应力状态刘鸿文2010

第七章应力和应变分析强度理论,刘鸿文,低碳钢,?,塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？,铸铁,脆性材料扭转时为什么沿45螺旋面断开？,?,铸铁,低碳钢,一、一点的应力状态,1.一点的应力状态：通过受力构件一点处各个不同截面上的应力情况。,2.研究应力状态的目的：找出该点的最大正应力和切应力数值及所在截面的方位，以便研究构件破坏原因并进行失效分析。,二、研究应力状态的方法单元体法,1.单元体：围绕构件内一所截取的微小正六面体。,7-1应力状态概述,（1）应力分量的角标规定：第一角标表示应力作用面，第二角标表示应力平行的轴，两角标相同时，只用一个角标表示。,（2）面的方位用其法线方向表示,3.截取原始单元体的方法、原则,用三个坐标轴(笛卡尔坐标和极坐标，依问题和构件形状而定)在一点截取，因其微小，统一看成微小正六面体,单元体各个面上的应力已知或可求；,几种受力情况下截取单元体方法：,2.单元体上的应力分量,最一般单元体,a)一对横截面，两对纵截面,b)横截面，周向面，直径面各一对,c)同b)，但从上表面截取,2、4点请同学们考虑,三、应力状态分类,主应力：主平面上的正应力，分别用表示。并且，有且只有三个。,主平面：单元体上没有切应力的面，即t0的平面。,主单元体：由主平面组成的单元体。,空间（三向）应力状态：三个主应力均不为零,平面（二向）应力状态：一个主应力为零,单向应力状态：两个主应力为零,7-2二向和三向应力状态的实例,pDl,二向应力状态的实例。压力容器，这类圆筒的壁厚d远小于它的直径D时（如dD/20），称为薄壁圆筒，不难算出二向的应力。,pDl,三向应力状态的实例：1、滚珠轴承中，滚珠于外圈接触点处；2、桥式起重机大梁两端的滚动轮于轨道的接触处；3、火车车轮与钢轨的接触处。,7-3二向应力状态分析解析法,一、解析法,平面应力状态的普遍形式如图所示。单元体上有x,x和y,y。,单元体用平面图形来表示,(一)、斜截面上的应力,截面法:假想地沿斜截面ef将单元体截分为二(图b),留下左边部分的单体元ebf作为研究对象(图c)。,b,图c,设斜截面的面积为dA,则eb的面积为dAcos,bf的面积为dAsin,b,对研究对象列法线方向和切线方向的平衡方程并解之得a截面的应力公式,推导过程,A、平面应力状态下,任一斜截面(截面)上的应力公式,B、主平面位置确定,主平面：单元体上没有切应力的面，即t0的平面。,根据数学定义判断2a0是第几象限角。求出a0就可以确定主平面。,C、求主应力,将a0代入任意截面正应力公式得：,主应力按代数值排序：123,最大切应力,例7-3单元体的应力状态如图所示。试求主应力并确定主平面的位置，绘出主应力单元体。,解：确定主平面的位置,第一象限角,求主应力,例7-4讨论圆轴扭转时的应力状态，并分析铸铁试样受扭时的破坏现象。,解：圆轴扭转时最大切应力在横截面的边缘处，其数值为：,单元体为：,主应力为：,主平面位置为：,铸铁,例75简支梁如图所示。已知m-n截面上A点的弯曲正应力和切应力分别为=-70MPa，=50MPa。试求（1）主应力大小；（2）确定主平面的位置；（3）绘出主应力单元体。,解：,A,x,第三象限角,主单元体,A,试求（1）斜面上的应力；（2）主应力、主平面；（3）绘出主应力单元体。,习题一点处的平面应力状态如图所示。,已知,解：,（1）斜面上的应力,（2）主应力、主平面,主平面的方位：,代入表达式可知,主应力方向：,主应力方向：,第一象限角,（3）主单元体：,习题如图所示单元体，求a斜面的应力及主应力、主平面。,（单位：MPa）,300,40,50,60,解：1、求斜面的应力,2、求主应力、主平面,主应力：,主平面位置：,第二象限角,主应力轨迹线,下图表示一受任意横向力作用的矩形截面梁,在横截面mm上,分别围绕1、2、3、4,、5五点各取出一单元体。假设该横截面上的剪力和弯矩都是正值。,m,m,利用公式或应力圆求出主平面位置和主应力,所以在梁的xy平面内可以绘制两组正交的曲线。一组曲线上每一点处切线的方向是该点处主应力1的方向，而另一组曲线上每一点处切线的方向是该点处主应力3的方向,这样的曲线称为梁的主应力迹线。,梁内任一点处的两个主应力必然一个为拉应力,一个为压应力,两者的方向互相垂直。,主应力迹线,(2)从1-1上任一点a开始,求出该点处主应力1的方向,将这一方向线延长至2-2截面线,相交于b点,再求出b点处主应力1的方向,延长至c点。