《运筹学教学资料》运筹学第3章第3节

3.3不平衡的运输问题,所谓不平衡的运输问题是指总产量不等于总销量的运输问题。前面几节所讨论的运输问题都要求总产量等于总销量，因而也称为平衡的运输问题。,在实际问题中，产销量往往是不平衡的，为了利用作业法求解，就往往需要把不平衡的运输问题化成平衡的运输问题。其基本思路是引入松弛变量，相当于增加一个虚拟的产地或销地。,不平衡的运输问题,一、不平衡的运输问题的类型,供过于求，总产量大于总销量，即：,由于总产量大于总销量，某些产地的产量调运不出去，即调运量小于其产量；由此可以建立供过于求的数学模型：,不平衡的运输问题,解决方法：由于产品供大于求，应考虑把多余的物资就地贮存，做法上即增加一个虚拟销地Bn+1，虚拟销地Bn+1的总销量为：,令xi(n+1)是从产地Ai到虚拟销地Bn+1的调运量，它相当于产地Ai的贮存量，不需花运费，因而运价为0：,在这个意义下把不平衡运输问题化为了平衡运输问题。,不平衡的运输问题,供过于求运输问题的平衡模型：,具体求解时,只在运价表右端增加一列Bn+1，运价为零,销量为bn+1即可,不平衡的运输问题,供过于求运输问题的运价表：,不平衡的运输问题,供不应求，当供不应求时，总产量小于总销量，即：,由于总产量小于总销量，某些销地的需求得不到满足，即调入量小于其销量；由此可以建立供不应求的数学模型。,不平衡的运输问题,由于供不应求，则应设想一个虚拟产地Am+1，并让虚拟产地Am+1来供给销地Bj所需物资差额。虚拟产地Am+1的产量为：,由于销地实际上不能从虚拟产地Am+1得到供应，故其运价应该是高额的，令,其中是一个充分大的正数。,不平衡的运输问题,供不应求运输问题平衡模型,具体计算时，在运价表的下方增加一行Am+1，运价为零。产量为am+1即可。,不平衡的运输问题,供不应求运输问题运价表：,不平衡的运输问题,设有三个煤矿供应四个电厂的发电用煤.假定各个煤矿的年产量、各个电厂的备用煤量以及单位运价如表所示。试求运费最省的煤炭调拔方案。,例3,不平衡的运输问题,这是一个产销不平衡的运输问题，总产量160个单位，四个电厂的年最低需求为110个单位。小于产量160。根据现有产量，第四个电厂每年最多能再多获得50个单位的供应量，因此，最高总需求为210个单位，大于产量160。为了求得平衡，增加假想的煤矿D，其年产量为50个单位。,解题分析1,不平衡的运输问题,由于各电厂的需求有两个部分，如电厂，其最低需求30个单位不能由虚拟产地D供应，如要供应，其运价是一个任意大的正数M；而另一部分20个单位可以满足也可以不满足，因此可由虚拟产地D供应，其运价为0；其它电厂的需求量也可类似处理。从而可得到一个平衡的运输问题（单位运价表与产销平衡表）,解题分析2,不平衡的运输问题,利用表上作业法可以求得上述问题的最优方案。,总运费为：z=2460.,不平衡的运输问题,3.4应用举例,由于运输问题的表上作业法远比一般单纯形算法简单，因而人们在解决一些实际问题时，常设法将其转化为运输问题的数学模型求解。,某航运公司承担六个城市A、B、C、D、E、F的四条航线的物资运输任务。已知各条航线的起点、终点及每天航班数如表1，各城市间的航程如表2。假设各条航线使用相同型号的船只，每条船只每次装卸货物的时间为1天。问该航运公司至少应配备多少条船只才能满足运输要求。,表1,表2,应用举例,解：,该航运公司所需配备的船只分为两部分：（1）航程周转船只；（2）港口调度船只；下面分别计算相应的船只数。,航程周转船只,如航线1，在港口E装货1天，航程17天，在D卸货1天，总计19天；每天3个航班，故航线1共需周转船只57条。