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文档简介
第七章微分方程第一节微分方程的基本概念1指出下列各微分方程式的阶数1）35640XYYYX2）276YXYDXXYDYE2设212XYCCXE1）验证Y是方程440YYY的解2）求参数1C，2C使得它满足初始条件00Y，01Y1）22212222XXXYCECXECE222212224242XXXXYCECECXECE222122444XXXCECECXE22212244444XXXYYYCECECXE222122422XXXCECXECE21240XCCXEY是方程440YYY的解2）00Y110010CC01Y220222120201XXECECEC所求满足初始条件的函数为2XYXE。第二节可能离变量的微分方程1求下列微分方程的通解。1）2LN0XYYX解原式可化为2LN0DYXYXDX分离变量，得2LNDYXDXYX两端积分，得1LN1LNXYCXX从而111LN1LN1LNXXXCCXXXXXXYEEECE（C为任意常数）2）SINCOS0XDYYDX解原式可化为COSSINDYYDXX分离变量，得COSSINDYDXYX两端积分，得COSSINDYDXYX得1LNSECTANLNCSCCOTLNYYXXC11LNTANLNLN2TAN2CXCX1SECTANTAN2CYYXTANTAN2CSENYYX（C为常数）2求下列微分方程满足所给实始条件的特解。1）2YXYE，0|1XY解2YXDYEEDX分离变量，得2XDYEDXDX两端积分，得2YXEDYEDX212YXEEC（C为常数）即212YXEEC（C为常数）准0X，1Y代入通解1012EEC解得112CE特解为2111LN22XYEE2）SIN12COS0XYDXEYDY，04Y解方程可化为COS12SINXDXYDYEY两端积分COS12SINXDXYDYEY即1LNSINLN2XYECSIN2XCYE（C为常数）04Y代入上式032SIN422CCE第三节齐次方程1求下列齐次方程的通解1）32322230XXYDYYYXDX解323322332212YYDYYXYXXYDXXXYX（1）令YDYDUUYUXUXXDXDX（2）把（2）代入（1），得223212122DUUUDUUXDUDXUUX两端积分，得2122UDUDUUX211LNLN22UUXC2211LNLN22YYXCXX2）3LNLNDYXYYXDX解3LNDYYYDXXX（1）令YUYUXXDYDUUXDXDX（2）把（2）代入（1），得3LNDUUXUUDX3LNDUDXUUUX两端积分3LNDUDXUUUX1LN3LN1LN3UXC（C为常数）2求下列齐次方程满足所给初始条件的特解。1TANYYYXX,11Y解TANDYYYDXXX（1）令YUYUXXDYDUUXDXDX（2）把（2）代入（1）TANDUUXUUDX即TANDUDXUXLNSINLNLNUXC即LNSINLNUXC把1,1XY代入上式，得LNSIN1LN1C得LNSIN1C特解为LNSINLNLNSIN1YXX2）012210,|1XYYXXXEDXEDYYY解设2121,1212XYUYUXXEXDYEUYUYDXEE,DYDUXUYUYDXDY即有2112UUDUEUUYDYE变量分离后，得2112UUEUDYDUEY两端积分，得22UUDEUDYEUY1LN2LNUEUYC2UYEUC（C为常数）2XYYEC（C为常数）2XYYEXC代入0,1,2XYC得特解为22XYYEX第四节一阶线性微分方程1求下列微分方程的通解。1）SINCOSXYYXE解对应齐次方程COS0DYYXDXCOSDYXDXDX即LNSINYXC，SINXYCE常数变易法SINXYUESINSINCOSXXDYDUUEXEDXDX代入原方程，得SINSINXXDUEEDXUXC于是得所求通解为COSCOSSINXDSXDXXYEEEDXCSINXEXC2）2620DYYXYDX解262YXDYYDX即312DYXYDXY是一阶非齐次方程3DYDYXYLN3NXYC，3XCY常数就易法3XUY（1）333DXDUUYYDYDY312DUYYDX21122UDYCYY代入（1）式，得通解333122YXYCCYY（C为任意常数）2求微分方程SINDYYXDXXX，满足条件|1XY的特解。解11SINDXDXXXXYEEDXCX11SINCOSYXDXCXCXX由|1XY，得1C故特解为11COSYXX5求下列微分方程的通解。1）43323XYYXY解原式变为42323DYYXYDXX1123323DYYYXDXX（1）令13ZY代入（1），得4123311233DYYYXDXX1231233DYYXDXX即为223DZZXDXX变成了一阶线性微分方程22233DXDXXXZEXEDXC23427LN33332XEXDXCXXC即1233337YXCX2）LNLNXYYY
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