概率论与数理统计 山东经济学院 第一章 第二节

1.2事件的概率,1.2.1概率的初等描述,概率的直观定义：在随机试验中，事件发生的可能性大小的数量指标。记为P（A）,例：E-掷硬币，A=正面朝上，B=反面朝上,结论：,古典概型是一种计算概率的数学模型，它是在概率论的发展过程中最早出现的研究对象。,*引例,例1一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球，编号分别为110，现从中任取一球。,用i表示取到i号球，i=1,2,10，则该实验的样本空间=1,2,10（有限多个样本点）,且每个样本点出现的可能性相同（1/10）。,1.2.2古典概型,另如：1掷一枚均匀的硬币（1）有2个可能的结果（2）每个结果的出现都是等可能的2掷一枚均匀的骰子（1）有6个可能的结果（2）每个结果的出现都是等可能的3在5个白球3个黑球任取2个（1）有个可能的结果（2）每个结果的出现都是等可能的,若一随机试验满足下述两个条件：,1)样本空间只含有有限多个样本点（有限性）；,2）每个样本点出现的可能性相等（等可能性）。,则称这种随机试验为古典概型,即：=1，2，n,即：对每个i=1，2，n有：P(1)=P(2)=P(n)=1/n,这是一类最简单却是常见的随机试验。,古典概型定义,古典概型中事件概率的计算,例2一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球，假设10个球中有7个是白色的，3个是红色的，现从中任取一球。A=取得白球，B=取得红球因此，很自然地定义,P(A)=7/10P(B)=3/10,概率的古典定义,在古典概型中，如果样本空间含n个样本点（基本事件）事件A的有利样本点为m个，则定义事件的概率P(A)为：,称此概率为古典概率。,求概率问题,记数问题,举例1摸球问题（组合问题）例1一袋中有大小、形状完全相同的5个白球4个黑球，从中任取3个球求：（1）恰有2个白球1个黑球的概率（2）没有黑球的概率（3）颜色相同的概率解设A=任取3个球，恰有2个白球1个黑球B=任取3个球，没有黑球C=任取3个球，颜色相同P（A）=P（B）=P（C）=,另如：1o52张牌中任取4张,求（1）2张红桃，1张方块，1张黑桃的概率（2）没有A的概率（3）4张大小相同的概率,2o一批产品100个，一、二、三、次品各为20、30、40、10个，求（1）任取5个均为一等品的概率（2）任取3个其中2个一等品，1个三等品的概率,3oP37习题第6、7、8、9、15、16题,2排队问题（不可重复的排列问题）例1一套五卷的选集，随机的放到书架上，求各册自左向右或自右向左卷号恰为1、2、3、4、5顺序的概率。解设A“各册自左向右或自右向左卷号恰为1、2、3、4、5顺序”样本空间包含的基本事件总数n=5！=120事件A中包含的基本事件个数m=2所以,例2（P37第12题）把10本书任意地放在书架上，求其中指定的3本书放在一起的概率设A其中指定的三本书放在一起则P（A）=,P37习题第13、14题,3分房问题(生日问题)（可重复的排列问题）例1（P13例4）两封信随机地向标号为、的4个邮筒投寄。求：（1）前两个邮筒各投入1封信的概率（2）第个邮筒恰好投入1封信的概率（3）两封信投入不同邮筒的概率解设A前两个邮筒各投入1封信B第个邮筒恰好投入1封信C两封信投入不同邮筒而样本空间包含的基本事件总数n=42=16事件A中包含的基本事件个数mA=2!=2事件B中包含的基本事件个数mB=C21C31=6事件C中包含的基本事件个数mC=P42=12则P（A）=2/16P（B）=6/16P（C）=12/16,例2掷三枚骰子，求向上的点数全不相同的概率解设A向上的点数全不相同样本空间包含的基本事件总数n=63事件A中包含的基本事件个数mA=P63则P（A）=P63/63练习：P3710（1）=（2）（3）,P37习题第11题,4抓阄问题(抽签问题)例110人抓阄决定谁得到4张电影票，(10张阉)求（1）第一人抓到电影票的概率（2）第三人抓到电影票的概率解设A第一人抓到电影票B第三人抓到电影票1.不放回地抓（1）P（A）=4/10（2）法1考虑10人抽取的结果为一个基本事件，则P（B）=,法2考虑前3人抽取的结果为一个基本事件，则P（B）=,2.有放回地抓考虑10人抽取的结果为一个基本事件，则P(B)=考虑前3人抽取的结果为一个基本事件，则P(B)=,解：由于球除颜色外无其它区别，故每一个球被取到的可能性相同。总共可能的取法是：,例2袋中有a个白球，个黑球，从中任取一个，求（1）取出的球是白球的概率。,a+b种,设表示“取到的是白球”,注本例中的“球”可用其它东西代替，“颜色”也可以用其它性质代替。比如“球”被“产品”代替，“颜色”被“合格”或“不合格”代替等。,故：的样本点数aP()=样本点总数a+b,解：设“第m次取到白球”,（2）袋中有a个白球，个黑球，从中接连任意取出(1ma+b)个球，取出的球不放回，求第m次取出的球是白球的概率。,方法1：把a+b个球全部取出看作一个样本点，共有（a+b）！种取法。发生共有a1（a+b-1）！种取法，1a（a+b-1）！aP()=（a+b）！a+b,方法2：只考虑前m次取球的情况.共有mPa+b种取法。发生共有Ca1Pam-1+b-1种取法，故1m-1CaPa+b-1aP()=mPa+ba+b,注意：该结果与m无关考虑有放回地摸取，结果如何？