三角函数及恒等变换

第三章 三角函数及恒等变换【考纲要求】（1）理解任意角的概念、弧度的意义。能正确地进行弧度与角度的换算。 （2）理解任意角的正弦、余弦、正切的定义。了解余切、正割、余割的定义，掌握同角三角函数的基本关系式。掌握正弦、余弦的诱导公式。了解周期函数与最小正周期的意义。 （3）掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式。掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。 （4）能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明。（5）理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin（x+）的简图，理解A、的物理意义。（6）会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsin x、arccos x、arctanx表示。 3.1任意角、弧度制与任意角的三角函数【教学目标】知识与能力：1理解任意角的概念、弧度的意义，掌握终边相同的角、象限角、区间角；（A、B、C层）；2弧度制、弧长公式，扇形面积公式，弧度制与角度制的相互转化；(B、C层）；3、任意角三角函数的定义、值的符号规律，并会利用与单位圆有关的三角函数线表示正弦、余弦和正切；（A、B层）。过程与方法：通过分层学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角；并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义, 单位圆有关的三角函数线表示正弦、余弦和正切度情感态度与价值观：数形结合思想、运动变化观点都是学习本课内容的重要思想方法【教学重点】理解“任意角、弧度制、象限角、终边相同的角”的含义【教学难点】掌握终边相同的角、象限角、区间角及单位圆有关的三角函数线表示正弦、余弦和正切。【基础练习】1、 则（ ）.A、锐角 B、小于90 C、第一象限的角D、以上都不对2、下列各命题中，真命题是（ ）.A、1弧度是1度的圆心角所对的孤； B、1弧度是长度为半径的孤；C、1弧度是1度的弧与1度的角之和；D、1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位.3、（1）终边在轴上的角的集合是 ；轴上的角的集合是 （A、B层）（2）在，与终边相同的角是 ；它在第 象限.4、把下列各弧度化为角度，角度化为弧度：= ；= ；= ；= ；= ；= .5、若角的终边过点，则= ；= ；= _ .（A、B层）【考点题型分析】例1、设是第二象限角，且，则是（ ）（A、B层）A、第一象限角 B、第二象限角 C、第三象限角 D、第四象限角（类似题：如果是第二象限角，且满足，则是第 象限角。（C层）例2、已知角的终边上的一点，且，求，的值.（A、B层）, 已知角的终边上的一点，求，的值. （C层）例3、如右图，在扇形中，弧AB的长为，求此扇形内切圆的面积.【巩固练习】1、若，则的范围是（ ）A、 B、 C、 D、2、（04浙江）“”是“”的（ ）. A、充分而不必要条件B、必要而不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件3、若A、B是锐角三角形ABC的两个内角，则在（ ）.A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限4、（A、B层）的值组成的集合为 .5、1弧度的圆心角所对弦长为2，求此圆心角所夹的扇形的面积6、（07北京理1）已知，那么角是（）第一或第二象限角第二或第三象限角第三或第四象限角第一或第四象限角7、要在半径为的圆形金属板上截取一块扇形板，使其弧AB的长为112，则圆心角= 度. 8、把下列各弧度化为角度，角度化为弧度：= ；= ；= .9、已知点在第一象限内，则在内，的取值范围为( ).A、 B、C、 D、【提高练习】（A层做、BC层选做）10、（A层）已知，则的值为 .11、已知集合，则= .12、已知，求的值.13、（A、B层）已知角的终边上一点的坐标是，求的值.14、（A层）选做题：已知，求3.2同角三角函数的基本关系及诱导公式【教学目标】知识与能力：1掌握同角三角函数的基本关系式进行三角式的化简和证明；熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法。；2理解、掌握公式的内涵及结构特征，会运用诱导公式求三角函数的值，并进行简单三角函数式的化简和证明；过程与方法：讲练结合、讨论等方法，同时利用提示等方法为BC层学生降低难度情感态度与价值观：训练三角变形的能力，进一步树立化归思想方法。