类似计算可得航线2共需周转船只10条；航线3共需周转船只9条；航线4共需周转船只15条；累计共需周转船只91条。,应用举例,周转船只,应用举例,港口调度船只,有些港口每天到达船只多于需要船只，如港口D，每天到达3条，需要1条；而有些港口每天到达船只少于需要船只，如港口B，每天到达1条，需要2条；各港口每天调度船只数计算如下,应用举例,调度船只,为了使配备的船只数最少，应做到周转的空船数最少。因此建立相应的运输问题模型，即产销平衡表与单位运价表.,应用举例,利用表上作业法求出最优调度方案为：,52+131+171+71=47.,最优调度船只数,建立运输问题模型为：,应用举例,某公司经销某产品，该公司具有3个加工厂，每日的产量分别为：A1(7t),A2(4t),A3(9t).该公司把这些产品分别运往4个销售点，各销售点的每日销售量为：B1(3t),B2(6t),B3(5t),B4(6t).现在假定：1、每个工厂生产的产品不一定直接发运到销售地点，可以其中几个产地集中一起运；2、运往各销售地点的产品可以先运给其中的一些销地，再转运给其它销地；3、除了产、销地之外，中间还可以设置几个转运站，作为在产地之间、销地之间或者产销地之间进行转运。下表为单位运价表，问该公司应该如何调运产品，在考虑直接与非直接运输的各种可能方案下，以及满足各地需要量的前提下，使每天的总运费达到最少？,应用举例,应用举例,解：分析1、由于问题中所有的产地、中间转运站、销地都既可以看作是产地也可以看作是销地，所以这个问题可以看作是具有11个产地与销地的扩大的运输问题.2、对于扩大的运输问题我们可以建立其对应的运价表，表中将不可能的运输方案的运价标记为任意大的正数M.3、所有中间转运站的产量等于销量，由于总量为20，所以每一个中转站的运量不会超过20，所以可以规定T1、T2、T3、T4的产销量均为20。4、由于所有的产销地点均可以作为转运站，所以应该在原来的产销量基础上加上20。,应用举例,应用举例,运输悖论,在运输问题中，有一种奇怪现象“多运了物资，运费反而下降”.这种称为“运输悖论”的现象是与不平衡运输问题有关的。考虑下面的运输问题.请分析一下：在什么情况下才会出现“运输悖论”呢？,应用举例,这是一个产销平衡问题，利用表上作业法可得它的一个最优解,基变量取值为,对应的运费是444,应用举例,如果允许产地多运出一些物资，销地可以多运进物资。如给出下述方案：,即产地A1、A3都多运出了5个单位物资，销地B2多运进了10个单位物资。这个方案对应总运费是409。,应用举例,某厂按合同规定须于当年每个季度末分别提供10、15、25、20台同一规格的柴油机。已知该厂各季度的生产能力及生产每台柴油机的成本如右表。如果生产出来的柴油机当季不交货，每台每积压一个季度需储存、维护等费用0.15万元。试求在完成合同的情况下，使该厂全年生产总费用为最小的决策方案。,应用举例,把第i季度生产的柴油机数目看作第i个生产厂的产量；把第j季度交货的柴油机数目看作第j个销售点的销量；设cij是第i季度生产的第j季度交货的每台柴油机的实际成本，应该等于该季度单位成本加上储存、维护等费用。可构造下列产销平衡问题：,解：设xij为第i季度生产的第j季度交货的柴油机数目，那么应满足：,交货：x11=10生产：x11+x12+x13+x1425,x12+x22=15x22+x23+x2435,x13+x23+x33=25x33+x3430,x14+x24+x34+x44=20 x4410,应用举例,由于产大于销，加上一个虚拟的销