,注：本例实质上也是抽签问题，结论说明按上述规则抽签，每人抽中白球的机会相等，同抽签次序无关。,解：设“他抽到会答考签”,例3抽签口试，共有a+b个考签，每个考生抽一张，抽过的不在放回。考生王某会答其中a个签上的问题，他是第k个抽签应考的人（ka+b)，求他抽到会答考签的概率。,1a（a+b-1）！aP()=（a+b）！a+b,注意：该结果与k无关,古典概型的优、缺点,优点：古典概率可直接按公式计算，而不必进行大量的重复试验。,缺点：有局限性：只能用于全部结果为有限个，且等可能性成立的情形。,一、定义（P14）1、度量（测度）：对某区域D（线段、平面图形、立体）的大小的一种数量描述（长度、面积、体积），用(D)表示2、几何概型设区域G区域，向区域内随机地（等可能地）投点，点落入G的概率与区域G的测度成正比，而与该区域在中的位置、形状无关，则称此概率模型为几何概型,1.2.3几何概型,3、几何概率的求法（P14）随机试验的样本空间的测度为()，区域G（）的测度为(G)，用A表示“在区域内任取一点，而该点落入区域G中”这一事件，则事件A的概率定义为P（A）=,例149路公共汽车每隔6分钟来一辆，现有某人在等车，问他等车不超过4分钟的概率。样本空间=0，6若设A等车不超过4分钟A=0，4P（A）=,例2（会面问题）甲乙两人约定在6时到7时之间在某处见面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去。假定每人在指定的1小时内任一时刻到达是等可能的，求两人能会面的概率。解设A两人能会面x甲到达约会地点的时刻y乙到达约会地点的时刻则样本空间=（x，y）|0x60，0y60A为区域G=（x，y）|0|x-y|15且G于是P（A）=,0,60,60,x,y,G,另解设A两人能会面x甲到达约会地点的时刻y乙到达约会地点的时刻则样本空间=（x，y）|6x7，6y7A为区域G=（x，y）|0|x-y|1/4，且G于是P（A）=,0,x,y,G,例3（P37第17题）甲乙两艘轮船向一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊，它们在一昼夜内到达的时刻是等可能的。如果甲乙两船的停泊时间都是一小时，求它们中的任何一艘都不需等候码头空出的概率。解设A它们中任何一艘都不需等候码头空出x甲船到达码头的时刻y乙船到达码头的时刻则样本空间=（x，y）|0x24，0y24A为区域G=（x，y）|x-y|1，且G于是P（A）=,1.2.4频率与概率1、频率的定义及性质1频率（定义1.1)：在n次重复试验中，若事件A发生了m次，则称m为事件A发生的频数，m/n为事件A发生的频率，记为n(A)2性质：（1）非负性对任意事件A，0n(A)1（2）规范性对于必然事件，有n()=1（3）可加性若事件A与B互不相容，则n(A+B)=n(A)+n(B),2、概率的统计定义定义1.1在相同的条件下，重复进行n次试验，事件A发生的频率稳定地在0到1之间的某一常数p附近摆动，且一般说来，n越大，摆动幅度越小，则称常数P为事件A的概率，记作P(A)注意（1）频率的稳定值为概率，所以，一般n充分大时，常用频率作为概率的近似值（2）概率是先于试验而存在的,设试验的样本空间为，设对每个事件A,都有一个实数P(A)与之对应，满足下列三条公理：,(2)规范性:P()=1,(3)完全可加性（可列可加性）:若Ak(k=1，2，)两两互不相容，则(Ai)=(Ai)i=1i=1,定义1.2(概率的公理化定义),(1)非负性:对于任一事件A，都有0P(A)1,则称函数P(A)为事件A的概率。,1.2.5概率的公理化定义,概率的主要性质,性质1不可能事件的概率为零，即P()=0,证明因=+，由公理得P()=P()+P()+，故p()=0,证明因：,性质2(有限可加性)若A1，A2，An两两互不相容，则,而：,故：,由公理3得,推论：若A1，A2，An构成完备事件组，则,性质4任给A，B两事件，则：P(AB)P(A)P(AB)若则：P(AB)P(A)P(B)P(A)P(B),证明因,由性质2有,即：,故：,证明：因,且(A-B)与AB互不相容，由性质2(有限可加性)，得P(A)P(A-B)P(AB)P(AB)P(A)P(AB),当时，有：AB=B，故有：P(AB)P(A)P(B),当时，有P(AB)P(A)P(B)0,则P(A)P(B),证明因：A+B=A+(B-AB)且A(B-AB)=（即：A与B-AB互不相容），由性质2(有限可加性)得：,性质加法公式P(A+B)P(A)P(B)P(AB),一般的加法公式:,代入上式得：P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB),P(B-AB)=P(B)-P(AB),又因AB包含于B，由性质4得：,P(A+B)=P(A+(B-AB)=P(A)+P(B-AB),推论：当A与B互不相容时P(A+B)P(A)P(B),解：设A表示“3个球中至少有2个白球”,例1：（课本P20例1)一袋内装有大小相同的7个球，其中4个白球，3个黑球。从中任取3个，求至少有2个白球的概率？,A1表示“3个球中正好有2个白球”,A2表示“3个球中正好有3个白球”,解：设A表示“至少有两件产品等级相同”,例2：（课本P21例3)一批产品共20件，其中一等品6件，二等品10件，三等品4件。从中任取3件，求至少有两件产品等级相同