2019年中考数学真题分类汇编第一期专题23直角三角形与勾股定理试题含解析.doc

教学资料范本2019年中考数学真题分类汇编第一期专题23直角三角形与勾股定理试题含解析编 辑：_时 间：_直角三角形与勾股定理一、选择题1（2018山西3分）“算经十书”是指 汉唐一千多年间的 十 部著名数学著作，它 们曾经是隋唐时期 国 子监算学科 的 教 科 书 ， 这 些 流 传 下 来 的 古 算 书 中 凝 聚 着 历 代 数 学 家 的 劳 动 成 果 .下 列 四 部 著 作 中 ， 不 属 于 我 国古代数学著作的 是 （） A.九章算术B. 几何原本 C. 海 岛 算 经 D. 周 髀 算 经 【答案】 B【考点】 数学文化 【解析 】 几 何 原 本 的 作 者 是 欧 几 里 得 2 （2018山东滨州3分）在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（）A5B6C7D8【分析】直接根据勾股定理求解即可【解答】解：在直角三角形中，勾为3，股为4，弦为=5故选：A【点评】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方3. （20xx湖北省孝感3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=10，BD=24，则菱形ABCD的周长为（）A52B48C40D20【分析】由勾股定理即可求得AB的长，继而求得菱形ABCD的周长【解答】解：菱形ABCD中，BD=24，AC=10，OB=12，OA=5，在RtABO中，AB=13，菱形ABCD的周长=4AB=52，故选：A【点评】此题考查了菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，属于中考常考题型4. （20xx山东青岛3分）如图，三角形纸片ABC，AB=AC，BAC=90，点E为AB中点沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕现交于点F已知EF=，则BC的长是（）ABC3D【分析】由折叠的性质可知B=EAF=45，所以可求出AFB=90，再直角三角形的性质可知EF=AB，所以AB=AC的长可求，再利用勾股定理即可求出BC的长【解答】解：沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，B=EAF=45，AFB=90，点E为AB中点，EF=AB，EF=，AB=AC=3，BAC=90，BC=3，故选：B【点评】本题考查了折叠的性质、等腰直角三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，求出AFB=90是解题的关键5. （20xx四川自贡4分）如图，若ABC内接于半径为R的O，且A=60，连接OB、OC，则边BC的长为（）ABCD【分析】延长BO交圆于D，连接CD，则BCD=90，D=A=60；又BD=2R，根据锐角三角函数的定义得BC=R【解答】解：延长BO交O于D，连接CD，则BCD=90，D=A=60，CBD=30，BD=2R，DC=R，BC=R，故选：D【点评】此题综合运用了圆周角定理、直角三角形30角的性质、勾股定理，注意：作直径构造直角三角形是解决本题的关键6. （20xx台湾分）如图1的矩形ABCD中，有一点E在AD上，今以BE为折线将A点往右折，如图2所示，再作过A点且与CD垂直的直线，交CD于F点，如图3所示，若AB=6，BC=13，BEA=60，则图3中AF的长度为何？（）A2B4C2D4【分析】作AHBC于H则四边形AFCH是矩形，AF=CH，AH=CF=3在RtABH中，解直角三角形即可解决问题；【解答】解：作AHBC于H则四边形AFCH是矩形，AF=CH，AH=CF=3在RtAHB中，ABH=30，BH=ABcos30=9，CH=BCBH=139=4，AF=CH=4，故选：B【点评】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型7. （20xx台湾分）如图，坐标平面上，A、B两点分别为圆P与x轴、y轴的交点，有一直线L通过P点且与AB垂直，C点为L与y轴的交点若A、B、C的坐标分别为（a，0），（0，4），（0，5），其中a0，则a的值为何？（）A2B2C8D7【分析】连接AC，根据线段垂直平分线的性质得到AC=BC，根据勾股定理求出OA，得到答案【解答】解：连接AC，由题意得，BC=OB+OC=9，直线L通过P点且与AB垂直，直线L是线段AB的垂直平分线，AC=BC=9，在RtAOC中，AO=2，a0，a=2，故选：A【点评】本题考查的是垂径定理、坐标与图形的性质以及勾股定理，掌握垂径定理的推论是解题的关键8.（2018湖北黄冈3分）如图，在RtABC中，ACB=90，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD=2，CE=5，则CD=A.2 B.3 C.4 D.2（第5题图）【考点】直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理。【分析】由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得CE=AE=5，又知AD=2，可得DE=AE-AD=5-2=3，在RtCDE中，运用勾股定理可得直角边CD的长。