2016年四川省绵阳市高考数学三诊试卷（文科）含答案解析

第 1 页（共 18 页） 2016 年四川省绵阳市高考数学三诊试卷（文科） 一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1已知 A=x|x 1 0， B=x|2x 3 0，则 AB=（ ） A x| 1 x 1 B x|1 x 3 C x|x 3 D 2已知 i 为虚数单位，复数 z 满足 z（ 1+i） =2i，则 z=（ ） A 1+i B 1 i C 1 i D 1+i 3为了参加 2016 年全市 “五 四 ”文艺汇演，某高中从校文艺队 160 名学生中抽取 20 名学生参加排练，现采用等距抽取的方法，将 160 名学生随机地从 1 160 编号，按编号顺序平均分成 20 组（ 1 8 号， 9 16 号， ， 153 160 号），若第 16 组抽出的号码为 126 号，则第1 组中用抽签的方法确定的号码是（ ） A 3 B 4 C 5 D 6 4某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A B C D 5执行如图所示程序框图，则输出的 n 为（ ） A 3 B 4 C 6 D 8 6 “ x 0，使 a+x b”是 “a b”成立的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 7已知 x 1， 1， y 0， 2，则点 P（ x， y）落在区域 内的概率为（ ） 第 2 页（共 18 页） A B C D 8若函数 f（ x）同时满足以下三个性质； f（ x）的最小正周期为 ； 对任意的 x R，都有 f（ x ） =f（ x）； f（ x）在（ ， ）上是减函数则 f（ x）的解析式可能是（ ） A f（ x） =x+ ） B f（ x） = f（ x） = f（ x） =已知抛物线 x 的焦点为 F， A（ 1， 0），点 P 是抛物线上的动点，则当 的值最小时， 面积为（ ） A B 2 C 2 D 4 10已知函数 f（ x） = ，关于 x 的方程 x） 2x） +a 1=0（ m R）有四个相异的实数根，则 a 的取值范围是（ ） A（ 1， ） B（ 1， +） C（ ， 2） D（ ， +） 二、填空题（每题 5 分，满分 25 分，将答案填在答题纸上） 11已知向量 =（ t， 1）与 =（ 4， t）共线且方向相同，则实数 t=_ 12已知 ，且 ，则 _ 13若直线 y=2x+b 与曲线 y= 有且仅有一个公共点，则 b 的取值范围为 _ 14某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为 200 元，每桶水的进价是 5 元，销售单价与日均销售量的关系如下表所示 销售单价 /元 6 7 8 9 10 11 12 日均销售量 /桶 480 440 400 360 320 280 240 请根据以上数据分析，这个经营部定价在 _元 /桶才能获得最大利润 15已知函数 f（ x） =x2出下列三个命题： （ 1） f（ x）是 R 上的奇函数； （ 2） f（ x） 在 上单调递增； （ 3）对任意的 ，都有（ x1+f（ +f（ 0 其中真命题的序号是 _ 三、解答题（本大题共 6 小题，共 75 分 明过程或演算步骤 .） 16体育课上，李老师对初三 （ 1）班 50 名学生进行跳绳测试，现测得他们的成绩（单位：个）全部介于 20 与 70 之间，将这些成绩数据进行分组（第一组：（ 20， 30，第二组：（ 30，40， ，第五组 ：（ 60， 70），并绘制成如图所示的频率分布直方图 第 3 页（共 18 页） （ 1）求成绩在第四组的人数和这 50 名同学跳绳成绩的中位数； （ 2）从成绩在第一组和第五组的同学中随机取出 2 名同学进行搭档，求至少有一名同学在第一组的概率 17设 各项不相等的等差数列 前 n 项和，已知 （ 1）求数列 项公式； （ 2）设 数列 的前 n 项和，求 的最大值 18已知在 ，角 A， B， C 所对的边长分别为 a， b， c 且满足 b= （ 1）求 A 的大小； （ 2）若 ， ， = ，求 长 19已知在直三棱柱 ，底面是边长为 2 的正三角形，侧棱 长为 ，P、 Q 分别是 的点，且 图 （ 1）设面 面 交于 