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文档简介

“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,割圆术：,刘徽,1、概念的引入,S=,第二章极限与连续,第一节、数列的极限,正六边形的面积,正十二边形的面积,正形的面积,截丈问题：,“一尺之棰，日截其半，万世不竭”,例如,2、数列的定义,数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取点:,数列是整标函数,数列的几何意义.,子列的概念:,n=19,n=32,n=42,n=50,3、数列的极限,问题:,1)当n无限增大时,数列xn是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何用数学语言描述?,2)“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.,随着n的增加，1/n会越来越小。,我们可用两个数之间的距离来刻化两个数的接近程度,只要n无限增大，xn就会与1无限靠近。,引入符号N和来刻化无限增大和无限接近。,如果数列没有极限,就说数列是发散的.,注:,几何解释:,其中,数列极限的定义未给出求极限的方法，我们可以用定义来证明极限的存在。,例1,证,例2,证,注:用定义证明数列极限存在时,关键是从主要不等式出发,由0,找到使主要不等式成立的N(并不在乎N是否最小).,1.有界性,例如,有界；,无界。,二、收敛数列的性质,数列xn有上界,即存在M,使xnM(n=1,2,)。,数列xn有下界,即存在m,使xnm(n=1,2,)。,定理1收敛的数列必定有界.,证,由定义,有界性是数列收敛的必要条件.,2.唯一性,定理2每个收敛的数列只有一个极限.,证,由定义,故收敛数列极限唯一.,发散数列判别法:1.无界数列必定发散.2.一子列发散,则数列发散.3.两子列收敛到不同的极限,则数列发散.,例:,证,1.单调有界准则（P26）,单调增加,单调减少,单调数列,几何解释:,三、数列收敛判别准则,例1：设,(n=1,2,)，,证由,及,知,设对某正整数k有,则有,故由归纳法，对一切正整数n，都有,即,为单调减少数列，且,试证数列极限存在，并求此极限。,解得,所以,数列由递推关系给出时，求极限或证明极限存在，往往用单调有界准则。,1)有界性的证明一般有如下几种方法：根据已知条件推断出界；通过观察找出界，并用归纳法证明；先求出极限，根据极限求出界，并用归纳法证明,2)单调性的证明一般有如下几种方法：用观察法.如：单增情况）。根据第一、第二项的大小关系，确定单调性，并用归纳法证明.,注意,2.夹逼准则（P24）,证,上两式同时成立,四、数列极限的四则运算法则,定理5若,则,（k为常数）,例题,数列:研究其变化规律;,数列极限:极限思想,精确定义,几何意义;,收敛数列的性质:有界性唯一性；,小结,两个准则,夹挤准则;单调有界准则.,思考,证明,要使,只要使
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