云南省2019年中考数学面对面几何图形的证明与计算题库.docx

几何图形的证明与计算类型一 简单几何图形的证明与计算1.如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与A，B重合），连接DE，点A关于DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EHDE交DG的延长线于点H，连接BH（1）求证：GF=GC；（2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明；（3）若正方形ABCD的边长为4，取DH的中点M，请直接写出线段BM长的最小值第1题图证明：（1）如解图，连接DF，四边形ABCD是正方形，DA=DC，A=C=90，点A关于直线DE的对称点为F，ADEFDE， 第1题解图DA=DF=DC，DFE=A=90，DFG=90，在RtDFG和RtDCG中，DFGDCG（HL），GF=GC；（2）结论：BH= AE，证明如下：证法一：如解图，在线段AD上截取AM，使AM=AE， 第1题解图AD=AB，DM=BE，由（1）知：1=2，3=4，ADC=90，1+2+3+4=90，22+23=90，2+3=45，即EDG=45，EHDE，DEH=90，DEH是等腰直角三角形，AED+BEH=AED+1=90，DE=EH，1=BEH，在DME和EBH中， ，DMEEBH（SAS），EM=BH，RtAEM中，A=90，AM=AE，EM=AE，BH=AE；（3） 如解图中，取DE的中点O，连接OM，OA，AM，EMDEH是等腰直角三角形，DM=HM，EM=DM=HM，EMDM，DAE=DME=90，OD=OE，DO=OA=OE=OM，A，D，M，E四点共圆， 第1题解图MAB=MDE=45，DAM=MAB，点M在正方形的对角线AC上，当BMAM时，BM的值最小，最小值为22.如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F，连结AF、CE（1）试判断四边形AFCE的形状，并说明理由；（2）若AB=5，2AE=3BF，求EF的长；（3）连结BE，若BECE，求的值. 第2题图解：（1）四边形AFCE是菱形理由：四边形ABCD是矩形，ADBC，AD=BC，EAO=FCO，EF是AC的垂直平分线，AO=CO，EOA=FOC=90，在AEO和CFO中，AEOCFO（ASA），AE=CF，四边形AFCE是平行四边形，又ACEF，四边形AFCE是菱形；（2）2AE=3BF，可以假设AE=3m，BF=2m，四边形AECF是菱形，AF=AE=3m， 第2题解图在RtABF中，AB2+BF2=AF2，25+4m2=9m2，m=AF=FC=，BF= ，BC= ，四边形ABCD是矩形，ABC=90，AC=,OC=,tanOCF=,OF=AEOCFOOE=OF,EF=2OF=.（3）设AE=a，BF=b则AF=CF=EC=a，BC=a+b，BF=DE=b四边形ABCD是矩形，ADCB，DEC=BCE，BECE，BEC=D=90，CDEBEC， ， ，b2+aba2=0，+1=0（舍弃）.3. (1)已知：ABC是等腰三角形，其底边是BC，点D在线段AB上，E是直线BC上一点，且DECDCE，若A60(如图)求证：EBAD；(2)若将(1)中的“点D在线段AB上”改为“点D在线段AB的延长线上”，其它条件不变(如图)，(1)的结论是否成立，并说明理由；(3)若将(1)中的“若A60”改为“若A90”，其它条件不变，则的值是多少？(直接写出结论，不要求写解答过程)第3题图(1)证明：如解图所示，过点D作DFBC交AC于点F，则ADAF，FDCDCE，A60，DFADAF，又DEBDCE，FDCDEB，第3题解图又EDCD，DBEDFC120，DBECFD(AAS)，EBDF，EBAD.(2)解：EBAD成立理由如下：如解图所示，过点D作DFBC交AC的延长线于F，则ADAFDF，FDCECD，又DECECD，FDCDEC，EDCD，又DBEDFC60，第3题解图DBECFD(AAS)；EBDF，EBAD.(3) 解：. 【解法提示】过点D作BC的垂线，根据等腰直角三角形的性质，可以得出线段间关系，进而求得所需答案.类型二 涉及动点、平移、折叠、旋转的几何图形的证明与计算4. 如图，正方形ABCD，将边CD绕点C顺时针旋转60，得到线段CE，连接DE，AE，BD，AE与BD交于点F（1）求AFB的度数；（2）求证：BF=EF； 第4题图解：（1）四边形ABCD是正方形，ADB= ADC=45，由旋转得：CD=CE，DCE=60，DCE是等边三角形，CD=DE=AD，ADE=90+60=150，DAE=DEA=15，AFB=FAD+ADB=15+45=60；（2）如解图，连接CF，CDE是等边三角形，DEC=60，DEA=15， 第4题解图CEF=CBF=45，四边形ABCD是正方形，AD=CD，ADF=CDF=45，DF=DF，ADFCDF（SAS），DAF=DCF=15，FCB=9015=75，ECF=60+15=75，FCB=ECF，CF=CF，ECFBCF（SAS），BF=EF；5、如图，点O是等边ABC内一点，将BOC绕点C按顺时针方向旋转60得ADC，连接OD.已知AOB110.(1)求证：COD是等边三角形；(2)当150时，试判断AOD的形状，并说明理由；(3)探究：当为多少度时，AOD是等腰三角形第5题图(1)证明：由旋转的性质可得，COCD，OCD60，COD是等边三角形；(2)解：当150，即BOC150时，AOD是直角三角形理由如下：BOCADC，ADCBOC150，又COD是等边三角形，ODC60，ADO90，即AOD是直角三角形；(3)解：分三种情况讨论：AOAD，AODADO，AOD360AOBCOD36011060190，ADO60，19060，125；OAOD，OADADO，AOD190，ADO60，OAD180(AODADO)50，6050，110；ODAD，AODOAD，19050，140；综上所述：当的度数为125或110或140时，AOD是等腰三角形6.