2016年四川省绵阳市高考数学三诊试卷（理科）含答案解析

第 1 页（共 20 页） 2016 年四川省绵阳市高考数学三诊试卷（理科） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分 . 1已知 i 为虚数单位，复数 z 满足 z（ 1+i） =i，则复数 z 所对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2已知 U=x|y= ， M=y|y=2x， x 1，则 ） A 1， 2） B（ 0， +） C 2， +） D（ 0， 1 3执行如图所示程序框图，则输出的 n 为（ ） A 4 B 6 C 7 D 8 4 “ x 0，使 a+x b”是 “a b”成立的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5已知 x 1， 1， y 0， 2，则点 P（ x， y）落在区域 内的概率为（ ） A B C D 6甲、乙、丙、丁和戊 5 名同学进行数学应用知识比赛，决出第 1 名至第 5 名（没有重复名次）已知甲、乙均未得到第 1 名，且乙不是最后一名，则 5 人的名次排列情况可能有（ ） A 27 种 B 48 种 C 54 种 D 72 种 7若函数 f（ x）同时满足以下三个性质； f（ x）的最小正周期为 ； 对任意的 x R，都有 f（ x ） =f（ x）； f（ x）在（ ， ）上是减函数则 f（ x）的解析式可能是（ ） A f（ x） =x+ ） B f（ x） = f（ x） = f（ x） =在长方体 ， C= P、 Q 分别是棱 的动点，如图当 长度取 得最小值时，二面角 余弦值的取值范围为（ ） 第 2 页（共 20 页） A 0， B 0， C ， D ， 1 9设 M， N 是抛物线 x 上分别位于 x 轴两侧的两个动 点，且 =0，过点 A（ 4， 0）作 垂线与抛物线交于点 P、 Q 两点，则四边形 积的最小值为（ ） A 80 B 100 C 120 D 160 10该试题已被管理员删除 二、填空题：本大题共 5 个小题，每小题 5 分，共 25 分 . 11已知向量 =（ t， 1）与 =（ 4， t）共线且方 向相同，则实数 t=_ 12若 的展开式中各项系数之和为 64，则展开式的常数项为 _ 13某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为 200 元，每桶水的进价是 5 元，销售单价与日均销售量的关系如下表所示 销售单价 /元 6 7 8 9 10 11 12 日均销售量 /桶 480 440 400 360 320 280 240 请根据以上数据分析，这个经营部定价在 _元 /桶才能获得最大利润 14在平面直角坐标系 ，点 A（ 0， 1）， B（ 0， 4）若直线 2x y+m=0 上存在点 P，使得 实数 m 的取值范围是 _ 15已知函数 f（ x） = ，其中常数 a 0，给出下列结论： f（ x）是 R 上的奇函数； 当 a 4 时， f（ x f（ x）对任意的 x R 恒成立； f（ x）的图象关于 x=a 和 x= a 对称； 若对 （ ， 2）， （ ， 1），使得 f（ f（ =1，则 a （ ， 1） 其中正确的结论有 _（写出所有正确结论的序号） 三、解答题：本大题共 6 个小题，共 75 分 . 16体育课上，李老师对初三（ 1）班 50 名学生进行跳绳测试现测得他们的成绩（单位：个）全部介于 20 到 70 之间，将这些成绩数据进行分组（第一组：（ 20， 30，第二组：（ 30，40， ，第五组：（ 60， 70），并绘制成如图所示的频率分布直方图 （ ）求成绩在第四组的人数和这 50 名同学跳绳成绩的中位数； （ ）从成绩在第一组 和第五组的同学中随机抽出 3 名同学进行搭档训练，设取自第一组的人数为 ，求 的分布列及数学期望 第 3 页（共 20 页） 17已知在 ，角 A， B， C 所对的边长分别为 a， b， c 且满足 b= （ 1）求 A 的大小； （ 2）若 ， ， = ，求 长 18已知各项均为正数 的数列 前 n 项和为 足 ） 2（ n N*） （ I）求数列 通项公式； （ 数列 的前 n 项和，若 对 n N*恒成立，求实数 的最小值 19如图，图 为图 空间图形的主视图和侧视图，其中侧视图为正方形在图 中，设平面 平面 交于直线 l （ I）求证： l 平面 （ 图 中，线段 是否存在点 M，使得直线 平面 成的角的正弦值等于 ？