l，求证： l （ 2）若平面 面 确定 P 点的位置，并证明你的结论 20已知椭圆 E： + =1（ a b c）的离心率为 ，过焦点且垂直于 x 轴的直线被椭圆 E 截 得的线段长为 2 （ 1）求椭圆 E 的方程； （ 2）直线 y= 与椭圆 E 交于 A， B 两点，以 直径的圆与 y 轴正半轴交于点 C是否存在实数 k，使得 y 轴恰好平分 存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由 21设 f（ x） = ， g（ x） = +m 1（ m 为整数） （ 1）求曲线 y=f（ x）在点（ ， f（ ）处的切线方程； （ 2）求函数 y=g（ x）的单调递减区间； （ 3）若 x 0 时，函数 y=f（ x）的图象始终在函数 y=g（ x）的图象的下方，求 m 的最小值 第 4 页（共 18 页） 2016 年四川省绵阳市高考数学三诊试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1已知 A=x|x 1 0， B=x|2x 3 0，则 AB=（ ） A x| 1 x 1 B x|1 x 3 C x|x 3 D 【考点】 交集及其运算 【分析】 求出 A， B 中不等式的解集确定出 A， B，求出 A 与 B 的交集即可 【解答】 解： A=x|x 1 0=x|x 1， 由 B 中不等式变形得：（ x 3）（ x+1） 0， 解得： 1 x 3，即 B=x| 1 x 3， AB=x|1 x 3， 故选： B 2已知 i 为虚数单位，复数 z 满足 z（ 1+i） =2i，则 z=（ ） A 1+i B 1 i C 1 i D 1+i 【考点】 复数代数形式的乘除运 算 【分析】 利用复数的运算法则即可得出 【解答】 解： z（ 1+i） =2i， z（ 1+i）（ 1 i） =2i（ 1 i）， 则 z=i+1 故选： A 3为了参加 2016 年全市 “五 四 ”文艺汇演，某高中从校文艺队 160 名学生中抽取 20 名学生参加排练，现采用等距抽取的方法，将 160 名学生随机地从 1 160 编号，按编号顺序平均分成 20 组（ 1 8 号， 9 16 号， ， 153 160 号），若第 16 组抽出的号码为 126 号，则第1 组中用抽签的方法确定的号码是（ ） A 3 B 4 C 5 D 6 【考点】 系统抽样方 法 【分析】 由系统抽样的法则，可知第 n 组抽出个数的号码应为 x+8（ n 1），即可得出结论 【解答】 解：由题意，可知系统抽样的组数为 20，间隔为 8，设第一组抽出的号码为 x，则由系统抽样的法则，可知第 n 组抽出个数的号码应为 x+8（ n 1），所以第 15 组应抽出的号码为 x+8（ 16 1） =126，解得 x=6 故选： D 4某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） 第 5 页（共 18 页） A B C D 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由题意，几何体是底面为边长为 2 的等边三角形，高为 2 的直三棱柱，利用体积公式解答即可 【解答】 解：由题意，几何体为平放的直三棱柱，底面是边长为 2 的等边三角形，高为 2， 所以其体积为 ； 故选 A 5执行如图所示程序框图，则输出的 n 为 （ ） A 3 B 4 C 6 D 8 【考点】 程序框图 【分析】 执行程序框图，依次写出每次循环得到的 S， n 的值， S=3 满足条件，退出循环，输出 n 的值为 8 【解答】 解：模拟执行程序，可得 S=0， n=1 执行循环体， S=1， n=2 不满足条件 S 3，执行循环体， S=1+n=3 不满足条件 S 3，执行循环体， S=n=4 不满足条件 S 3，执行循环体， S=， n=8 满足条件 S 3，退出循环，输出 n 的值为 8 故选： D 第 6 页（共 18 页） 6 “ x 0，使 a+x b”是 “a b”成立的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 由于 “ x 0，使 a+x b”与 “a b”成立等价，即可判断出关系 【解答】 解： “ x 0，使 a+x b”“a b”， “ x 0，使 a+x b”是 “a b”成立的充要条件 故选： C 7已知 x 1， 1， y 0， 2，则点 P（ x， y）落在区域 内的概率为（ ） A B C D 【考点】 几何概型 【分析】 本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出点 P（ x， y）对应图形的面积，及满足条件 “ 内 ”的点对应的图形的面积，然后再结合几何概型的计算公式进行求解 【解答】 解：不等式组表示的区域如图所示， 阴影部分的面积为 ， 则所求概率为 故选 B 8若函数 f（ x）同时满足以下三个性质； f（ x）的最小正周期为 ； 对任意的 x R，都有 f（ x ） =f（ x）； f（ x）在（ ， ）上是减函数则 f（ x）的解析式可能是（ ） A f（ x） =x+ ） B f（ x） = f（ x） = f（ x） =考点】 正弦函数的图象 第 7 页（共 18 页） 【分析】 由三角函数的图象和性质，结合题意 的三个性质，逐个排查即可 【解答】 解：根据题意，函数应满足： f（ x）的最小正周期为 ； 对任意的 x R，都有 f（ x ） +f（ x） =0， 用 x+ 替换式中的 x 可得 f（ x ） +f（ x ） =0， 即函数的图象关于点（ ， 0）对称； f（ x）在（ ， ）上是减函数； 对于 A， f（ x） =x+ ）的周期为 T=2，不符合 ，故不满足题意； 对于 B， f（ x） =2x ），不符合 ，故不满足题意； 对于 C， f（ x） =符合 ，故不满足题意； 对于 D， f（ x） =2x+ ），符合 ，满足题意 故选： D 9已知抛物线 x 的焦点为 F， A（ 1， 0），点 P 是抛物线上的动点，则当 的值最小时， 面积为（ ） A B 2 C 2 D 4 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 设 P 到准线的距离为 据抛物线的性质可知 =而当 小，即 抛物线相切时， 的值最小利用解方程组的方程求出抛物线过 A 点的切线方程得出 P 点坐标，代入面积公式得出面积 【解答】 解：抛物线的准线方程为 x= 1 设 P 到准线的距离为 |则 | = 当 抛物线 x 相切时， 小，即 取得最小值 设过 A 点的直线 y=kx+k 与抛物线相切（ k 0），代入抛物线方程得 24） x+， =（ 24） 2 4，解得 k= 1 即 2x+1=0，解得 x=1，把 x=1 代入 x 得 y= 2 P（ 1， 2）或 P（ 1， 2） S = =2 故选： B 第 8 页（共 18 页） 10已知函数 f（ x） = ，关于 x 的方程 x） 2x） +a 1=0（ m R）有四个相异的实数根，则 a 的取值范围是（ ） A（ 1， ） B（ 1， +） C（ ， 2） D（ ， +） 【考点】 根的存在性及根的个数判断 【分析】 将函数 f（ x）表示为分段函数形式，判断函数的单调性和极值，利用换元法将方程转化为一元二次方程，利用一元二次函数根与系数之间的关系进行求解即可 【解答】 解：当 x 0 时， f（ x） = ，函数的导数 f（ x） = = ， 当 x 1 时， f（ x） 0，当 0 x 1 时， f（ x） 0，则当 x=1 时 函数取得极小值 f（ 1）=e， 当 x 0 时， f（ x） = ，函数的导数 f（ x） = = ，此时 f（ x） 0 恒成立， 此时函数为增函数， 作出函数 f（ x）的图象如图： 设 t=f（ x），则 t e 时， t=f（ x）有 3 个根， 当 t=e 时， t=f（ x）有 2 个根 当 0 t e 时 ， t=f（ x）有 1 个根， 当 t 0 时， t=f（ x）有 0 个根， 则 x） 2x） +a 1=0（ m R）有四个相异的实数根， 等价为 2at+a 1=0（ m R）有 2 个相异的实数根， 其中 0 t e， t e， 设 h（ t） =2at+a 1， 则 ，即 ，即 ， 第 9 页（共 18 页） 即 a ， 即实数 a 的取值范围是（ ， +）， 故选： D 二、填空题（每题 5 分，满分 25 分，将答案填在答题纸上） 11已知向量 =（ t， 1）与 =（ 4， t）共线且方向相同，则实数 t= 2 【考点】 平面向量共线（平行）的坐标表示 【分析】 利用向量共线的坐标表示列式求得 t 