线性代数1-4、5-矩阵秩与初等变换

教学目的：通过本节的教学使学生理解矩阵初等变换和初等方阵的概念,掌握矩阵初等变换、初等方阵的性质，会用矩阵的初等变换化矩阵为阶梯型、最简型和标准形.,教学要求：理解矩阵初等变换和初等方阵的概念,掌握矩阵初等变换、初等方阵的性质，会用矩阵的初等变换化矩阵为阶梯型、最简型和标准形.,教学重点：矩阵的初等变换和初等方阵的理论，会用矩阵的初等变换化矩阵为阶梯型、最简型和标准形.,教学难点：矩阵初等变换的理论和初等方阵的关系.,5矩阵的初等变换,矩阵的初等变换是矩阵论中最重要的变换手段，也是线性代数的一个重要工具，在求矩阵的秩、解线性方程组、求向量组的极大无关组及各向量间的线性关系、求逆矩阵以及化二次型为标准形等方面有着极其重要的应用。,引例,一、消元法解线性方程组,求解线性方程组,分析：用消元法解下列方程组的过程,解,用“回代”的方法求出解：,于是解得,（2）,小结：,1上述解方程组的方法称为消元法,2始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换,（1）交换方程次序；,（2）以不等于的数乘某个方程；,（3）一个方程加上另一个方程的k倍,（以替换）,（以替换）,3上述三种变换都是可逆的,由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的故这三种变换是同解变换,因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算,若记,则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方程组（1）的增广矩阵）的变换,定义5下面的三种变换称为矩阵的初等行变换：(i).对调两行（对调i、j行，记作rirj）（换法变换）(ii).以非0数k乘以某一行的所有元素；（第i行乘k，记作kri）（倍法变换）(iii).把某一行所有元素的k倍加到另一行对应的元素上去（第i行的k倍加到第j行上，记作rj+kri）（消法变换）,二、矩阵的初等变换,把定义中的“行”换成“列”，即得矩阵的初等列变换的定义（所用的记号分别为）。矩阵的初等行变换和初等列变换，统称为初等变换。显然，每一种初等变换都是可逆的，并且其逆变换也是同一种初等变换。,三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的初等变换,定义如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B，则称矩阵A与矩阵B等价(Equivalent)，记为AB。,矩阵A与矩阵B等价,根据定义不难证明，矩阵的等价满足下述性质：a)反身性：AA；b)对称性：若AB，则BA；c)传递性：若AB，而BC，则AC。,(取k=1作倍法初等变换即可),(初等变换都是可逆的),(将两次的初等变换合并到一起对A作用即可),具有上述三条性质的关系称为等价,例如，两个线性方程组同解，,就称这两个线性方程组等价,定理5.1,(证明过程见教材28页),例5.1求矩阵,的标准形矩阵.,解对矩阵A施初等行变换,为A的标准形矩阵.,在例1的计算中，我们既使用了初等行变换，也是用了初等列变换.但在某些场合只允许使用初等行变换.例如，引例中求解方程组的过程对应到相应的矩阵上来，即有,1)行阶梯形矩阵：,行阶梯形矩阵的特点是：,1）矩阵的所有元素全为0的行（如果存在的话）都集中在矩阵的最下面；2）每行左起第一非零元素（称为首非零元）的下方元素全为0.,形象地说，可以在该矩阵中画一条阶梯线，线的下方元素全为0；每个阶梯仅有一行，阶梯数即是非零行的行数；阶梯线的竖线后面的第1个元素即为首非零元.,2)行最简形矩阵：,一个矩阵的行最简形矩阵是唯一的.要解线性方程组,只须把增广矩阵化为行最简形矩阵.,结论设A为mn矩阵，则A必可用初等行变换化为行阶梯形矩阵.,行最简形矩阵的特点是：非零行的首非零元为1，且这些首非零元所在的列的其它元素全为0.,对行最简形矩阵再进行初等列变换，可得到矩阵的标准形，其特点是：左上角是一个单位矩阵，其余元素都为0,例如,矩阵的标准形,请大家思考一下：矩阵A的行阶梯形、行最简形是否唯一？为什么？,定理5.2,(请大家自证之.),三、初等矩阵,1、初等矩阵的概念,定义5.2由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.,1）初等换法矩阵：对调两行（列）,第i行,第行,2）初等倍法矩阵：以数k乘以某行（列）,第i行,3）初等消法矩阵：以数k乘以某行（列）加到另一行（列）上去,第i行,第行,例5.2设,求P(1,3)A；AP(1,3)；P(2k)A；AP(1,3k).,解将矩阵A按行分块得,按列分块得,由矩阵的分块乘法运算有,可以直接验证，初等矩阵的转置矩阵仍为同类型的初等矩阵；初等矩阵均可逆且其逆阵任为同类型的初等矩阵（详见第三章）矩阵初等变换与初等矩阵有着非常密切的关系，容易证明下述定理5.3成立。,2.初等矩阵的性质,说明:,对矩阵A施行一次初等行（列）变换与用相应的初等矩阵左（右）乘A是等价的。,值得注意的是：,左乘消法矩阵时变化A的第i行，右乘消法矩阵时变化A的第j列.,3.初等矩阵的有关定理,定理5.3用初等矩阵左乘A，相当于对A进行相应的初等行变换；用初等矩阵右乘A，相当于对A进行相应的初等列变换.,小结：,1、深刻理解矩阵初等变换和初等方阵的概念.,2、会用矩阵的初等变换将矩阵化成阶梯形、最简形和标准形.,矩阵的初等变换是矩阵论中最重要的变换手段，也是线性代数的一个重要工具，在求矩阵的秩、解线性方程组、求向量组的极大无关组及各向量间的线性关系、求逆矩阵以及化二次型为标准形等方面有着极其重要的应用。,1.求A的标准形,解:,课堂练习：,G就是所求的标准形形矩阵（只需对行最简形作适当的初等列变换，就