【教学重点】同角三角函数的基本关系式，诱导公式求三角函数的值【教学难点】三角函数值的符号的确定，诱导公式应用。【基础练习】1、（ ）.2、（AB层）则的值为（ ）3、若则（ ）4、（C层）已知，则 的值是（ ）.【考点题型分析】1、求下列式子的值:. 小结：方法及步骤：求值003600间角的三角函数任意正角的三角函数任意负角的三角函数00900间角的三角函数 2、（AB层）(1) 化简：（C层）(2) 求证：3、（05福建）已知 （1）求的值； （2）求的值. （AB层）【巩固练习】1、（07湖北文1）的值为（）2、（ ）.3、已知 ，则（ ）. （AB层）4、若角的终边落在直线上，则（ ）（AB层）.5、（07全国卷1理1）是第四象限角，则（ ）ABCD6、设，则的值为（ ）（AB层）.7、已知 且 ，则_.8、（A层）若，则_.9、（C层）化简：【提高练习】（A层做、BC层选做）12、若，则的值是（ ）. （A层）3.3三角函数的图象与性质【教学目标】知识与能力：11、使学生学会用“五点法”作正弦函数、余弦函数的图象；2掌握正、余弦函数的周期；3、掌握正、余弦函数的奇偶性，对称性和单调性。过程与方法：讲练结合、讨论等方法，同时利用提示等方法为BC层学生降低难度情感态度与价值观：通过组织学生观察、验证与归纳，培养学生的解决三角函数的图象与性质的数学能力。【教学重点】理解三角函数的图象与求奇偶性和单调性等性质【教学难点】掌握正、余弦函数的对称性和单调性。【知识要点】三角函数的图象与性质函数图象定义域RR值域RR最大值最小值当_ 时，1；当_ 时，1；无无当_ 时，.当_ 时，.奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数周期性有界性有界有界无界无界单调性在 上都是增函数；在 上都是增函数；在上都是增函数.在 上都是减函数.在 上都是减函数.在 上都是减函数.对称性轴无无中心【基础练习】一、基础知识：1、若是偶函数，则的一个值为（ ）.A、 B、 C、 D、2、（AB层）（07全国卷2理2）函数的一个单调增区间是（ ）.ABCD3、（07福建理5）已知函数的最小正周期为，则该函数的图象（ ）.A关于点对称B关于直线对称C关于点对称D关于直线对称4、函数的定义域为 .5、函数的单调递增区间为 ，递减区间为 ；（AB层）函数的单调递增区间为 ，递减区间为 ；（A层）函数的单调递增区间为 ，递减区间为 .【考点题型分析】例2、（06广东）已知函数（1）求的最小正周期；（2）求的最大值和最小值；（3）若，求的值. （AB层）例3、 (05南昌)已知 （1）当时，求的单调递减区间； （2）当时，的最大值为6，求的值（AB层）【巩固练习】1、（07北京文3）函数的最小正周期是（）2、（07广东理3）若函数，则是（D ）A最小正周期为的奇函数B最小正周期为的奇函数C最小正周期为的偶函数D最小正周期为的偶函数3、函数的图像是关于点中心对称的充要条件是（ ）A、 B、C、 D4、判断下列函数的奇偶性： ；_； _5、给出五个命题；是奇函数；若是偶函数，则；当时，取得最大值；的值域是，点是的图像的一个对称中心。其中正确命题的序号是 .6、函数 的单调增区间是（ ）. 7、（AB层）三个数的大小关系是 ；【提高练习】（A层做、BC层选做）8、（A层）已知函数 （1）求的最小正周期； （2）若，求的最小值和最大值3.4三角函数的图象变换【教学目标】知识与能力：1了解三角函数图像各种变换的实质和内在规律。；2能进行对称变换、平移变换函数的图象；3、能进行向量的线性运算。过程与方法：讲练结合、讨论等方法，同时利用提示等方法为BC层学生降低难度情感态度与价值观：渗透化归等基本数学思想方法，培养事物之间存在普通联系的哲学观点。【教学重点】能进行对称变换、平移变换【教学难点】各种变换内在联系的揭示。【基础练习】一、基础知识：1、在下面给出的函数中，在上是增函数，又以为周期的偶函数是（ ）.A、 B、 C、 D、2、函数的振幅为 ；周期为 ；频率为 ；初相是 .3、（B层）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（ ）. 4、(A层)已知函数的图象过点，则可以是（ ）.A、 B、 C、 D、【考点题型分析】例1、已知函数在一个周期内的图象如图所示，求其解析式.例2、（05全国）设函数的图象的一条对称轴是直线 .（1）求； （2）求函数的单调增区间； （3）画出函数在区间上的图象. (A、B层)例3、已知函数的图象在轴的截距为1，它在轴右侧的第1个最大值点和最小值点分别为和（1）求的解析式；（2）将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），然后再将所得图象向轴正方向平移个单位，得到函数的图象。