第05章 时变电磁场

时变电磁场,第五章,静电场的基本方程,恒定磁场的基本方程,静电场和恒定电流的磁场各自独立存在，互不关联。在时变电磁场中，电场与磁场相互依存，相互激发，构成统一的电磁场。,5.1时变电磁场的环量和旋度及通量和散度5.2时变电磁场方程-麦克斯韦方程组和物质方程5.3介质分界面上的边界条件5.4坡印廷定理和坡印廷矢量5.5波动方程5.6时谐电磁场5.7电磁波谱,5.1时变电磁场的环量和旋度及通量和散度,5.1.1法拉第电磁感应定律-时变电场的环量和旋度,法拉弟电磁感应定律,产生感应电动势的原因,（1）感生电动势,（2）动生电动势,麦克斯韦涡旋电场的假设：,变化的磁场将在其周围空间激发一种电场，这个电场的力线是闭合的。回路中的感应电动势应等于涡旋电场沿此回路的积分，即,涡旋电场,涡旋电场是由变化的磁场激发的，即使导体回路不存在，变化的磁场也将在周围空间激发出涡旋电场；涡旋电场是有旋场。,（1）感生电动势,于是,设空间同时存在涡旋电场和静电场，则总电场沿任意闭合路径的积分,假设回路静止，则,由斯托克斯定理，可得,于是得到,法拉第电磁感应定律的微分形式,（2）动生电动势,平衡时,动生电场,例5.1一个N匝密绕的矩形线圈在均匀磁场中旋转，设初始状态下线圈平面与磁场垂直，如图5-2所示。求线圈中的感应电动势。,（不讲）,例5.2如图所示，一根无限长直导线通有电流为I=30A，另一根长为30cm的金属棒在YZ平面内以v=5ezm/s的速度作匀速运动，金属棒离Z轴的最近距离为10cm，求金属棒中的动生电动势。,（不讲）,(1)，矩形回路静止；,(3)，且矩形回路上的可滑动导体L以匀速运动。,(2)，矩形回路的宽边b为常数，但其长边因导体L以匀速运动而随时间变化；,补充例题长为a宽为b的矩形环中,有均匀磁场垂直穿过，如图所示。在以下三种情况下，求矩形环内的感应电动势。,解(1)均匀磁场随时间作简谐变化，而回路静止，所以回路内的感应电动势是由磁场变化而产生的。则,(2)均匀磁场为恒定磁场，可滑动导体以匀速运动，因而回路内的感应电动势是由导体L在磁场中运动产生的。于是得,或,(3)矩形回路中的感应电动势是由磁场变化以及可滑动导体L在磁场中运动共同产生的，故得,5.1.2全电流定律-时变磁场的环量和旋度,在时变(例如图示)的情况下，恒定磁场中的安培环路定理不再适用。,位移电流的假设在电容器两极板之间存在着一种非传导电流，其值与导线中的传导电流相等,作闭合曲线L与导线交链，,以L为边做曲面S、S，则,图5-4位移电流,有,将,代入电流连续性方程,令,位移电流密度,在图中，传导电流流入电容器极板,极板间形成时变电场，产生位移电流,且极板间的位移电流正好等于导线中的传导电流，从而使电流连续。,有,在时变的情况下，空间可能同时存在传导电流和位移电流，麦克斯韦认为位移电流也可产生磁场,因此安培环路定理变为,由斯托克斯定理，可得全电流定律的微分形式,全电流定律揭示，不仅传导电流激发磁场，变化的电场也可以激发磁场。它与变化的磁场激发电场形成自然界的一个对偶关系。,5.1.3时变电磁场的通量和散度,麦克斯韦还假设，静电场的高斯定理和恒定磁场的高斯定理也适用于一般的电磁场。,（1）积分形式,麦克斯韦第一方程,麦克斯韦第四方程,麦克斯韦第三方程,麦克斯韦第二方程,5.2时变电磁场方程-麦克斯韦方程组和物质方程,一、麦克斯韦方程组,（2）微分形式,表明传导电流和变化的电场都能产生磁场。,表明变化的磁场产生电场。,表明磁场是无源场，磁感线总是闭合曲线。,表明电荷以发散的方式产生电场。,由此可见，时变电场是有旋有散的；时变磁场是有旋无散的。