2018年高考数学新课标1卷_理科试卷_ - 精美解析版

第 1 页 共 11 页 2018 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试（新课标新课标新课标新课标 I 卷卷卷卷） 理科数学理科数学理科数学理科数学 本试卷4页，23小题，满分150分考试用时120分钟 一一一一、选择题选择题选择题选择题：本本本本题共题共题共题共12小题小题小题小题，每小题每小题每小题每小题5分分分分，共共共共60分分分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要只有一项是符合题目要只有一项是符合题目要只有一项是符合题目要 求的求的求的求的 1设i 2 i1 i1 + + =z，则=z（ ） A0 B 2 1 C1 D2 1【解析】 () ()() ii 2 2 i 2 i 2 i1i1 i1 2 =+ =+ + =z，则1=z，选C 2已知集合02| 2 =xxxA，则=ACR（ ） A21| = 0,ln 0, )( xx xe xf x ，axxfxg+=)()(若)(xg存在2个零点，则a的取值范围是（ ） A)0 , 1 B)+, 0 C)+ , 1 D)+, 1 A B N(B) M N 2 16 4 M(A) A B C D E 第 3 页 共 11 页 B C A 9【解析】若)(xg存在2个零点，即0)(=+axxf有2个不同的实数根，即)(xfy=与axy=的 图像有两个交点，由图可知直线axy=不在直线1+=xy的上方即可，即1a，则1a故选C 10下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直 角三角形ABC的斜边BC，直角边ACAB,ABC的三边所围成的区域记为，黑色部分记为，其余部 分记为在整个图形中随机取一点，此点取自，的概率分别记为 321 ,ppp，则（ ） A 21 pp = B 31 pp= C 32 pp= D 321 ppp+= 10【解析】令ABCRt角CBA,分别对应的边长为cba,，对应的面积分别为 321 ,sss则 bcs 2 1 1= ； 8 4 2 1 22 1 2 2 3 bca bc a s = = ； () 8 4 22 1 22 1 222 3 22 2 bcacb s bc s + = + = ，因 为 222 acb=+，所以bcs 2 1 2 =所以 2121 ppss=，故选A 11已知双曲线1 3 : 2 2 = y x C，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点 分别为NM,若OMN为直角三角形，=MN（ ） A 2 3 B3 C32 D4 11【解析】 如图所示， 不妨记 o 90=OMF，F为)0 , 2(， 渐近线为xy 3 3 =， 所以 o 30=NOFMOF， 则3tan, 3cos=MONOMMNMOFOFOM，故选B 12已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最 大值为（ ） y x O 1 1 y=lnx y=ex y x O M N F 第 4 页 共 11 页 A 4 33 B 3 32 C 4 23 D 2 3 12【解析】正方体中，连接顶点QPNM,，三棱锥MNPQ为正三棱锥，侧棱与底面所成的角都相等， 所以正方体的每条棱与平面MNP所成的角均相等，不妨令平面/平面MNP易知，当平面截得正方 体的截面为如图所示的平行六边形ABCDEF时截面的面积可以取到最大值不妨取) 10(=aaOF， 则)0 , 0 , 1(),1,2 , 0(),0 , 2 , 0( 2 DaaPF A B P C F E D O A B P C F E D O x y z 第 7 页 共 11 页 o Q90=DPF，0=DPPF， 即0)1,2 , 1 ()1, 0( 22 =aaaa， 即0)1 ()2( 2 =aaa，解得 2 1 =a 所以) 2 3 , 2 3 , 1 (=DP， 易知平面ABFD的一个法向量为) 1 , 0 , 0(=n，故 4 3 21 2 3 ,cos= = = DPn DPn DPn， 即DP与平面ABFD所成角的正弦值为 4 3 19（12分） 设椭圆1 2 : 2 2 =+y x C的右焦点为F，过F的直线l与C交于BA,两点，点M的坐标为)0 , 2( （1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程； （2）设O为坐标原点，证明：OMBOMA= 19【解析】（1）右焦点为)0 , 1 (F，当l与x轴垂直时有1:=xl，则A为) 2 2 , 1 (或) 2 2 , 1 ( ， 直线AM的方程为：)2( 2 2 =xy或)2( 2 2 =xy； （2）方法方法方法方法1：令直线BMAM,的斜率分别为 21,k k， 当l与x轴重合时有0 21 = kk，所以 o 0=OMBOMA； 当l与x轴不重合时，令, 1:=xmyl),(),( 2211 yxByxA， 由 =+ = 1 2 1 2 2 y x xmy 得012)2( 22 =+myym，则 2 1 , 2 2 2 21 2 21 + = + =+ m yy m m yy， 因为 21 kk+ ) 1)(1( )(2 1122 21 2121 2 2 1 1 2 2 1 1 + = + = + = mymy yyymy my y my y x y