如图，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F.(1)求证：BDF是等腰三角形；(2)如图，过点D作DGBE，交BC于点G，连接FG交BD于点O.判断四边形BFDG的形状，并说明理由；（3）在（2）的基础上，若AB6，AD8，求FG的长第6题图 (1)证明：由折叠的性质可得，DBCDBF，四边形ABCD是矩形，ADBC，ADBDBC，DBFADB，BFDF，BDF是等腰三角形；(2)解：四边形BFDG是菱形理由：四边形ABCD是矩形，ADBC，即DFBG，DGBF，四边形BFDG是平行四边形，BFDF(1)中已证)，平行四边形BFDG是菱形；（3）解：矩形ABCD中AB6，AD8，A90，BD10，四边形BFDG是菱形，BDGF，GF2OF，BD2OD，OD5，tanADB =，OF，FG.7.如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE3，动点F在边BC上，且不与点B，C重合，将EBF沿EF折叠，得到EBF.(1)当BEF45时，求证：CFAE；(2)当BDBC时，求BF的长；(3)求CBF周长的最小值第7题图 (1)证明：如解图，第7题解图当BEF45时，易知四边形BEBF是正方形，BFBE，ABBC，CFAE；(2)解：如解图，作BNBC于点N，NB的延长线交AD于点M，作EGMN于点G，则四边形MNCD、四边形AEGM都是矩形第7题解图BDBC，BDCBCD，ADCBCD90，BDMBCN，BMDBNC90，BMDBNC(AAS)，BMBN8，AEMG3，GB5，在RtEGB中，EG12，EBGFBN90，FBNBFN90，EBGBFN，EGBFNB90，EGBBNF，BFBF；(3)解：如解图，以E为圆心，EB为半径画圆，连接EC，在RtEBC中，EBC90，EB13，BC16，第7题解图EC5，CFB的周长CFFBCBBFCFCBBCCB16CB，欲求CFB的周长的最小值，只要求出CB的最小值即可，CBEBEC，当E、B、C共线时，CB的值最小，CB最小值是为513.CFB的周长的最小值为35.8.如图，在RtABC中，ACB90，AC6，BC8，点D以每秒1个单位长度的速度由点A向点B匀速运动，到达B点即停止运动M，N分别是AD，CD的中点，连接MN.设点D运动的时间为t.(1)判断MN与AC的位置关系；第8题图(2)求在点D由点A向点B匀速运动的过程中，线段MN所扫过区域的面积；(3)若DMN是等腰三角形，求t的值解：(1)MNAC.证明：在ADC中，M是AD的中点，N是DC的中点，MNAC；(2) 如解图，分别取ABC三边中点E，F，G并连接EG，FG，第8题解图根据题意，可知线段MN扫过区域的面积就是平行四边形AFGE的面积AC6，BC8，AE3，GC4，ACB90，SAFGEAEGC12，线段MN扫过区域的面积为12；(3)依题意可知，MDAD，DNDC，MNAC3.分三种情况讨论：()当MDMN3时，DMN为等腰三角形，此时ADAC6，t6.()当MDDN时，ADDC.如解图，过点D作DHAC于点H，则AHAC3，第8题解图cosA，AB10，AC=6，即.tAD5.()当DNMN3时，ACDC，如解图，连接MC，则CMAD.第8题解图cosA，即，AM，tAD2AM.综上所述，当t5或6或时，DMN为等腰三角形类型三 涉及探究类问题的几何图形的证明与计算9. 如图，在ABC中，BCAC，点E在BC上，CECA，点D在AB上，连接DE，ACBADE180，作CHAB，垂足为H.(1)如图，当ACB90时，连接CD，过点C作CFCD交BA的延长线于点F.求证：FADE；请猜想三条线段DE、AD、CH之间的数量关系，直接写出结论；(2)如图，当ACB120时，三条线段DE、AD、CH之间存在怎样的数量关系？请证明你的结论第9题图(1)证明：ACBADE180，CADCED360180180，CADCAF180，CAFCED，CFCD，ACB90，DCFACB90，ECD=90ACD，ACF90ACDECD，在AFC和EDC中，AFCEDC(ASA)，FADE；解：DEAD2CH；【解法提示】由得FADE，AFCEDC，CFCD，CFCD，CFDCDF45，CHFD，CHHDFH，FDFAADDEAD2CH.(2)解：三条线段DE，AD，CH之间的数量关系是：DEAD2CH.证明：延长BA到点F，使AFED，连接CF，CD，如解图，ACBADE180，CADCED360180180，第9题解图CADCAF180，CAFCED.在AFC和EDC中，AFCEDC(SAS)，CFCD，ACFECD，FCDACFACDECDACDACB120，CFCD，CHDF，FHDHDF(AFAD)(DEAD)，HCDFCD60，tanHCD，DHCH，DEADAFAD2DH2CH.10. ABC中，ABAC，G为BC的中点，P，A在直线BC的同侧，PGBC，直线BP与直线AC相交于点D，直线CP与直线AB相交于点E，且BAC2PBC.(1)当点P在AB边上时(如图)，E与P重合，D与A重合，则线段BE与线段CD之间的数量关系是_；(2)当点P在ABC内(如图)时，线段BE与线段CD有何数量关系？并证明你的结论； 第10题图解：(1)BECD；【解法提示】PGBC，G为BC的中点；PBPC，PBCPCB，APCPBCPCB2PBC，BAC2PBC，APCPAC，C