《误差理论与测量平差基础教学课件》第十八讲

第五章平差模型理论和平差结果的统计性质,主要内容：,概括平差模型,函数模型和随机模型的误差,平差结果的统计性质,误差椭圆,第五章平差模型理论和平差结果的统计性质,一、概括平差模型,1.平差模型,函数模型,随机模型,一、概括平差模型,1.平差模型,A.当A0，C0时，为条件平差,B.当C0时，为具有参数的条件平差,C.当BI，C0时，为参数平差,D.当BI时，为具有条件的参数平差,第五章平差模型理论和平差结果的统计性质,一、概括平差模型,2.法方程及其解,第一步：构造极值函数,第五章平差模型理论和平差结果的统计性质,一、概括平差模型,2.法方程及其解,第二步：极值函数求导,转置得到法方程,第五章平差模型理论和平差结果的统计性质,一、概括平差模型,2.法方程及其解,第三步：联立第一个条件方程，求解联系数K,解得,第四步：将K带入第二个法方程，求未知参数X,第五章平差模型理论和平差结果的统计性质,一、概括平差模型,2.法方程及其解,第五步：将X带入第二个条件方程，求联系数Ks,第五章平差模型理论和平差结果的统计性质,一、概括平差模型,3.各种平差方法的共性和特性,共性,所有模型中，未知参数个数多于方程个数；采用最小二乘原理获得唯一解；不同方法解的的结果一致；解的统计性质相同。,第五章平差模型理论和平差结果的统计性质,一、概括平差模型,3.各种平差方法的共性和特性,特性：没有一种方法一致优于其它方法！,例如参数平差中：实际中最多采用；误差方程式形式统一，规律性强，便于编程；所选参数往往是平差后需要的结果，如水准网中的高程，三角网中的坐标。其它方法也各有特点，如附有参数的条件平差可求得非观测量平差值,第五章平差模型理论和平差结果的统计性质,二、函数模型和随机模型的误差,1.定义,函数模型：在测量平差中，描述观测值之间、观测值与参数之间、以及参数之间数学期望关系的模型称为函数模型；例如，参数平差,第五章平差模型理论和平差结果的统计性质,二、函数模型和随机模型的误差,1.定义,随机模型：描述观测值精度特性的模型称为随机模型,我们把上两种模型合称满秩的高斯马尔可夫线性模型；随机模型由第一章方法确定，得到的协方差阵称为验前协方差。,第五章平差模型理论和平差结果的统计性质,二、函数模型和随机模型的误差,2.模型误差,所建立的数学模型与客观现实所存在的差异。包括函数模型误差和随机模型误差。,M模型误差M0建立的数学模型W未知的客观事实,第五章平差模型理论和平差结果的统计性质,二、函数模型和随机模型的误差,2.模型误差,函数模型误差产生于我们把握客观现实的局限性。可以采用假设检验方法对未知参数的作用进行显著性检验，以选择合适的函数模型。,随机模型误差主要来自于观测量先验权矩阵确定的不正确。可以用方差协方差分量估计方法来改善随机模型。,二者相互影响、相互吸收,第五章平差模型理论和平差结果的统计性质,三、平差结果的统计性质,1.估计量的无偏性,第五章平差模型理论和平差结果的统计性质,三、平差结果的统计性质,2.估计量是VTPV唯一的极小值点,第五章平差模型理论和平差结果的统计性质,三、平差结果的统计性质,3.估计量具有最小方差性,现证明的方差最小,协方差阵,第五章平差模型理论和平差结果的统计性质,三、平差结果的统计性质,3.估计量具有最小方差性,设X1为X的任一线性无偏估计,又因为,第五章平差模型理论和平差结果的统计性质,三、平差结果的统计性质,3.估计量具有最小方差性,故,应用方差传播公式,第五章平差模型理论和平差结果的统计性质,三、平差结果的统计性质,3.估计量具有最小方差性,将,代入后两项,第五章平差模型理论和平差结果的统计性质,三、平差结果的统计性质,3.