x y ， 所以 21 kk +0 ) 1)(1( 2 2 2 2 21 22 = + + = mymy m m m m ，即直线BMAM,的倾斜角互补，得OMBOMA= 综合所述，得OMBOMA= 方法方法方法方法2：令直线BMAM,的斜率分别为 21,k k， 由（1）知，当l与x轴垂直时有 21 kk=，即直线BMAM,的倾斜角互补，得OMBOMA=； y x A B O F M 第 8 页 共 11 页 当l不与x轴垂直时，令),1(:=xkyl),(),( 2211 yxByxA， 由 =+ = 1 2 ) 1( 2 2 y x xky 得0224) 12( 2222 =+kxkxk，则 12 22 , 12 4 2 2 21 2 2 21 + = + =+ k k xx k k xx， 因为 21 kk+ )2)(2( 4)(32 2 ) 1( 2 ) 1( 22 21 2121 2 2 1 1 2 2 1 1 + = + = + = xx xxxxk x xk x xk x y x y ， 所以=+ 21 kk0 )2)(2( 4 12 4 3 12 )22(2 21 2 2 2 2 = + + + xx k k k k k ， 即直线BMAM,的倾斜角互补，得OMBOMA= 综合所述，得OMBOMA= 20（12分） 某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合 格品，则更换为合格品检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有 产品作检验设每件产品为不合格品的概率都为) 10( pp，且各件产品是否为不合格品相互独立 （1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为)(pf，求)(pf的最大值点 0 p （2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的 0 p作为p的值已知每件 产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用 （）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX； （）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？ 20【解析】（1）由n次独立重复事件的概率计算得 1821822 20 )1 (190)1 ()(ppppCpf=， )101 ()1 (380)1 (18190)1 (380)( 1717218 ppppppppf=Q且10 由0)(=xg即0)(= x f解得 2 4 , 2 4 2 2 2 1 + = = aa x aa x，且1, 2121 =+xxaxx 2a时，0, 0 21 xx， 在),(), 0( 21 +xx上0)( x f，)(xf单调递增 综上所述，2a时，)(xf在定义域), 0(+上始终单调递减； 2a时，)(xf在), 2 4 (), 2 4 , 0( 22 + +aaaa 上递减， 在) 2 4 , 2 4 ( 22 +aaaa 上递增 （2）证明：方法方法方法方法1：欲证明2 )()( 21 21 即证明 2211 )2()()2()(xaxfxaxf，其中 21,x x是方程01 2 =+axx的两个根 令tatfth)2()()(=，则满足01 2 =+att，即a t t=+ 1 ) 1 (2)2 1 ( 1 ) 1 (1 1 )2( 1 1 1 )2()()( 22 t t t t tt t t a t a t atfth+=+=+= 由（1）知2a时)(xf存在两个极值点，所以2 1 =+a t t 0) 1 (2)( xx，所以)()( 21 xhxh，即 2211 )2()()2()(xaxfxaxf，得证 第 10 页 共 11 页 方法方法方法方法2：由（1）知0 12 xx，2 21 =+axx，1 21 =xx，从而有01 12 xx 21 22 2 11 1 21 21 ln 1 ln 1 )()( xx xax x xax x xx xfxf + = Q 21 2 1 21 12 21 21 ln) 1 1 )( )()( xx x x a xx xx xx xfxf + = 2 1 21 ln2 x x xx a +=， 要证明2 )()( 21 21 ，即证明0 1 ln2 1 11 + x xx成立即可 令) 1 , 0(, 1 ln2)(+=t t ttt， 则0 ) 1(121 1 2 )( 2 2 2 2 2 t，根据) 1 , 0( 1 x，证得0 1 ln2 1 11 + x xx成立，得证 （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分 22选修44：坐标系与参数方程（10分） 在直角坐标系xOy中，曲线 1 C的方程为2|+=xky以坐标原点为极点，x轴正半轴为机轴建立极坐 标系，曲线 2 C的极坐标方程为03cos2 2 =+ （1）求 2 C的直角坐标方程； （2）若 1 C与 2 C有且仅有三个公共点，求 1 C的方程 22【解析】（1）sin,cos=yxQ， 所以 2 C的直角坐标方程为032 22 =+xyx； （2）曲线 1 C： + + = 0, 2 0, 2 xkx xkx y，其图像是关于y轴对称且以)2 , 0(为端点的两条射线 2 C：4) 1