线性代数5-4.正交矩阵

4正交矩阵,1.内积的概念,定义4.1设有n维实向量,规定（，）=a1b1+a2b2+anbn,称（，）为向量与的内积。(1),4.1、实向量的内积与长度,2）内积是向量的一种运算，可用距阵的运算。,列向量：(,)=T;,行向量：(,)=T。,2.内积的性质：,设，为n维实向量，为实数。,性质1(,)=(,);,性质2(,)=(,);,性质3(+,)=(,)+(,)；,1）内积是一个数（或是一个多项式）。,性质4当0时，(,)0。,显然，(0,0)=0，由此便知实向量=0的充分必要条件是(,)=0。,3.向量的范数与夹角,1）向量的范数(长度),定义4.2令,称x为n维向量x的范数。,2）范数的性质,i）非负性当x0时,x0；当x=0时,x=0；,ii）齐次性x=x；,3）单位向量,为单位向量。,称x=1时的向量x为单位向量。任意0,P1364.2正交向量组,定义4.3设x、y为n实维向量,当（x,y）=0时，称x与y正交。记作xy。,若x=0,则x与任何向量都正交。反之，若x与任何向量都正交，则x=0.,定义4.4:如果一组非零向量两两正交，则称这组向量为正交向量组。简称为正交组。,如果一个向量组仅含一个向量，当0时，则规定该向量组为正交组。,解因为1,2,3均为非零向量,并且(1,2)=0,(1,3)=0,(2,3)=0,即1,2,3两两正交，所以该向量组是正交组。,是否为正交向量组。,P136例1判断实向量组,取i(i=1,2,r)在上式的两端作内积。,（11+22+rr，i）=（0,i），,定理4.1若n维向量1,2,r是一组两两正交,11+22+rr=0,证明设有,使,的非零向量,则1,2,r线性无关。,(i=1,2,r)于是向量组1,2,r线性无关.,因i0,故(i,i)=|i|20,从而必有i=0,亦即ii,i=0。,ii,i=0，,从而,P136定义4.5如果一个正交向量组中每个向量都是单位向量，则称该向量组为一个单位正交向量组，简称单位正交组（或标准正交组、规范正交组）。,由上述定义可知，n维实向量组1,2,s为单位正交组的充分必要条件是,显然n维基本向量组e1,e2,en是单位正交向量组。,把一组线性无关的实向量组1,2,s正交化，即求与1,2,s等价的正交向量组1,2,s是一项很有实用价值的工作，下面我们将介绍Schmidt逐步正交化方法。其具体步骤(参见书P137）,设,是线性无关的向量组，,即合所求的正交向量组。,例2设,试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化。,解取,解:,1，2应满足3Tx=0的非零解,即,它的基础解系为,取b1=1,则3与1，2正交，显然1与2线性无关，因此可用施密特标准正交化.,令,再把3单位化，得,4.3正交矩阵与正交变换,1.正交矩阵,定义4.6如果n阶矩阵A满足,那么称A为正交矩阵.,将矩阵A按列分块,即,则E。,亦即,这说明方阵A为正交矩阵的充分必要条件是A的列向量都是两两正交的单位向量。同理可得方阵A为正交矩阵的充分必要条件是A的行向量都是两两正交的单位向量。,定理4.2n阶实矩阵A为正交矩阵的充分必要条件是A的行（列）向量都是两两正交的单位向量。,例4设e1,e2,en是标准正交组，A为正交矩阵。试证Ae1,Ae2,Aen也是一个标准正交组。,证明由于e1,e2,en是标准正交组，所以,故Ae1，Ae2，Aen也是一个标准正交组。,推论4.1n阶实矩阵A为正交矩阵的充分必要条件是A-1=AT.,正交矩阵具有如下的性质：P140,性质1若A是正交矩阵，则-A也是为正交矩阵；,性质2若A是正交矩阵，则AT（A-1）也是正交矩阵；,性质3若A、B都是n阶正交矩阵，则AB也是n阶正交矩阵；,性质4若A是正交矩阵，则必有|A|=1或|A|=-1。,性质5若A是正交矩阵,则,2.正交变换P140,定义4.7（修改）设P为正交矩阵，则线性变换y=Px称为正交变换。,设y=Px为正交变换，则有,x表示向量长度,x=y说明经正交变换