,对不随时间变化的静态场，有,那么，麦克斯韦方程组将变为前述的静电场方程和恒定磁场方程，电场与磁场则不再相关而彼此独立。,但是，时变电磁场中的电场与磁场是不可分割的，因此，时变电磁场是有旋有散场。,在无源空间，即电荷密度和电流密度矢量都为零的空间中，电场和磁场仍然可以相互激发，从而在空间形成电磁振荡并传播，这就是电磁波。,为了完整地描述时变电磁场的性质，还需说明场量与媒质特性的关系。对线性各向同性的均匀介质,二、介质的物质方程,代入麦克斯韦方程组中，得,称为麦克斯韦方程组的限定形式，适用于线性各向同性的均匀介质。,爱因斯坦在他的物理学演变中写到“这个方程的提出是牛顿时代以来物理学上的一个重要事件。它是关于场的定量数学描述，方程所包含的意义比我们指出的要丰富得多。在简单的形式下隐藏着深奥的内容，这些内容只有仔细的研究才能显示出来，方程是表示场的结构的定律。”,补充例题在无源(,)的理想介质（、，=0）中，若已知电场强度矢量为,其中E0、k为常量。试确定k与之间所满足的关系，并求。,解由麦克斯韦第二方程,即,于是，得,对时间t积分，得,又,得,由,5.3介质分界面上的边界条件,什么是电磁场的边界条件?,为什么要研究边界条件?,如何讨论边界条件?,实际电磁场问题都是在一定的物理空间内发生的，该空间中可能是由多种不同媒质组成的。边界条件就是不同媒质的分界面上的电磁场矢量满足的关系，是在不同媒质分界面上电磁场的基本属性。,物理：由于在分界面两侧介质的特性参数发生突变，场在界面两侧也发生突变。麦克斯韦方程组的微分形式在分界面两侧失去意义，必须采用边界条件。,数学：麦克斯韦方程组是微分方程组，其解是不确定的，边界条件起定解的作用。,麦克斯韦方程组的积分形式在不同媒质的分界面上仍然适用，由此可导出电磁场矢量在不同媒质分界面上的边界条件。,5.3.1介质分界面上的边界条件,（1）电磁场量的法向边界条件,令h0，则由,即,在两种媒质的交界面上任取一点P，作一个包围点P的扁平圆柱曲面S，如图表示。,或,或,同理，由,（2）电磁场量的切向边界条件,在介质分界面两侧，选取如图所示的小环路，令h0，则由,故得,或,同理得,或,关于边界条件的几点说明：,边界条件的推导运用了麦克斯韦方程组的积分形式，可以认为边界条件是麦克斯韦方程在介质分界面的特殊形式,边界条件给出的是紧邻边界两侧的场量关系,边界条件既可以用来确定边界两侧的场量关系，也可以求分界面上的面电荷分布与面电流分布,两种不同的理想介质分界面上一般不存在自由面电荷()和面电流()，因此,5.3.2理想介质分界面上的边界条件=0,5.3.3理想导体分界面上的边界条件,介质1为理想介质，介质2为理想导体，即1=0，2=，如图所示，则理想导体(介质2）内部不存在电场(，)；时变条件下，也不存在磁场(，),理想导体所带电荷只分布于导体表面。,例5.3如图所示在两无限大理想导体板间（0xa）存在时变电磁场为,判断电磁场是否满足边界条件。若满足，试求导电板上的电流密度。,解对于x的理想导体表面，电场、磁场的切向分量为,法向分量为,对于x=a的导体表面，切向分量为,法向分量为,导体表面电流存在于两导体相向的面上，即x=0和x=a处,在理想导体表面，电场的切向分量为零，磁场的法向分量零显然满足理想导体的边界条件。,区域中的电场强度为,试求：(1)常数A；(2)磁场强度H1和H2；(3)证明在z=0处H1和H2满足边界条件。,解(1)在无耗媒质的分界面z=0处，有,补充1设区域(z0)的介质参数,;区域(z0)的介质参数,。