若存在，求出点 M 的位置；若不存在，请说明理由 20已知椭圆 E： + =1（ a b 0）的离心率为 ，过焦点且垂直于 x 轴的直线被椭圆 E 截得的线段长为 2 （ ）求椭圆 E 的方程； （ ）直线 y= 与椭 圆 E 交于 A， B 两点，以 直径的圆与 y 轴正半轴交于点 C是否存在实数 k，使得 内切圆的圆心在 y 轴上？若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由 21设函数 g（ x） =f（ x） =gx+（ 1 ） a g（ x），其中 a， 是正常数，且 0 1 （ ）求函数 f（ x）的最值； 第 4 页（共 20 页） （ ）对于任意的正数 m，是否存在正数 不等式 | 1| m 成立？并说明理由； （ ）设 1 0， 2 0，且 1+2=1，证明：对于任意正数 有 12 第 5 页（共 20 页） 2016 年四川省绵阳市高考数学三诊试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分 . 1已知 i 为虚数单位，复数 z 满足 z（ 1+i） =i，则复数 z 所对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【考点】 复数的代数表示法及其几何意义 【分析】 利用复数的运算法则、几何意义即可得出 【解答】 解： z（ 1+i） =i， z（ 1+i）（ 1 i） =i（ 1 i）， z= ， 则复数 z 所对应的点 在第一象限 故选： A 2已知 U=x|y= ， M=y|y=2x， x 1，则 ） A 1， 2） B（ 0， +） C 2， +） D（ 0， 1 【考点】 补集及其运算 【分析】 分别求出关于 U， M 的范围，从而求出 M 的补集即可 【解答】 解： U=x|y= =x|x 1， M=y|y=2x， x 1=y|y 2， 则 1， 2）， 故选： A 3执行如图所示程序框图，则输出的 n 为（ ） A 4 B 6 C 7 D 8 【考点】 程序框图 【分析】 模拟程序框图的运行过程，依次写出每次循环得到的 S， n 的值，当 S=3 时，满足条件 S 3，退出循环，输出 n 的值为 8 第 6 页（共 20 页） 【解答】 解：模拟执行程序，可得 S=0， n=1 执行循环体后， S=1， n=2 不满足条件 S 3，执行循环体后， S= n=3 不满足条件 S 3，执行循环体后， S=2， n=4 不满足条件 S 3，执行循环体后， S= n=5 不满足条件 S 3，执行循环体后， S= n=6 不满足条件 S 3，执行循环体后， S= n=7 不满足条件 S 3，执行循环体后， S=3， n=8 此时，满足条件 S 3，退出循环，输出 n 的值为 8 故选： D 4 “ x 0，使 a+x b”是 “a b”成立的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 由于 “ x 0，使 a+x b”与 “a b”成立等价，即可判断出关系 【解答】 解： “ x 0，使 a+x b”“a b”， “ x 0，使 a+x b”是 “a b”成立的充要条件 故选： C 5已知 x 1， 1， y 0， 2，则点 P（ x， y）落在区域 内的概率为（ ） A B C D 【考点】 几何概型 【分析】 本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出点 P（ x， y）对应图形的面积，及满足条件 “ 内 ”的点对应的图形的面积，然后再结合几何概型的计算公式进行求解 【解答】 解：不等式组表示的区域如图所示， 阴影部分的面积为 ， 则所求概率为 第 7 页（共 20 页） 故选 B 6甲、乙、丙、丁和戊 5 名同学进行数学应用知识比赛，决出第 1 名至第 5 名（没有重复名次）已知甲、乙均未得到第 1 名，且乙不是最后一名，则 5 人的名次排列情况可能有（ ） A 27 种 B 48 种 C 54 种 D 72 种 【考点】 计数原理的应用 【分析】 由题意可知，第一名从丙、丁和戊中产生，最后一名从甲和（丙、丁和戊其中 2名）产生，其它名次任意排，根据分步计数原理可得 【解答】 解：由题意可知，第一名从丙、丁和戊中产生，最后一名从甲和（丙、丁和戊其中2 名）产生，其它名次任意排，故有 4 种， 故选： C 