写出的解析式并作出一个周期内的图象。(A层)【巩固练习】1、（(A层)）已知简谐运动的图象经过点，则该简谐运动的最小正周期和初相分别为（），2、（07海南、宁夏理3）函数在区间的简图是（）3、（05广东）函数是（ ）.4、（05天津）为了得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点（ ）即可. 5、(A层)将的图象按向量平移，则平移后所得图象的解析式为（）6、若的图像如图，则和的取值是（ ）.A、， B、，C、， D、，7、(A层)要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）.A向右平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向左平移个单位8、把函数的图象上各点向右平移个单位，再把横坐标缩小到原来的一半，纵坐标扩大到原来的5倍，最后再把整个图象向下平移4个单位，则所得图象的函数解析式为 .8、函数的定义域是 ；值域是 .9、(A、B层)函数的图象为，如下结论中正确的是_（写出所有正确结论的编号）图象关于直线对称；图象关于点对称；函数在区间内是增函数；由的图角向右平移个单位长度可以得到图象10、(1)已知在同一周期内，当时，当时，则这个函数的解析式为 .(2)已知函数的最小正周期为，最小值为，图像过点，求该函数的解析式.【提高练习】（A层做、BC层选做）11、(A层)下面有五个命题：函数y=sin4x-cos4x的最小正周期是.终边在y轴上的角的集合是a|a=|.在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点.把函数函数其中真命题的序号是 _ （写出所有真命题的序号）.12、(A、B层)若函数对任意都有（1）求的值；（2）求的最小正值；（3）当取最小正值时，若求的最大值和最小值3.5两角和与差的三角函数及倍角公式【教学目标】知识与能力；1熟记诱导公式，二倍角公式；2会运用诱导公式求三角函数的值，；3、能进行简单三角函数式的化简和证明。过程与方法：讲练结合、讨论等方法，同时利用提示等方法为BC层学生降低难度情感态度与价值观：体会事物变化中“万变不离其宗”的道理【教学重点】诱导公式，二倍角的理解及其灵活运用；【教学难点】能正确使用诱导公式，二倍角公式。【知识要点】（一）两角和与差的三角函数公式：1、两角和与差公式：（1）两角与差的正弦：（2）两角与差的余弦：（3）两角与差的正切：2、变形公式：常见角的变换： 3、辅助角公式： （二）二倍角的正弦、余弦、正切公式：1、二倍角的正弦公式：2、二倍角的余弦公式：3、二倍角的正切公式：4、公式的逆向变换及有关变形： （1） （2）升幂公式： （3）降幂公式：【基础练习】1、（07重庆文6）下列各式中，值为的是（ ）ABCD2、化简：（1）_；（2）_；(3)（04重庆）_.3、函数的最小正周期为_.4、（A层）设，若，则（ ）. 【考点题型分析】例1、（1）把化成的形式. （2）求的值.例2、（04天津）已知. （1）求的值； （2）求的值. （A、B层）例3、（07四川理17）已知,()求的值.（）求.（A层）【巩固练习】1、已知，则的值为（ ）ABCD2、（A、B层）若，则的值为（ ）3、=（ ）. 4、已知，则的值为（ ）.5、设，则（ ）. 6、（A、B层）若 ，则（ ）.【提高练习】（A层做、BC层选做）7、已知 均为锐角，则_.3.6简单的三角恒等变换【教学目标】知识与能力：1掌握和、差、二倍角公式，根据问题的条件灵活进行公式变形；2会选择恰当的公式，根据问题的条件进行公式变形，；3、能进行简单三角函数式的化简和证明。过程与方法：讲练结合、讨论等方法，利用提示等方法为BC层学生降低难度情感态度与价值观：通过三角变换加强学生对换元、逆向思维等思想方法的认识。【教学重点】三角问题的化归，化简、求值；【教学难点】选择恰当的公式。【知识要点】1、三角问题的核心是化归，化简、求值和函数性质是知道方向的化归，证明题是知道结果的化归。化归途径是四个变形方向，化归的目标有两个：化为一项或化为一个弦函数。2、解三角题的关键是从角入手，挖掘角的范围，明确化为何种角，掌握拆角技巧。3、化简三角代数式、证明三角恒等式的常规思路：（1）四个变形方向：减少不同角（化为相同角、化为最小正角、化为锐角、化为特殊角）；减少项（化繁为简、左右归一、和差化积）；减少不同名函数（化切为弦）；减少不同次数（降次）。（2）优先使用一举两得（即一次实现两个变形方向）的公式。4、求三角函数值：（1）给角求三角函数值：任意角最小正角锐角求值(即：负化正，大化小，化到锐角再