区域中的电场强度为,(2)根据麦克斯韦方程,由于E1和E2恰为切向电场,由边界条件有E1=E2,所以,有,对时间t积分，得,同理可得,(3)将z=0代入(2)中得,比较上两式，有H1y=H2y,满足理想介质分界面上的边界条件。,试求:（1）磁场强度；（2）导体表面的电流密度。,解（1）由,有,课堂练习：在两导体平板（z=0和z=d）之间的空气中，已知电场强度,将上式对时间t积分，得,（2）z=0处导体表面的电流密度为,z=d处导体表面的电流密度为,5.4坡印廷定理和坡印廷矢量,5.4.1坡印廷定理,静电场中的能量密度为,恒定磁场中的能量密度为,时变电磁场中的能量密度为,根据焦耳定律，在场域空间中任一以S为界面的体积V内焦耳热损耗的功率是,利用矢量恒等式,在线性各向同性介质中，有,由于,则有,利用散度定理，有,单位时间内体积V中所减少的电磁场能量,单位时间内电场对V中的电流所作的功，即热损耗功率,单位时间内穿出闭合曲面S的电磁能量,体积V内减少的能量体积V内损耗的能量穿出体积V的能量,电磁能量守恒关系：,坡印廷定理,或,5.4.2坡印廷矢量,定义,为坡印矢量，单位为瓦/米2（W/m2）,S表示的是单位时间内通过垂直于能量流动方向单位面积上的能量，因而也称之为能流密度矢量或功率流密度矢量。,S与电场E和磁场H成右手螺旋关系，S的方向就是电磁能量传输的方向。,当已知E和H时，欲求穿出某闭合面的电磁功率,需求面积分,如果求穿进某闭合面的电磁功率，,可求积分,如果E和H都是随时间变化的时谐周期函数，则S也是时谐函数，在一个周期内求平均，得到坡印廷矢量的平均值即平均能流密度为,导线表面的磁场强度为,解长为l的一段导线两端的电位差为,例5.4半径为a的导线通电流，导线单位长度的电阻为R，试用坡印廷矢量计算导线单位长度的损耗功率。,于是,由此可见，进入导线中的功率全部被导体所吸收,成为导线中的焦耳热损耗功率。,此例也证明了坡印廷定理在恒定场中成立。,长度为L的导线损耗功率为,则单位长度的损耗为,5.5波动方程,5.5.1无源导电介质中的齐次波动方程,电磁波动方程,波动方程二阶矢量微分方程，揭示电磁场的波动性。,麦克斯韦方程一阶矢量微分方程组，描述电场与磁场间的相互作用关系。,问题的提出,推证,同理可得,问题,若为无源理想介质，结果如何？,若为有源理想介质，结果如何？,5.5.2无源理想介质中的齐次波动方程,理想介质：=0，在无源空间,5.5.3有源理想介质中的非齐次波动方程,在有源空间，场源和已知。,引入位函数来描述时变电磁场，使一些问题的分析得到简化。,引入位函数的意义,位函数的定义,5.5.4位函数波动方程,A矢量磁位,u标量电位,满足下列变换关系的两组位函数(A,u)和(A,u)能描述同一个电磁场问题。,位函数的不确定性,则,也就是说，对一给定的电磁场可用不同的位函数来描述。不同位函数之间的上述变换称为规范变换。,原因：未规定A的散度。,变换后的场与原来的场相等规范不变性,令,除了利用洛仑兹规范外，另一种常用的是库仑规范，即,在电磁理论中，通常采用洛仑兹规范，即,位函数的规范条件,造成位函数的不确定性的原因就是没有规定A的散度。利用位函数的不确定性，可通过规定A的散度使位函数满足的方程得以简化。,位函数的微分方程,同样,达朗贝尔方程,该方程表明矢位A的源是，而标位u的源是。时变场中和是相互关联的。,说明,若应用库仑条件，位函数满足什么样的方程?具有什么特点?,问题,应用洛仑兹条件的特点：位函数满足的方程在形式上是对称的，且比较简单，易求解；解的物理意义非常清楚，明确地反映出电磁场具有有限的传递速度；矢量位只决定于J，标量位只决定于，这对求解方程特别有利。