac0，两边同除以a2得e21e0e.6、解析：设右焦点为F1，依题意知F1的坐标为(4,0)，|PF|PF1|4，|PF|PA|PF1|4|PA|PF1|PA|4|AF1|44.答案：4(正确答案9)7、解析：不妨设|BF|m，|AF|4m，AFx60，则A(2mc,2m)，B(c，m)过A、B向右准线l作垂线，垂足为A1、B1，由定义e，e.即由可知，求得4m，代入式得e.答案：8、解析：如图，cb，B1F1B260，B1F1O30，在B1OF1中，tan30，1，e2，e.答案：9、解：设双曲线的标准方程为1(a0，b0)由题意，得B(2,0)，C(2,3)，解得，双曲线的标准方程为x21.10、解：(1)e，故可等轴设双曲线的方程为x2y2(2)，过点M(4，)，1610，6.双曲线方程为x2y26.(2)证明：由(1)可知：在双曲线中，ab，c2.F1(2，0)，F2(2，0)(23，m)，(23，m)N1N2(23)(23)m23m2.N点在双曲线上，9m26，m23.0.(3)F1NF2的底|F1F2|4，高h|m|，SF1NF26.11、解：(1)|PA|PB|40，b0)由已知，得解得b.动点P的轨迹方程为1(x2)(2)由题意知，直线MP的斜率存在且不为0，直线l的方程为x2.设MP的方程为yk(x2)点Q是直线l与直线MP的交点，Q(2,4k)设P(x0，y0)由整理得(12k2)x28k2x(8k