【解答】解：在RtABC中，ACB=90，CE为AB边上的中线，CE=AE=5，又AD=2，DE=AE-AD=5-2=3，CD为AB边上的高CDE=90，CDE 为RtCD=4故选C.【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理。得出DE的长是解题的关键。9. （2018广西桂林3分）如图，在正方形ABCD中，AB=3，点M在CD的边上，且DM=1，AEM与ADM关于AM所在的直线对称，将ADM按顺时针方向绕点A旋转90得到ABF，连接EF，则线段EF的长为（ ）A. 3 B. C. D. 【答案】C【解析】分析：连接BM.证明AFEAMB得FE=MB，再运用勾股定理求出BM的长即可.详解：连接BM，如图，由旋转的性质得：AM=AF.四边形ABCD是正方形，AD=AB=BC=CD，BAD=C=90,AEM与ADM关于AM所在的直线对称，DAM=EAM.DAM+BAM=FAE+EAM=90,BAM=EAF,AFEAMBFE=BM.在RtBCM中，BC=3，CM=CD-DM=3-1=2,BM= FE=.故选C.点睛：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等也考查了正方形的性质10（20xx四川省泸州市3分）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（）A9B6C4D3【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：ab，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：ab，每一个直角三角形的面积为：ab=8=4，4ab+（ab）2=25，（ab）2=2516=9，ab=3，故选：D【点评】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型二.填空题1.（2018湖北黄冈3分）如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为_cm（杯壁厚度不计）.（第13题图）【考点】平面展开-最短路径问题【分析】将圆柱体侧面展开，过B作BQEF于Q，作A关于EH的对称点A，连接AB交EH于P，连接AP，则AP+PB就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，求出AQ，BQ，根据勾股定理求出AB即可【解答】解：沿过A的圆柱的高剪开，得出矩形EFGH，过B作BQEF于Q，作A关于EH的对称点A，连接AB交EH于P，连接AP，则AP+PB就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离， AE=AE，AP=AP，AP+PB=AP+PB=AB，BQ=32cm=16cm，AQ=14cm-5cm+3cm=12cm，在RtAQB中，由勾股定理得：AB=20cm.故答案为：20.【点评】本题考查了平面展开-最短路径问题将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键同时也考查了同学们的创造性思维能力 2. （20xx天津3分）如图，在边长为4的等边中，分别为，的中点，于点，为的中点，连接，则的长为_【答案】【解析】分析：连接DE，根据题意可得DEG是直角三角形，然后根据勾股定理即可求解DG的长.详解：连接DE，D、E分别是AB、BC的中点，DEAC，DE=ACABC是等边三角形，且BC=4DEB=60,DE=2 EFAC，C=60,EC=2FEC=30，EF=DEG=180-60-30=90G是EF的中点，EG=. 在RtDEG中，DG= 故答案为：.点睛：本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理以及三角形中位线性质定理，记住和熟练运用性质是解题的关键.3 （20xx天津3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点，均在格点上.（1）的大小为_（度）；（2）在如图所示的网格中，是边上任意一点.为中心，取旋转角等于，把点逆时针旋转，点的对应点为.当最短时，请用无刻度的直尺，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）_【答案】 (1). ； (2). 见解析【解析】分析：（1）利用勾股定理即可解决问题；（2）如图，取格点，连接交于点；取格点，连接交延长线于点；取格点，连接交延长线于点，则点即为所求.详解：（1）每个小正方形的边长为1，AC=，BC=，AB=, ABC是直角三角形，且C=90故答案为90；（2）如图，即为所求.点睛：本题考查作图-应用与设计、勾股定理等知识，解题的关键是利用数形结合的思想解决问题，学会用转化的思想思考问题.4. （20xx四川自贡4分）如图，在ABC中，AC=BC=2，AB=1，将它沿AB翻折得到ABD，则四边形ADBC的形状是菱形，点P、E、F分别为线段AB、AD、DB的任意点，则PE+PF的最小值是【分析】根据题意证明四边相等即可得出菱形；作出F关于AB的对称点M，再过M作MEAD，交ABA于点P，此时PE+PF最小，求出ME即可【解答】解：ABC沿AB翻折得到ABD，AC=AD，BC=BD，AC=BC，AC=AD=BC=BD，四边形ADBC是菱形，故答案为菱；如图作出F关于AB的对称点M，再过M作MEAD，交ABA于点P，此时PE+PF最小，此时PE+PF=ME，过点A作ANBC，ADBC，ME=AN，作CHAB，AC=BC，AH=，由勾股定理可得，CH=，可得，AN=，ME=AN=，PE+PF最小为，故答案为【点评】此题主要考查路径和最短问题，会结合轴对称的知识和“垂线段最短”的基本事实分析出最短路径是解题的关键5.