只需解出A和u，就可得到待求的电场和磁场。,电磁位函数只是简化时变电磁场分析求解的一种辅助函数，应用不同的规范条件，矢量位A和标量位u的解也不相同，但最终得到的电磁场矢量是相同的。,5.6时谐电磁场,研究时谐电磁场具有重要意义,在工程上，应用最多的就是时谐电磁场。广播、电视和通信的载波等都是时谐电磁场。,任意的时变场在一定的条件下可通过傅里叶分析方法展开为不同频率的时谐场的叠加。,时谐电磁场的概念,如果场源以一定的角频率随时间呈时谐（正弦或余弦）变化，则所产生电磁场也以同样的角频率随时间呈时谐变化。这种以一定角频率作时谐变化的电磁场，称为时谐电磁场或正弦电磁场。,相位因子,时间因子,复振幅,5.6.1时谐电磁场的复数表示,有一个以角频率随时间t作余弦变化的场量,其瞬时表达式为,其复数表示为,若有一时谐电磁场的电场强度E瞬时矢量为,式中，,仅是空间坐标r的函数，而与时间变量无关。,电场强度复振幅矢量。,对于其它时谐量，也可以写成复振幅的形式，有,由此可见，只要把已知时谐量的复振幅与时间因子ejt相乘，并取实部就可得到该量的瞬时值表达式。,复数式只是数学表示方式，不代表真实的场。,有关复数表示的进一步说明,真实场是复数式的实部，即瞬时表达式。,由于时间因子是默认的，有时它不用写出来，只用与坐标有关的部分就可表示复矢量。,补充例1将下列场矢量的瞬时值形式写为复数形式,（1）,（2）,解（1）由于,（2）,补充例2将下列场矢量的复数形式写为瞬时值形式。,解,5.6.2麦克斯韦方程组的复数形式,由,可得出,可见,电流连续性方程的复数形式为,麦克斯韦方程组的复数形式,复数的微分和积分运算，是分别对其实部和虚部进行的，并不改变其实部和虚部的性质，故,式中L为线性算子，如等。,补充例题已知自由空间中的时谐电磁场的电场瞬时值为,试求其磁场强度的复数形式。,解时谐电场的复数形式为,5.6.3复数形式的物质方程与边界条件,关于物质方程与边界条件的复数形式的导出，与麦克斯韦方程组类似。,线性各向同性介质的物质方程的复数形式,边界条件的复数形式,5.6.4复坡印廷矢量和平均坡印廷矢量,对正弦电磁场，当场矢量用复数表示时,坡印廷矢量的瞬时值为,定义复坡印廷矢量为,复坡印廷矢量与时间t无关，表示复功率流密度。其实部为平均功率流密度(有功功率流密度)，虚部为无功功率流密度。,时谐场的瞬时坡印廷矢量在一个周期内的平均值，称为平均能流密度矢量或平均坡印廷矢量。,平均电磁场能量密度,类似地，可以得到磁场能量密度的平均值,补充已知无源的自由空间中，时变电磁场的电场强度复矢量，式中k、E0为常数。求(1)磁场强度复矢量；(2)坡印廷矢量的瞬时值；(3)平均坡印廷矢量,(2)电场、磁场的瞬时值为,所以，坡印廷矢量的瞬时值为,(3)平均坡印廷矢量：,5.6.5复介电常数和复磁导率,设导电介质的介电常数为、电导率为，有,实际的介质都存在损耗：导电媒质当电导率有限时，存在欧姆损耗。电介质受到极化时，存在电极化损耗。磁介质受到磁化时，存在磁化损耗。损耗的大小与媒质性质、随时间变化的频率有关。一些媒质的损耗在低频时可以忽略，但在高频时就不能忽略。,导电媒质的等效介电常数,其中称为导电介质的等效介电常数，它虚部反映了介质的欧姆损耗。,对于同时存在电极化损耗和欧姆损耗的电介质，复介电常数为,对于存在电极化损耗的电介质，有称为复介电常数。,同理，复磁导率为,电介质的复介电常数,磁介质的复磁导率,工程上通常用损耗角正切来衡量介质的损耗特性,其定义为,导电介质可按值的量级分为三类,（一般取100），为良导体。,为一般导电介质；,（一般取0.01），为良绝缘体；,5.6