,(1)按一定的比例画出梁在xy平面的平面图,画出代表一些横截面位置的等间距直线1-1,2-2等等,(4)按同样的方法可绘得主应力3迹线,(3)依此类推,就可以画出一条折线,作一条与此折线相切的曲线,这一曲线就是主应力1的迹线,图中绘出的是受均布线荷载作用的简支梁的两组主应力迹线实线表示主应力1的迹线,虚线表示主应力3的迹线,所有的迹线与梁轴线(代表梁的中性层位置)间的夹角都是45,在梁的横截面上=0的各点处,迹线的切线则与梁的轴线平行或正交,简支梁的主应力轨迹线及其配筋图,悬臂梁的主应力轨迹线及其配筋图,1.理论依据：,将上两式平方后相加得：,当斜截面随方位角变化时,其上的应力，在-直角坐标系内的轨迹是一个圆。,圆心位于横坐标轴(轴)上，离原点的距离为,半径为,此圆习惯上称为应力圆,或称为莫尔圆,7-4二向应力状态分析图解法,（2）应力圆作法,(b),该圆的圆心C点到坐标原点的距离为,半径为,该圆就是相应于该单元体应力状态的应力圆,D1点的坐标为(x,x)因而D1点代表单元体x平面上的应力。,D2点的坐标为(y,y)因而D2点代表单元体y平面上的应力。,（3）利用应力圆求单元体上任一截面上的应力,从应力圆的半径CD1按方位角的转向转动2,得到半径CE,圆周上E点的坐标就依次为。（证明略）,说明,应力圆画法及求任意截面得应力,（4）利用应力圆求主应力数值和主平面位置,A1和A2两点为与主平面对应的点，其横坐标为主应力1,2,（7-3）,（7-4）,由CD1顺时针转2a0到CA1,所以从x轴顺时针转a0（负值）即到smax对应得主平面得外法线,a0确定后smax对应得主平面方位即确定,例7-6已知图示单元体(单位：MPa)，试用应力圆求主应力，并确定主平面位置。,解：1、画应力圆。,2、利用应力圆求解。,习题单元体应力状态如图。用解析法和图解法求：主应力，并在单元体中画出主应力方向。,(1)解析法,(2)图解法,(3)画主应力方向,D,习题求1）图示单元体=300斜截面上的应力2）主应力、主平面（单位：MPa）。,60,E,2、量出所求的物理量,解：1、按比例画此单元体对应的应力圆,应力状态2,四.平面应力状态应力分析解析法,根据数学定义判断2a0是第几象限角。求出a0就可以确定主平面位置。,主应力按代数值排序：123,：从x轴到外法线n逆时针转向为正，反之为负。,五.平面应力状态应力分析图解法（应力圆法）,下面利用应力圆法介绍空间应力状态,习题图示单元体，试求：a=30o斜截面上的应力；主应力并画出主单元体；极值切应力。,求：1)a=30o斜截面上的应力；2)主应力及其方位；3)极值切应力。,习题用应力圆法重解上题。,习题：已知平面应力状态下某点处的两个截面上的应力如图所示。试利用应力圆求该点处的主应力值和主平面方位，并求出此两截面间的夹角a值。,解：由已知按比例作图中A，B两点，作AB的垂直平分线交轴于点C，以C为圆心，CA或CB为半径作圆，得（或由得。,应力圆半径,量得主应力为,量得主平面位置为,两截面夹角为,习题二向应力状态如图所示(应力单位为MPa),试求主应力并作应力圆。,解：,利用主单元体画出应力圆,120,解：,（1）作应力圆,b,（2）根据应力圆的几何关系确定主应力,半径,因此主应力为：,（3）绘出主应力单元体。,s1,s2,s2,s1,分析：,1、本题亦可用解析法求解。,2、在某些情况下，单元体可以不取立方体，如平面应力状态问题，零应力面可以取矩形、三角形等，只要已知和零应力面垂直的任意两个面上的应力，就可以求出其它任意斜截面上的应力以及主应力。例如：,3、一点处的应力状态有不同的表示方法，而用主应力表示最为重要。,习题求图示单元体的主应力及主平面的位置。(单位：MPa),A,B,解：主应力坐标系如图,AB的垂直平分线与sa轴的交点C便是圆心，以C为圆心，以AC为半径画圆应力圆,s1,s2,在坐标系内画出点,s1,s2,主应力及主平面如图,A,B,解法2解析法：分析建立坐标系如图,习题为一直径为d40mm的实心轴承受力P=50kN和力偶的联合作用。(1)指出危险点位置，计算其应力值，并画出危险点的单元休；(2)试求该单元体的主应力大小、主平面方位，并画出主单元体；(3)试求该单元体的最大切应力。,解：1、根据轴向压缩和扭转应力分布规律，可知危险点在横截面边缘上各点，取k点画单元体。,2、用公式或应力圆，求主平面和主应力。,画主单元体,求最大切应力,7-5空间应力状态的概念,在受力物体内的任一点处一定可以找到一个单元体，其三对互相垂直的平面均为主平面，其主应力为s1、s2、s3。为主单元体。