自动控制原理课件高红霞2015qt第五章根轨迹分析法(一)

第五章根轨迹分析法,华南理工大学自动化科学与工程学院,5.1引言,根轨迹方程,绘制(10个规则),根轨迹扩展应用,根轨迹,开环零、极点对根轨迹的影响分析,改变开环零极点，提高系统稳态或动态性能,本章知识体系,MATLAB绘制根轨迹图,5.2根轨迹的基本概念,例5-1,5.2根轨迹的基本概念,参数的变化根的变化影响系统的动态特性,5.2根轨迹的基本概念,根轨迹：当系统开环传递函数的某一参数从0变化到无穷时，系统的闭环特征根在根平面上变化的轨迹。根平面:专一用来描述根大小的复平面;根轨迹图:根平面加上根轨迹。,K一变，一组根变；,K一停，一组根停；,5.2根轨迹的基本概念：根轨迹方程,典型反馈控制系统,s到底是什么？,式中Kg为系统的根迹增益，zi为系统的开环零点，pj为系统的开环极点。上述方程又可写为：,由于满足上式的任何s都是系统的闭环极点，所以当系统的结构参数，如Kg在某一范围内连续变化时，由上式制约的s在s平面上描画的轨迹就是系统的根轨迹。因此上式称之为系统的根轨迹方程。,根轨迹的幅值方程：,根轨迹的幅角方程：,式中，k=0，1，2，（全部整数）。前式通常称为180根轨迹；根据这两个条件，可完全确定s平面上根轨迹及根轨迹上任一点对应的Kg值。幅角条件是确定s平面上根轨迹的充要条件，因此，绘制根轨迹时，只需要使用幅角条件；而当需要确定根轨迹上各点的Kg值时，才使用幅值条件。,幅值条件和相角条件,相角条件,相角以逆时针方向为正，顺时针方向为负。,幅值条件和相角条件,幅值条件与相角条件的应用,-1.09+j2.07,2.26,2.11,2.072,K*=,=6.0068,92.49o-66.27o-78.8o-127.53o=180o,绘制根轨迹的基本法则1、2、3、4,规则1根轨迹的连续性闭环特征方程根是根轨迹增益Kg的连续函数；根轨迹是连续的直线或曲线。,规则2根轨迹的分支数=特征根个数=系统阶数n。,规则4根轨迹起点与终点根轨迹的起点(Kg=0时)：位于开环传递函数的极点处。根轨迹的终点(Kg=时：止于开环传递函数的零点,规则3根轨迹的对称性实系数特征方程的根必为实数或共轭复数,必对称于实轴。,A：另有nm条根轨迹的终点将在无穷远处，可以认为有nm个无穷远处的开环零点。,Q:在实际系统中，开环传函其中mn，有n条根轨迹起点为开环极点处，有m条根轨迹终点在开环零点处，那其他nm条根轨迹的终点在哪里？,j,K=0,K=0,K,K,0,法则5实轴上的根轨迹分布实轴上的某一区域，若其右边开环实数零、极点个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹。“奇是偶不是”证明：设零、极点分布如图示：,在实轴上取一测试点s0。,由图可见，复数共轭极点到实轴s0点的向量幅角和为2，复数共轭零点如此。因此在确定实轴上的根轨迹时，可以不考虑复数零、极点的影响。,s0点左边开环实数零、极点到s1点的向量幅角均为零，也不影响实轴上根轨迹的幅角条件。而s0点右边开环实数零、极点到s1点的向量幅角为。如果s0是根轨迹，则只有当零极点数目之和为奇数时，才满足幅角条件：ji=(2k+1)即如果s0所在的区域为根轨迹，其右边开环实数零、极点个数之和必须为奇数。,法则6根轨迹的渐近线根据法则2，当开环传递函数中mn时，将有nm条根轨迹分支沿着与实轴夹角为a，交点为a的一组渐近线趋于无穷远处，且有：,(k=0,1,nm1),例5-2已知三阶系统的开环传递函数试在平面上确定系统根轨迹的渐近线。解：系统无零点，而有三个开环极点：-p1=0，-p2=-3和-p3=-4，因此有n-m=3条根轨迹分支趋向无穷远。渐近线在实轴上的交点为和n-m=3个渐近线与实轴的夹角为,求取根轨迹的渐近线,法则7根轨迹分离点和分离角两条或两条以上的根轨迹在s平面上相遇后立即分开的点，称为根轨迹的分离点(会合点)。,分离点的性质：1）分离点是系统闭环重根；2）由于根轨迹是对称的，所以分离点或位于实轴上，或以共轭形式成对出现在复平面上；3）实轴上相邻两个开环零（极）点之间（其中之一可为无穷零（极）点）若为根轨迹，则必有一个分离点；,4）在一个开环零点和一个开环极点之间若有根轨迹，该段无分离点或分离点成对出现。,用重根法求取根轨迹的分离点或汇合点,由此，根轨迹的分离点或会合点，重根必然满足如下式子：,分离点上，根轨迹的切线与正实轴的夹角称为根轨迹的分离角，用下式计算：k为分离点处根轨迹的分支数。,例5-2已知三阶系统的开环传递函数试在平面上确定系统根轨迹的渐近线。解：系统无零点，而有三个开环极点：-p1=0，-p2=-3和-p3=-4，因此有n-m=3条根轨迹分支趋向无穷远。渐近线在实轴上的交点为和n-m=3个渐近线与实轴的夹角为,用重根法求取根轨迹的分离点或汇合点,用重根法求取根轨迹的分离点或汇合点,根据规则5可知，闭环系统根轨迹在实轴上的区间为（-,-4和-3,0，显然，点s1=-3.5352在实轴上的根轨迹区间之外，故根轨迹分离点必位于点s2=-1.1315处。,例已知系统开环传函为,试绘制系统的根轨迹。解：,d=2.5左=0.67右=0.4d=2.01左=0.99右=99.49d=2.25左=0.8右=3.11d=2.47左=0.68右=0.65,d=2.47,绘制根轨迹的法则8：与虚轴的交点,例5-4考虑开环传递函数,方法1：