值，结合向量同向进行取舍得答案 【解答】 解： =（ t， 1） =（ 4， t）， 与 共线， 4=0，解得 t= 2 又 与 同向， t=2 故答案为： 2 12已知 ，且 ，则 【考点】 三角函数中的恒等变换应用 【分析】 由同角的正弦和余弦的关系及倍角公式得到结果 【解答】 ，且 ， ， = 第 10 页（共 18 页） 13若直线 y=2x+b 与曲线 y= 有且仅有一个公共点，则 b 的取值范围为 b| 4b 4，或 b= 【考点】 曲线与方程 【分析】 把曲线 y= 转化变形 ，然后画出图形，求出直线 y=2x+b 过点（ 2， 0）时的b 值，及直线 y=2x+b 与圆 x2+ 切于第二象限时的 b 值，则 b 的取值范围可求 【解答】 解：由 y= ，得 x2+（ y 0）， 如图，当直线 y=2x+b 过点（ 2， 0）时，直线 y=2x+b 与曲线 y= 有且仅有一个公共点， 此时有 2 2+b=0，即 b= 4； 平移直线 y=2x+b，由对称性可知，当 b 4 时，直线 y=2x+b 与曲线 y= 有且仅有一个公共点； 当直线 y=2x+b 与圆 x2+ 切于第二象限时，直线 y=2x+b 与曲线 y= 有且仅有一个公共点， 联立 ，可得 5bx+4=0 由 =164 5（ 4） = 40=0， 解得： b= b= 直线 y=2x+b 与曲线 y= 有且仅有一个公共点的 b 的取值范围为 b| 4 b 4，或b= 故答案为： b| 4 b 4，或 b= 14某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为 200 元，每桶水的进价是 5 元，销售单价与日均销售量的关系如下表所示 销售单价 /元 6 7 8 9 10 11 12 日均销售量 /桶 480 440 400 360 320 280 240 请根据以上数据分析，这个经营部定价在 /桶才能获得最大利润 第 11 页（共 18 页） 【考点】 函数的最值及其几何意义 【分析】 通过表格可知销售单价每增加 1 元、日均销售量减少 40 桶，进而列出表达式，利用二次函数的简单性质即得结论 【解答】 解：设每桶水的价格为（ 6+x）元，公司日利润 y 元， 则： y=（ 6+x 5） 200， = 4040x+280（ 0 x 13）， 40 0， 当 x= =函数 y 有最大值， 因此，每桶水的价格为 ，公司日利润最大， 故答案为： 15已知函数 f（ x） =x2出下列三个命题： （ 1） f（ x）是 R 上的奇函数； （ 2） f（ x）在 上单调递增； （ 3）对任意的 ，都有（ x1+f（ +f（ 0 其中真命题的序号是 （ 1）（ 2）（ 3） 【考点】 函数单调性的判断与 证明；函数奇偶性的判断 【分析】 根据奇函数的定义便可判断命题（ 1）为真命题，求导得到 f（ x） =2以判断 时 f（ x） 0，从而得出 f（ x）在 上单调递增，即得出命题（ 2）为真命题，对于命题（ 3），根据增函数的定义即可得出为真命题，从而便可写出真命题的序号 【解答】 解：（ 1） f（ x）的定义域为 R，且 f（ x） =（ x） 2 x） = f（ x）； f（ x）是 R 上的奇函数，即该命题为真命题； （ 2） f（ x） =2 时， x 0， 0， 0， f（ x） 0； 时， x 0， 0， 0， f（ x） 0； 即 时， f（ x） 0； f（ x）在 上单调递增，即该命题为真命题； （ 3）由 （ 2） f（ x）在 上单调递增，则： 则对任意的 ， ，根据增函数的定义 f（ f（ 0； 根据（ 1） f（ x）为奇函数， （ x1+f（ +f（ 0，即该命题为真命题； 综上得，真命题的序号为（ 1）（ 2）（ 3） 故答案为：（ 1）（ 2）（ 3） 第 12 页（共 18 页） 三、解答题（本大题共 6 小题，共 75 分 字说明、证明过程或演算步骤 .） 16体育课上，李老师对初三 （ 1）班 50 名学生进行跳绳测试，现测得他们的成绩（单位：个）全部介于 20 与 70 之间，将这些成绩数据进行分组（第一组：（ 20， 30，第二组：（ 30，40， ，第五组：（ 60， 70），并绘制成如图所示的频率分布直方图 （ 1）求成绩在第四组的人数和这 50 名同学跳绳成绩的中位数； （ 2）从成绩在第一组和第五组的同学中随机取出 2 名同学进行搭档，求至少有一名同学在第一组的概率 【考点】 列 举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图 【分析】 （ 1）根据频率分步直方图即可求出成绩在第四组的人数，估计中位数即可 （ 2）根据频率分步直方图做出要用的各段的人数，设出各段上的元素，用列举法写出所有的事件和满足条件的事件，根据概率公式做出概率 【解答】 解：（ 1）第四组的人数为 1（ 10 50=16， 中位数为 40+ 10 （ 2）据题意，第一组有 10 50=2 人，第五组有 10 50=4 人， 记第一组成绩为 A， B，第五组成绩为 a， b， c， d， 则可能构成的基本事件有（ A， a），（ A， b），（ A， c），（ A， d），（ B， a），（ B， b），（ B， c），（ B， d），（ A， B），（ a， b），（ a， c），（ a， d），（ b， c），（ b， d），（ c， d）共 15 种， 其中至少有一名是第一组的有（ A， a），（ A， b），（ A， c），（ A， d），（ B， a），（ B， b），（ B，c），（ B， d），（ A， B），共 9 种， 概率 17设 各项不相等的等差数列 前 n 项和，已知 （ 1）求数列 项公式； （ 2）设 数列 的前 n 项和，求 的最大值 【考点】 数列的求和；数列递推式 【分析】 （ 1）通过设 公差为 d，利用 联立方程组，进而可求出首项和公差，进而可得结论 （ 2）通过（ 1）裂项、并项相加可知 ，利用基本不等式即得结论 【解答】 解：（ 1）设 公差为 d， ， 第 13 页（共 18 页） ， 解得 （舍去）或 ， +（ n 1） 1=n+1； （ 2） ， = = = ， ， 当且仅当 ，即 n=2 时 “=”成立， 即当 n=2 时， 取得最大值 18已知在 ，角 A， B， C 所对的边长分别为 a， b， c 且满足 b= （ 1）求 A 的大小； （ 2）若 ， ， = ，求 长 【考点】 正弦定理；余弦定理 【分析】 （ 1）利用正弦定理将边化角，结合两角和的正弦公式得出 （ 2）在 ，使用正弦定理求出 出 在 使用余弦定理求出 【解答】 解：（ 1）在 ， b=， 又 A+C） = 0， （ 2） ， = ， 第 14 页（共 18 页） A+B） = 在 ，由正弦定理得 ，即 ， 解得 = ， 在 ，由余弦定理得 2+25 2 =20 19已知在直三棱柱 ，底面是边长为 2 的正三角形，侧棱 长为 ，P、 Q 分别是 的点，且 图 （ 1）设面 面 交于 l，求证： l （ 2）若平面 面 确定 P 点的位置，并证明你的结论 【考点】 平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定 【分析】 （ 1）利用线面平行的性质证明 l （ 2）作 中点 M， 中点 N，连接 用线面垂直的判定证明可平面 面 用余弦定理确定 P 点的位置 【解答】 （ 1）证明： 面 面 l， l， l （ 2）解： P 为 中点时，平面 面 明如下： 作 中点 M， 中点 N，连接 Q，进而 1P， 平面 面 面 Q， 面 直角三角形 连接 延长交 G，显然 G 是 中点， 设 AP=x，则 x，则由 ，可 ，解得 ， 在 ， 同理 ， 第 15 页（共 18 页） 在 ， 在 ， ， 即 ， 解得 x=1，即 ，此时 P 为 中点 20已知椭圆 E： + =1（ a b c）的离心率为 ，过焦点且垂直于 x 轴的直线被椭圆 E 截得的线段长为 2 （ 1）求椭圆 E 的方程； （ 2）直线 y= 与椭圆 E 交于 A， B 两 点，以 直径的圆与 y 轴正半轴交于点 C是否存在实数 k，使得 y 轴恰好平分 存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ 1）由椭圆的离心率为 ，过焦点且垂直于 x 轴的直线被椭圆 E 截得的线段长为2，求出 a， b，由此能求出椭圆 E 的方程 （ 2）依题意直线 斜率为 ，直线 斜率为 1，联立 ，得（ 1+22=0，由此利用韦达 定理、弦长公式，结合已知条件能求出存在满足条件的 k 值 【解答】 解：（ 1）设焦点 F（ c， 0），则 ，从而 由题意有 ，即 ， 解得 ，又 a2=b2+是 2+ 解得 ， ， 椭圆 E 的