,三个主应力均不等于零的应力状态为空间应力状态；,在空间应力状态，一般应用应力圆法；即在同一坐标系下分别作三视图的应力圆。见下页图。,任意截面的应力均可用三个应力圆上的点，或其阴影部分表示,由图中可以看出，最大切应力为：,习题单元体的应力如图a所示,求出主应力；主平面位置。和最大切应力值及其作用面方位。,因此与该主平面正交的各截面上的应力与主应力z无关,依据x截面和y截面上的应力画出应力圆.,解:1、应力圆法（图解法）该单元体有一个已知主应力,46MPa,-26MPa,量得另外两个主应力为,该单元体的三个主应力按其代数值的大小顺序排列为,o,c,根据上述主应力，作出三个应力圆。,从应力圆上量得,主单元体见下页,max,主单元体,画出主单元体,画出最大切应力平面,因此与该主平面正交的各截面上的应力与主应力z无关,依据x截面和y截面上的应力画出如正视图。.,解:2、解析法该单元体有一个已知主应力,根据s1、s2、s3的排列顺序，可知：s1=46.06MPa，s2=20MPa，s3=26.06MPa,第一象限角,画出主单元体,max,主单元体,习题已知某结构物中一点处为平面应力状态,x=-180MPa,y=-90MPa,x=y=0,试求此点处的最大切应力。,解:根据给定的应力可知,主应力1=z=0,2=y=-90MPa,3=x=-180MPa,将有关数据代入公式(9-9)可,习题试确定左图所示应力状态的主应力和最大切应力，并确定主平面。,解：给定应力状态中有一个主应力是已知的，即sz=90MPa。因此，可将该应力状态沿z方向投影，得到平面应力状态(正视图)，可直接求主应力及其方位。,sx=300MPa，sy=140MPa，txy=-150MPa，(正视图)因此：,根据s1、s2、s3的排列顺序，可知：s1=390MPa，s2=90MPa，s3=50MPa,主应力方位：,单元体内的最大切应力：,第一象限角,主单元体,可画出三个应力圆(略),7-8广义胡克定律,一、各向同性材料的广义虎克定律1.有关概念：主应变：沿主应力方向的应变，分别用e1e2e3表示；正应力只引起线应变，切应力只引起剪应变；,2.广义虎克定律：推导方法：叠加原理,主应变与主应力关系：,一般情况：,上式中：,广义剪切胡克定律,胡克定律将123改为xyz依然成立,体积应变,构件每单位体积的体积变化,称为体积应变用q表示。,各向同性材料在三向应力状态下的体积应变:,单元体的三对平面为主平面三个边长为a1,a2,a3,变形后的边长分别为a1(1+,a2(1+2,a3(1+3,变形后单元体的体积为,体积应变为,体积应变为,可以把公式写成以下形式：,例7-9在一体积较大的钢块上有一直径为50.01mm的凹座，凹座内放置一直径为50mm的钢制圆柱如图，圆柱受到P=300kN的轴向压力。假设钢块不变形，试求圆柱的主应力。取E=200GPa，n=0.30。,柱内各点的三个主应力为：,求得：,由广义虎克定律：,在轴向压缩下，圆柱将向横向膨胀，当它胀到塞满凹座后，凹座与柱体之间将产生径向均匀压力p。柱体内任一点均为二向均压应力状态，柱内任一点的径向与周向应力均为-p，考虑到柱与凹座之间的间隙，可得应变e2的值为：,解：在柱体横截面上的压应力为：,解；,一一对应。,由于构件自由表面，所以主应力2=0。该点为平面应力状态。,习题已知一受力构件自由表面上的两个主应变数值为。构件材料为Q235钢，其弹性模量E=210GPa，泊松比=0.3。求该点处的主应力值，并求该点处另一主应变2的数值和方向。,该点处另一主应变2的数值为,习题边长a=0.1m的铜立方块,无间隙地放入体积较大,变形可略去不计的钢凹槽中,如图a所示。已知铜的弹性模量E=100GPa,泊松比=0.34,当受到P=300kN的均布压力作用时,求该铜块的主应力.体积应变以及最大切应力。,解：铜块横截面上的压应力为,Z,y,x,z,x,y,（b),铜块应力如图b所示,变形条件为,解得,铜块的主应力为,体积应变,最大剪应力分别为,图示一钢质杆直径d=20mm，已知:A点在与水平线成600方向上的正应变60=4.110-4，=0.28,E=210GPa.求：荷载P的值,习题,一受扭转的圆轴,直径d=2cm,=0.3,材料E=200GPa,现用变形仪测得圆轴表面与轴线450方向上的应变45=5.210-4.求：轴上的扭矩T,习题,注意:x为负值,N020a工字钢梁受力情况如图，钢材=0.3，E=200GPa，现用变形仪测得梁中性层上K点处与轴线成450方向的应变=-2.610-4。求：此时梁承受的荷载P,习题,求：（1）A点处的主应变1，2，3,求：（2）A点处的线应变x，y，z,