（20xx山东青岛3分）如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在AD、DC上，AE=DF=2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为【分析】根据正方形的四条边都相等可得AB=AD，每一个角都是直角可得BAE=D=90，然后利用“边角边”证明ABEDAF得ABE=DAF，进一步得AGE=BGF=90，从而知GH=BF，利用勾股定理求出BF的长即可得出答案【解答】解：四边形ABCD为正方形，BAE=D=90，AB=AD，在ABE和DAF中，ABEDAF（SAS），ABE=DAF，ABE+BEA=90，DAF+BEA=90，AGE=BGF=90，点H为BF的中点，GH=BF，BC=5、CF=CDDF=52=3，BF=，GH=BF=，故答案为：【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余等知识，掌握三角形全等的判定方法与正方形的性质是解题的关键6. （2018江苏盐城3分）如图，在直角 中， ， ， ， 、 分别为边 、 上的两个动点，若要使 是等腰三角形且 是直角三角形，则 _16.【答案】或 【考点】等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质 【解析】【解答】解：当BPQ是直角三角形时，有两种情况：BPQ=90度，BQP=90度。在直角 中， ， ， ，则AB=10，AC：BC：AB=3:4:5.( 1 )当BPQ=90度，则BPQBCA，则PQ：BP：BQ=AC：BC：AB=3:4:5，设PQ=3x，则BP=4x，BQ=5x，AQ=AB-BQ=10-5x，此时AQP为钝角，则当APQ是等腰三角形时，只有AQ=PQ，则10-5x=3x，解得x= ，则AQ=10-5x= ；（ 2 ）当BQP =90度，则BQPBCA，则PQ：BQ：BP=AC：BC：AB=3:4:5，设PQ=3x，则BQ=4x，BP=5x，AQ=AB-BQ=10-4x，此时AQP为直角，则当APQ是等腰三角形时，只有AQ=PQ，则10-4x=3x，解得x= ，则AQ=10-4x= ；故答案为： 或 【分析】要同时使 是等腰三角形且 是直角三角形，要先找突破口，可先确定当APQ是等腰三角形时，再讨论BPQ是直角三角形可能的情况；或者先确定BPQ是直角三角形，再讨论APQ是等腰三角形的情况；此题先确定BPQ是直角三角形容易一些：BPQ是直角三角形有两种情况，根据相似的判定和性质可得到BQP与BCA相似，可得到BQP三边之比，设出未知数表示出三边的长度，再讨论APQ是等腰三角形时，是哪两条相等，构造方程解出未知数即可，最后求出AQ。三.解答题1、（20xx湖北省宜昌8分）如图，在ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF=AE，连接FB，FC（1）求证：四边形ABFC是菱形；（2）若AD=7，BE=2，求半圆和菱形ABFC的面积【分析】（1）根据对角线相互平分的四边形是平行四边形，证明是平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；（2）设CD=x，连接BD利用勾股定理构建方程即可解决问题；【解答】（1）证明：AB是直径，AEB=90，AEBC，AB=AC，BE=CE，AE=EF，四边形ABFC是平行四边形，AC=AB，四边形ABFC是菱形（2）设CD=x连接BDAB是直径，ADB=BDC=90，AB2AD2=CB2CD2，（7+x）272=42x2，解得x=1或8（舍弃）AC=8，BD=，S菱形ABFC=8【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定、线段的垂直平分线的性质勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型2. （2018湖南省永州市10分）如图，在ABC中，ACB=90，CAB=30，以线段AB为边向外作等边ABD，点E是线段AB的中点，连接CE并延长交线段AD于点F（1）求证：四边形BCFD为平行四边形；（2）若AB=6，求平行四边形BCFD的面积【分析】（1）在RtABC中，E为AB的中点，则CE=AB，BE=AB，得到BCE=EBC=60由AEFBEC，得AFE=BCE=60又D=60，得AFE=D=60度所以FCBD，又因为BAD=ABC=60，所以ADBC，即FDBC，则四边形BCFD是平行四边形（2）在RtABC中，求出BC，AC即可解决问题；【解答】（1）证明：在ABC中，ACB=90，CAB=30，ABC=60在等边ABD中，BAD=60，BAD=ABC=60E为AB的中点，AE=BE又AEF=BEC，AEFBEC在ABC中，ACB=90，E为AB的中点，CE=AB，BE=ABCE=AE，EAC=ECA=30，BCE=EBC=60又AEFBEC，AFE=BCE=60又D=60，AFE=D=60FCBD又BAD=ABC=60，ADBC，即FDBC四边形BCFD是平行四边形（2）解：在RtABC中，BAC=30，AB=6，BC=AB=3，AC=BC=3，S平行四边形BCFD=3=9【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理、等边三角形的性质、解直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型3. （2018年江苏省泰州市12分）对给定的一张矩形纸片ABCD进行如下操作：先沿CE折叠，使点B落在CD边上（如图），再沿CH折叠，这时发现点E恰好与点D重合（如图）（1）根据以上操作和发现，求的值；（2）将该矩形纸片展开如图，折叠该矩形纸片，使点C与点H重合，折痕与AB相交于点P，再将该矩形纸片展开求证：HPC=90；不借助工具，利用图探索一种新的折叠方法，找出与图中位置相同的P点，要求只有一条折痕，且点P在折痕上，请简要说明折叠方法（不需说明理由）【分析】（1）依据BCE是等腰直角三角形，即可得到CE=BC，由图，可得CE=CD，而AD=BC，即可得到CD=AD，即=；（2）由翻折可得，PH=PC，即PH2=PC2，依据勾股定理可得AH2+AP2=BP2+BC2，进而得出AP=BC，再根据PH=CP，A=B=90，即可得到RtAPHRtBCP（HL），进而得到CPH=90；由AP=BC=AD，可得ADP是等腰直角三角形，PD平分ADC，故沿着过D的直线翻折，使点A落在CD边上，此时折痕与AB的交点即为P；由BCE=PCH=45，可得BCP=ECH，由DCE=PCH=45，可得PCE=DCH，进而得到CP平分BCE，故沿着过点C的直线折叠，使点B落在CE上，此时，折痕与AB的交点即为P【解答】解：（1）由图，可得BCE=BCD=45，又B=90，BCE是等腰直角三角形，=cos45=，即CE=BC，由图，可得CE=CD，而AD=BC，CD=AD，=；（2）设AD=BC=a，则AB=CD=a，BE=a，AE=（1）a，如图，连接EH，则CEH=CDH=90，BEC=45，A=90，AEH=45=AHE，AH=AE=（1）a，设AP=x，则BP=ax，由翻折可得，PH=PC，即PH2=PC2，AH2+AP2=BP2+BC2，即（1）a2+x2=（ax）2+a2，解得x=a，即AP=BC，又PH=CP，A=B=90，RtAPHRtBCP（HL），APH=BCP，又RtBCP中，BCP+BPC=90，APH+BPC=90，CPH=90；折法：如图，由AP=BC=AD，可得ADP是等腰直角三角形，PD平分ADC，故沿着过D的直线翻折，使点A落在CD边上，此时折痕与AB的交点即为P；折法：如图，由BCE=PCH=45，可得BCP=ECH，由DCE=PCH=45，可得PCE=DCH，又DCH=ECH，BCP=PCE，即CP平分BCE，故沿着过点C的直线折叠，使点B落在CE上，此时，折痕与AB的交点即为P【点评】本题属于折叠问题，主要考查了等腰直角三角形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质的综合运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等解题时常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案4. （20xx天津10分）在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点.以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点，的对应点分别为，.（）如图，当点落在边上时，求点的坐标；（）如图，当点落在线段上时，与交于点.求证；求点的坐标.（）记为矩形对角线的交点，为的面积，求的取值范围（直接写出结果即可）.【答案】（）点的坐标为.（）证明见解析；点的坐标为.（）.【解析】分析：（）根据旋转的性质得AD=AO=5,设CD=x，在直角三角形ACD中运用勾股定理可CD的值，从而可确定D点坐标；（）根据直角三角形全等的判定方法进行判定即可；由知，再根据矩形的性质得.从而，故BH=AH，在RtACH中，运用勾股定理可求得AH的值，进而求得答案；（）.详解：（）点，点，.四边形是矩形，.矩形是由矩形旋转得到的，.在中，有， .点的坐标为.（）由四边形是矩形，得.又点在线段上，得.由（）知，又，.由，得.又在矩形中，.设，则，.在中，有，.解得.点的坐标为.（）.点睛：本大题主要考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理以及旋转变换的性质等知识，灵活运用勾股定理求解是解决本题的关键.5. （20xx四川自贡8分）如图，在ABC中，BC=12，tanA=，B=30；求AC和AB的长【分析】如图作CHAB于H在Rt求出CH、BH，这种RtACH中求出AH、AC即可解决问题；【解答】解：如图作CHAB于H在RtBCH中，BC=12，B=30，CH=BC=6，BH=6，在RtACH中，tanA=，AH=8，AC=10，AB=AH+BH=8+6【点评】本题考查解直角三角形，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型6. （20xx四川自贡10分）如图，在ABC中，ACB=90（1）作出经过点B，圆心O在斜边AB上且与边AC相切于点E的O（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）设（1）中所作