7若函数 f（ x）同时满足以下三个性质； f（ x）的最小正周期为 ； 对任意的 x R，都有 f（ x ） =f（ x）； f（ x）在（ ， ）上是减函数则 f（ x）的解析式可能是（ ） A f（ x） =x+ ） B f（ x） = f（ x） = f（ x） =考点】 正弦函数的图象 【分析】 由三角函数的图象和性质，结合题意的三个性质，逐个排查即可 【解答】 解：根据题意，函数应满足 ： f（ x）的最小正周期为 ； 对任意的 x R，都有 f（ x ） +f（ x） =0， 用 x+ 替换式中的 x 可得 f（ x ） +f（ x ） =0， 即函数的图象关于点（ ， 0）对称； f（ x）在（ ， ）上是减函数； 对于 A， f（ x） =x+ ）的周期为 T=2，不符合 ，故不满足题意； 对于 B， f（ x） =2x ），不符合 ，故不满足题意； 对于 C， f（ x） =符合 ，故不满足题意； 对于 D， f（ x） =2x+ ），符合 ，满足题意 第 8 页（共 20 页） 故选： D 8在长方体 ， C= P、 Q 分别是棱 的动点，如图当 长度取得最小值时，二面角 余弦值的取值范围为（ ） A 0， B 0， C ， D ， 1 【考点】 二面角的平面角及求法 【分析】 根据 长度取得最小值时，利用函数数学求出 Q 是 中点，建立坐标系求出平面的法向量，利 用向量法结合函数的单调性进行求解即可 【解答】 解：设 ，则 C= ， 设 CQ=x，则 x， 则 = ， = ， 则 + = + ， 设 M（ x， 0）， N（ 0， ）， K（ 1， ）， 则 + = + 的几何意义是 |距离， 则当三点 M， N， K 共线时， 长度取得最小值， 此时 得 x= ，即 Q 是 中点， 建立以 坐标原点， 别为 x， y， z 轴的空间直角坐标系如图： 则 Q（ 0， ， ）， ， ， 0），设 P（ 0， t， 1）， 0 t 则 =（ ， 0， ）， =（ ， t ， 1）， 则平面 法向量为 =（ 1， 0， 0）， 设平面 法向量为 =（ x， y， z）， 当 t= 时，二面角 为直二面角，此时二面角 余弦值为 0， 当 0 t 时， 由 ，则 ， 即 ，令 x= ，则 y= ， z=4， 第 9 页（共 20 页） 即 =（ ， ， 4）， 设面角 余弦值 则 = = ， 0 t ， 为减函数， 则当 t=0 时，函数取得最大值 = ， 故二面角 余弦值的取值范围为 0， ， 故选： B 9设 M， N 是抛物线 x 上分别位于 x 轴两侧的两个动点，且 =0，过点 A（ 4， 0）作 垂线与抛物线交于点 P、 Q 两点，则四边形 积的最小值为（ ） A 80 B 100 C 120 D 160 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 设直线 方程为 x=my+t，代入抛物线方程，利用韦达定理，结合 =0，可求 t 的值，即可求出 |于 m 的表达式，同理求出 |于 m 的表达式，于是 S=|利用换元法求出 S 的最小值 【解答】 解：设直线 程为 x=my+t， 联立方程组 ，消元得： 44t=0， 设 M（ ， N（ ， 则 y1+m， 4t =0， +，即 （舍）或 16 第 10 页（共 20 页） | = 过点 A（ 4， 0）， 直线 方程为 x= 联立方程组 ，消元得： 16=0 设 P（ Q（ 则 y3+ ， 16 | = 四边形 积 S= | =8=8 ， 令 =t，则 t 2， S=8 =8 S（ t）在 2， +）上是增函数， 当 t=2 时， S 取得最小值 8 =80 故选： A 10该试题已被管理员删除 第 11 页（共 20 页） 二、填空题：本大题共 5 个小题，每小题 5 分，共 25 分 . 11已知向量 =（ t， 1）与 =（ 4， t）共线且方向相同，则实数 t= 2 【考点】 平面向量共线（平行）的坐标表示 【分析】 利用向量共线的坐标表示列式求得 t 值，结合向量同向进行取舍得答案 【解答】 解： =（ t， 1） =（ 4， t）， 与 共线， 4=0，解得 t= 2 又 与 同向， t=2 故答案为： 2 12若 的展开式中各项系数之和为 64，则展开式的常数项为 540 【考点】 二项式系数的性质 【分析】 依据二项式系数和为 2n，列出方程求出 n，利用二项展开式的通项公式求出常数项 【解答】 解：若 的展开式中各项系数之和为 2n=64， 解得 n=6， 