《谢奇之-工程力学》平衡方程的建立及应用

工程力学平衡方程的建立及应用,授课教师：谢奇之电话箱：qzxie,31平衡条件及平衡方程32平衡方程的应用33物体系的平衡、静定问题34考虑摩擦时的平衡问题,第三章平衡方程的建立及应用,3-1平衡条件及平衡方程,平衡状态：在力系作用下，刚体保持静止或做匀速直线运动。,任意力系向一点简化汇交力系+力偶系,主矢,主距,移动效应,转动效应,汇交力系,力偶系,移动效应,转动效应,零,平衡,一、汇交力系的平衡条件及平衡方程,平衡的充要条件：力系的合力为零。,以上三式称为空间汇交力系的平衡方程,平面汇交力系平衡的充要条件即平衡方程为：,二、力偶系的平衡条件与平衡方程,平衡方程为：,空间力偶系的平衡条件：,平面力偶系平衡的充要条件：所有各力偶矩的代数和等于零,平面力偶系的平衡方程,三、任意力系的平衡条件及平衡方程,所以空间任意力系的平衡方程为：,同时也有四矩式，五矩式和六矩式，各有一定限制条件。,一般式,任意力系的平衡条件为：力系的主矢和对任意点的主矩都等于零。,平面任意力系的平衡方程为：,一般式（一矩式）,平面任意力系平衡的解析条件是：所有各力在两个任选的坐标轴上投影的代数和分别等于零，以及各力对于任意一点的矩的代数和也等于零。,二矩式,A、B两点的连线，不得与投影轴(此处为x轴）垂直。,三矩式,A、B、C三点不得共线。,以上各式各有三个独立方程，最多只能求出三个未知数。,3-2平衡方程的应用,例31、已知P=2kN,CD为一根绳索，梁AB重量不计，求梁AB在A点和C点的受力。,解,1、取AB为研究对象,2、画出受力图,3、选投影轴，列平衡方程,由EB=BC=0.4m，,4、求解：,解：,例32、在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径的孔,每个钻头的力偶矩为m1=m2=m3=m4=15N.m。求工件的总切削力偶矩和A、B端反力?,2、画受力图,3、列平衡方程,4、求解,1、选研究对象,一、总切削力偶矩,二、求反力,例33、已知：AB=3m,AE=AF=4m,Q=20kN;求：绳BE、BF的拉力和杆AB在A点所受力。,解：,1、取研究对象,先研究铰链C再AB杆,2、画受力图,3、选投影轴，列平衡方程及求解,研究C点：,研究B点：,解：,2、作受力图,3、选投影轴，列方程求解,例34、已知：正方体上作用两个力偶:（F1,F1）,（F2,F2）,CDAE,不计正方体及直杆重量。求正方体平衡时F1和F2之间的关系和两根杆受力。,解得,1、选研究对象,例已知如图P、Q，求平衡时=？地面对球的约束反力ND=？,解：研究球受力如图，选投影轴列方程为,由得,由得,例3-5、已知：P,a,求：A、B两点的支座反力？,解：,2、画受力图,1、取研究对象,3、选矩心及投影轴，列平衡方程,4、求解,矩心取在尽可能多的未知力的交点上,两未知力交点,解：,2、画受力图,1、取研究对象,3、选矩心及投影轴，列平衡方程,例37、已知：AB杆,AD,CB为绳,A、C在同一垂线上，AB重80N，A、B光滑接触，ABC=BCB=600,且AD水平，AC铅直。求平衡时，绳的拉力及A、B点的受力。,解：,2、作受力图,3、选投影轴及矩轴列方程求解,先考虑投影方程再考虑力矩方程,1、选研究对象,几点讨论：,根据题意选择研究对象。,分析研究对象的受力情况，正确地画出其受力图。,研究对象与其他物体相互连接处的约束，按约束的性质表示约束反力。,正确地运用二力杆的性质和三力平衡定理来确定约束反力的方位。,两物体之间相互作用的力要符合作用与反作用定律。,用解析法求解时，应适当地选取坐标轴。为避免解联立方程，可选坐标轴与未知力垂直。根据计算结果的正负判定假设未知力的指向是否正确。,独立方程数目未知力数目时，是静定问题（可求解）独立方程数目未知力数目时，是超静定问题（静不定问题）,3-3物体系的平衡静定和超静定问题,一、静定与静不定问题的概念,例,静不定问题在强度力学（材力,结力,弹力）中用位移谐调条件来求解。,静定（未知数三个）静不定（未知数四个）,图示结构中哪个为静不定结构？,静定,静不定,静不定,例,二、物体系统的平衡问题,外力：外界物体作用于系统上的力叫外力。内力：系统内部各物体之间的相互作用力叫内力。,物体系统（物系）：由若干个物体通过约束所组成的系统叫。,物系一般处于静止状态,设物系中有n个物体，如果每个物体都受平面任意力系作用，则每个物体可列3个平衡方程，整个系统可列3n个方程。,物系平衡系统中每个物体平衡以及其中某几个物体组成的新系统都是平衡的；,物体系统平衡的特点：,若系统中有的物体受平面汇交力系、平面平行力系、平面力偶系或共线力系，则系统的平衡方程的数目相应减少。,解物系问题的一般方法：,先求局部再求整体时，一般先选取受主动力作用、受力尽可能少的局部！,注意：,例38、已知:F=20kN,q=10kN/m,M=20kN.m,l=1m;,求：A,B处的约束力。,解：,1、取研究对象,先研究CD杆，再研究AC、CD杆组成的系统,3、选矩心及投影轴，列平衡方程及求解,2、画受力图,研究CD杆：,解得：,研究AC、CD杆组成的系统,解得：,例39:已知：图示梁，求：A、B、C处约束力。,解：,1、取研究对象,先研究CB杆，再研究整体（或AC杆）,2、画受力图,3、选矩心及投影轴，列平衡方程及求解,研究CB杆：,研究整体：,解得：,解得：,例310、已知：OA=R,AB=l,当OA水平时，冲压力为P时，求：1、M；2、O点的约束反力；3、AB杆的受力；4、冲头给导轨的侧压力。,解：,1、取研究对象,先研究冲头，再研究整体（或轮）,3、选矩心及投影轴，列平衡方程及求解,2、画受力图,研究冲头：,解得：,研究整体：,解得：,例311、已知各杆均铰接，B端插入地内，P=1kN，AE=BE=CE=DE=1m，杆重不计。求AC杆的受力和B点的反力？,解：,1、取研究对象,先研究整体，再研究CD杆,3、选矩心及投影轴，列平衡方程及求解,2、画受力图,研究整体：,解得：,研究CD杆：,解得：,例312、已知：连续梁上，P=10kN,Q=50kN,CE铅垂,不计梁重。求：A,B和D点的反力。,解：,1、取研究对象,先研究小车，再研究CD杆，最后研究整体,3、选矩心及投影轴，列平衡方程及求解,2、画受力图,研究小车,解得：,研究CD,解得：,研究整体：,解得：,3-4考虑摩擦时的物体平衡问题,考虑摩擦时的平衡问题，求解物体平衡问题的步骤与前几章所述大致相同，但有如下的几个特点：1分析物体受力时，必须考虑接触面切向的摩擦力Fs。2列补充方程，即。3由于物体平衡时摩擦力有一定的范围，即。,例1已知：a=30，G=100N，f=0.2。求：物体静止时，水平力Q的平衡范围；当水平力Q=60