估计量具有最小方差性,最后得,估计量为最优线性无偏估计量,第五章平差模型理论和平差结果的统计性质,三、平差结果的统计性质,4.单位权中误差为单位权方差的无偏估值,以上无偏性、唯一性、最小方差（最优性）和单位权中误差的无偏性要求会证明,第五章平差模型理论和平差结果的统计性质,四、误差椭圆,1.点位误差,坐标真值,坐标平差值,点位真误差,第五章平差模型理论和平差结果的统计性质,四、误差椭圆,1.点位误差,由无偏性,根据方差定义,第五章平差模型理论和平差结果的统计性质,四、误差椭圆,1.点位误差,u：横向误差,点位误差可表示成纵、横向误差形式,s：纵向误差,第五章平差模型理论和平差结果的统计性质,四、误差椭圆,1.点位误差,表示成中误差形式,第五章平差模型理论和平差结果的统计性质,四、误差椭圆,1.点位误差,点位误差虽然可以用来评定待定点的点位精度，但它却不能代表该点在任意方向的误差大小。而上面提到的坐标误差和纵、横向误差，只代表了特定方向的误差大小。有些情况下，要研究某些特殊方向的误差大小，以及哪一个方向误差最大、最小等。误差椭圆可以较精确、形象而全面的反映待定点在各个方向上误差分布情况。,2.点位误差的最大最小值及其方向,（1）任意方向的点位误差,为求P点在某一方向上的点位误差，需先找出P点在方向上真误差和与的关系,任意方向的点位误差,第五章平差模型理论和平差结果的统计性质,四、误差椭圆,2.点位误差的最大最小值及其方向,展开为,1、大小取决于权倒数和旋转角度的大小,2、x、y方向分别是a等于0度、90度等时的特殊形式,3、上式有最大最小值存在,第五章平差模型理论和平差结果的统计性质,四、误差椭圆,2.点位误差的最大最小值及其方向,（2）点位误差最大和最小值,角度取不同的方向，使得点位误差取得最大最小值，即该方向的权倒数取得最大最小值,极值的求法：直接对上式求导得a值，回代求极值；上式权逆阵的两个特征值即是极值。,第五章平差模型理论和平差结果的统计性质,四、误差椭圆,2.点位误差的最大最小值及其方向,由此可得P点点位误差的最大值和最小值为,第五章平差模型理论和平差结果的统计性质,四、误差椭圆,2.点位误差的最大最小值及其方向,3）最大值和最小值的方向,两方向相差90度,第五章平差模型理论和平差结果的统计性质,四、误差椭圆,3.误差曲线,以不同的和为极坐标点的轨迹构成一闭合曲线，该图形是关于E和F对称的。该曲线称为点位误差曲线（点位精度曲线）,误差椭圆部分,1、误差椭圆的含义及其应用,第五章平差模型理论和平差结果的统计性质,2、误差椭圆特征值的计算,学员科技创新题目,1、半参数模型在测量数据处理中的应用,2、最小二乘配置方法在地壳形变分析中的应用,3、中国大陆水平运动协方差函数研究,4、误差理论与测量平差基础课程设计,5、GPS导航、定位、仿真等相关技术研究,第五章平差模型理论和平差结果的统计性质,四、误差椭圆,3.误差曲线,该图表示P点的误差曲线,第五章平差模型理论和平差结果的统计性质,四、误差椭圆,4.误差椭圆,任意方向的点位误差：。P0为切点，D为垂点,E、F和方向角,精度曲线不是典型曲线，影响了实用价值。一般以点位的误差椭圆代替，更为直观,第五章平差模型理论和平差结果的统计性质,四、误差椭圆,说明：,1、误差椭圆直观的反映了各方向点位误差的大小，也代表了点位的精度,2、误差椭圆更能直观的反映一个网中各点的整体精度的情况,3、误差椭圆常用于工程测量放样以及形变分析和工程控制网的优化设计,第五章平差模型理论和平差结果的统计性质,四、误差椭圆,4.相对误差椭圆,设两点间的坐标差,误差椭圆研究的是相对于起始点的精度，有时候我们需要了解两个待定点之间相对位置的精度情况,第五章平差模型理论和平差结果的统计性质,四、误差椭圆,4.相对误差椭圆