则展开式的常数项为 = 540， 故答案为： 540 13某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为 200 元，每桶水的进价是 5 元，销售单价与日均销售量的关系如下表所示 销售单价 /元 6 7 8 9 10 11 12 日均销售量 /桶 480 440 400 360 320 280 240 请根据以上数据分析，这个经营部定价在 /桶才能获得最大利润 【 考点】 函数的最值及其几何意义 【分析】 通过表格可知销售单价每增加 1 元、日均销售量减少 40 桶，进而列出表达式，利用二次函数的简单性质即得结论 【解答】 解：设每桶水的价格为（ 6+x）元，公司日利润 y 元， 则： y=（ 6+x 5） 200， = 4040x+280（ 0 x 13）， 40 0， 当 x= =函数 y 有最大值， 因此，每桶水的价格为 ，公司日利润最大， 故答案为： 14在平面直角坐标系 ，点 A（ 0， 1）， B（ 0， 4）若直线 2x y+m=0 上存在点 P，使得 实数 m 的取值范围是 2 m2 【考点】 两点间距离公式的应用 第 12 页（共 20 页） 【分析】 根据题意，设出点 P（ x， 2x+m），代入 简得 5mx+4=0，由 =164 5（ 4） 0，求出实数 m 的取值范围 【解答】 解：设 P（ x， 2x+m）， 4|=|， 4（ 2x+m 1） 2= 2x+m 4） 2， 化简得 5mx+4=0， 则 =164 5（ 4） 0， 解得 2 m 2 ， 即实数 m 的取值范围是 2 m 2 故答案为： 15已知函数 f（ x） = ，其中常数 a 0，给出下列结论： f（ x）是 R 上的奇函数； 当 a 4 时， f（ x f（ x）对任意的 x R 恒成立； f（ x）的图象关于 x=a 和 x= a 对称； 若对 （ ， 2）， （ ， 1），使得 f（ f（ =1，则 a （ ， 1） 其中正确的结论有 （写出所有正确结论的序号） 【考点】 分段函数的应用 【分析】 利用奇函数的定义进行判断； 函数在（ ， a），（ a， +）上单调递减，在（ a， a）上单调递增，即可判断； f（ x）是 R 上的奇函数， f（ x）的图象关于 x=0 对称，故不正确； 取 a=1，得出 f（ f（ =1 不恒成立 【解答】 解： 设 x 0，则 x 0， f（ x） =|x+a| a， f（ x） =a | a x|=a |x+a|= f（ x）， 同理，设 x 0，则 x 0， f（ x） =a |x+a|， f（ x） =| x+a| a=|x a| a= f（ x）， f（ x） = f（ x）， f（ x）是 R 上的奇函数，正确； 函数在（ ， a），（ a， +）上单调递减，在（ a， a）上单调递增， 当 a 4 时，f（ x f（ x）对任意的 x R 恒成立，不正确； f（ x）是 R 上的奇函数， f（ x）的图象关于 x=0 对称，故不正确； 取 a=1， （ ， 2）， f（ （ 0， +）， （ ， 1）， f（ （ 1，+）， f（ f（ =1 不恒成立，故不正确 故答案 为： 三、解答题：本大题共 6 个小题，共 75 分 . 16体育课上，李老师对初三（ 1）班 50 名学生进行跳绳测试现测得他们的成绩（单位：个）全部介于 20 到 70 之间，将这些成绩数据进行分组（第一组：（ 20， 30，第二组：（ 30，40， ，第五组：（ 60， 70），并绘制成如图所示的频率分布直方图 （ ）求成绩在第四组的人数和这 50 名同学跳绳成绩的中位数； 第 13 页（共 20 页） （ ）从成绩在第一组和第五组的同学中随机抽出 3 名同学进行搭档训练，设取自第一组的人数为 ，求 的分布列及数学期望 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列 【分析】 （ I）由频率分布直方图先求出第四组的频率，由此能求出第四组的人数；利用频率分布直方图的性质能求出中位数 （ 求出第一组有 2 人，第五组有 4 人，成绩在第一组和第五组的同学中随机抽出 3 名同学进行搭档训练，设取自第一组的人数为 ，则 =0， 1， 2，分别求出相应的概率，由此能求出 的分布列及 E（ ） 【解答】 解：（ I）由频率分布直方图得第四组的频率为： 1（ 10= 第四组的人数为 50=16 人， 前 2 组的频率为（ 10= 第三组的频率为 10= 设中位数为 x，则 x=40+ = 中位数为 （ 题意，第一组有 10 50=2 人，第五组有 10 50=4 人， 成绩在第一组和第五组的同学中随机抽出 3 名同学进行搭档训练，设取自第一组的人数为 ， 则 =0， 1， 2， P（ =0） = = ， P（ =1） = = ， P（ =2） = = ， 的分布列为： 0 1 2 P E（ ） = =1 第 14 页（共 20 页） 17已知在 ，角 A， B， C 所对的边长分别为 a， b， c 且满足 b= （ 1）求 A 的大小； （ 2）若 ， ， = ，求 长 【考点】 正弦定理； 余弦定理 【分析】 （ 1）利用正弦定理将边化角，结合两角和的正弦公式得出 （ 2）在 ，使用正弦定理求出 出 在 使用余弦定理求出 【解答】 解：（ 1）在 ， b=， 又 A+C） = 0， （ 2） ， = ， A+B） = 在 ，由正弦定理得 ，即 ， 解得 = ， 在 ，由余弦定理得 2+25 2 =20 18已知各项均为正数的数列 前 n 项和为 足 ） 2（ n N*） （ I）求数列 通项公式； （ 数列 的前 n 项和，若 对 n N*恒成立，求实数 的最小值 【考点】 数列的求和；数列递推式 【分析】 （ ）当 n=1 时，求得 ） 2（ n N*）化简求得 1=2，数列以 1 为首项， 2 为公差的等差数列 ，求得通项公式； （ ） ，求出前 n 项和，比较 ，判断其单调性，求出 的最小值 【解答】 （ I）当 n=1 时， ，解得 ， 第 15 页（共 20 页） 当 n 2 时， ， 整理得（ an+1）（ 1 2） =0 0， an+1 0 1=2， 数列 以 1 为首项， 2 为公差的等差数列， n 1 （ ， ； 由题意得 对 n N*恒成立， 令 ，则 ， 即 n N*恒成立， 即数列 单调递减数列，最大值为 ， ，即 的最小值为 19如图，图 为图 空间图形的主视图和侧视图，其中侧视图为正方形在图 中，设平面 平面 交于直线 l （ I）求证： l 平面 （ 图 中，线段 是否存在点 M，使得直线 平面 成的角的正弦值等于 ？若存在，求出点 M 的位置；若不存在，请说明理由 【考点】 直线与平面所成的角；直线 与平面垂直的判定 【分析】 （ I）根据主视图和侧视图可得 而 平面 据平面 得 l，故 l 平面 （ 以 D 为原点，以 坐标轴建立如图所示空间直角坐标系，设 M（ 0，0， m），求出平面 法向量 和 的坐标令 |， |= 解出 m，即可判断M 的位置 第 16 页（共 20 页） 【解答】 证明：（ I）由侧视图可知四边形 正方形， 又 面 面 l， l， 由主视图可知， 侧视图可知 面 面 D=D， 面 l 面 （ D 为原点，以 坐标轴建立如图所示空间直角坐标 系， 则 A（ 1， 0， 0）、 B（ 1， 1， 0）、 C（ 0， 2， 0）、 E（ 0， 0， 1）、 F（ 1， 0， 1） 设 M（ 0， 0， m）（ 0 m 1）， 则 ， 设平面 一个法向量为 =（ x， y， z），则 ， =0， ，令 z=1，得 =2 m， | |= ， | |= = = = ， 解得 或 m=6（舍） 当 M 为 靠近 E 的三等分点时直线 平面 成的角的正弦值等于 20已知椭圆 E： + =1（ a b 0）的离心率为 ，过焦点且垂直于 x 轴的直线被椭圆 E 截得的线段长为 2 （ ）求椭圆 E 的方程； （ ）直线 y= 与椭圆 E 交于 A， B 两点，以 直径的圆与 y 轴正半轴交于点 C是否存在实数 k，使得 内切圆的圆心在 y 轴上？若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由 第 17 页（共 20 页） 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ ）由椭圆 E： + =1（ a b 0）的离心率为 ，过焦点且垂直于 x 轴的直线被椭圆 E 截得的线段长为 2，求出 a， b，由此能求出椭圆方程 （ ）依题意知 A（ B（ C（ 0， 则 =1，= 1，设 A（ B（ C（ 0， 则 =1， = 1，由此能求出存在满足条件的 k 值 【解答】 解：（ ）设焦点 F（ c， 0）， 椭圆 E： + =1（ a b 0）的离心率为 ， ， 过焦点且垂直于 x 轴的直线被椭圆 E 截得的线段长为 2， =1， a2=b2+ ， ， 椭圆 E 的方程为 =1 （ ）依题意知 5， 于是直线 斜率 ，直线 斜率 1 设 A