离散数学ii(李占山)6.6环

6.6环,6.6.1环的定义6.6.2环的性质,6.6.1环的定义,设R是一个非空集合，其中有加法乘法两种二元代数运算，R叫做一个环，如果1)a+b=b+a，2)a+（b+c）=（a+b）+c，3)R中有一个元素0，适合a+0=a，4)对于R中任意a,有-a,适合a+（-a）=0，5)a（bc）=（ab）c，6)a（b+c）=ab+ac，（a+b）c=ac+bc。注意：环与群一样都可以只有一个元素构成。,说明,在本定义中的运算是二元代数运算。为了叙述和理解上的方便，通常将环中加法的单位元记为0，而将环中元素a关于加法的逆元称作a的负元，记作-a。如果环中关于乘法运算有单位元，就把这个单位元记作1，而将关于乘法的逆元（若存在的话）称为a的逆元，记作a-1。类似地，我们可以用a-b表示a+(-b)，na表示a的加法n次幂，即na=而用an表示a的乘法n次幂，即an=注意从本章第节开始规定，今后加法运算就是满足交换律的二元代数运算。,环的例,所有整数在整数的加法与乘法下作成一个环，叫做整数环。所有n阶矩阵在矩阵的加法与乘法下作成一个环，叫做矩阵环。实数域上的所有多项式在多项式加法与乘法下作成一个环，叫做多项式环。整数模n的所有剩余类集合在剩余类加法与乘法下作成一个环。所有有理数、所有实数、所有复数在数的加法与乘法下都分别作成环，常称为有理数域、实数域、复数域。,例子,S4的子群R=1,(12),(34),(12)(34)是个交换群。将1,(12),(34),(12)(34)分别记为0,a,b,c。规定R的两个运算+和*如下表则可以验证(R,+,*)是一个环。,性质1用数学归纳法，分配律可以推广如下：a（b1+bn）=ab1+abn，（a1+am）b=a1b+amb，如果环中乘法满足除分配律以外的其他算律，就得到一些特殊的环，我们逐步介绍。,6.6.2环的性质,环的性质,性质2a(c-b)=ac-ab，(c-b)a=ca-ba。证明：由a(c-b)+ab=a（c-b+b）=ac，得a(c-b)=ac-ab。同理，(c-b)a=ca-ba。性质3a0=0，0a=0。证明：由性质2，令b=c=0，得a0=a（0-0）=a0-a0=0，0a=（0-0）a=0a-0a=0，即,a0=0，0a=0。,证明续,证法二，可以直接利用环的定义进行证明如下：a0=a(0+0)=a0+a0,由于R对加法运算是群，因此元素a0有负元-a0，对等式两端同时加-a0，得到a0=0,同理可证0a=0。,性质4a（-b）=-（ab），（-a）b=-（ab），（-a）（-b）=ab。证明：由性质2，令c=0，即得a(-b)=a(0-b)=a0-ab=-(ab)，(-a)b=(0-a)b=0b-ab=-（ab）。因此，(-a)(-b)=-(a(-b)=-(-(ab)=ab。证法二：a(-b)+ab=a(-b+b)=a0=0,ab+a(-b)=a(b-b)=a0=0,即a(-b)是ab的负元。有负元的唯一性得到a(-b)=-(ab)，同理可证(-a)b=-(ab)，(-a)(-b)=ab。性质5对任意整数m，都有a(mb)=(ma)b=m(ab)。,环的性质,性质6am+n=aman，（am）n=amn。交换环:乘法适合交换律的环。性质7在交换环中，有第三指数律：（ab）n=anbn。性质8在交换环中二项式定理成立：(a+b)n=an+nan-1b+an-2b2+bn。用数学归纳法证明.,环的性质,如果R不只有一个元素而且有一个元素1适合对任意aR，1a=a1=a则称R为含壹环。从这个定义可以看出，含壹环至少有两个元素构成。如模的整数环。例.整数环为含壹环，所有偶数在数的加法和乘法下作成的环不是含壹环。,含壹环,性质9含壹环R的壹是唯一确定的。证明：若1、1为R的两个壹，则1=11=1。性质10设环R有1，则10。证明：取aR,且a0,则a0=0,而a1=a,故10。性质11任意环R均可扩充成一个含壹环R+。证明：令R+=a+m|aR，mZ。规定：（a+m）+（b+n）=（a+b）+（m+n）;（a+m）（b+n）=（ab+na+mb）+mn。则R+为环，其壹为0+1。,含壹环性质,例子,例设R=则R对矩阵的加法与乘法构成一个环(R,+,)。该环对乘法没有单位元1，通过扩充R得到的R+是一个含1环。,定义.若R是环,S是R的非空子集,若S在R的加法和乘法下仍是环,则称S是R的子环。结论：R本身以及0是R的两个平凡子环。定理6.6.1.环R的子集S作成子环必要而且只要，（1）S非空；（2）若aS，bS，则a-bS;（3）若aS，bS，则abS。,子环,定义.若R是环，a，bR，如果a0，b0，但ab=0，则称a，b为零因子。如果R没有这样的元素，则说R无零因子。无零因子的环称为消去环。例.整数环是消去环，矩阵环不是消去环，有零因子。比如，,消去环,例子,证明在模p下的整数环(Zp,+,*)是无零因子环当且仅当p为质数。证明：Zp=0,1,2,p-1。必要性，即(Zp,+,*)是无零因子环。分析要证明一个正整数是质数没有好的直接证明方法，因此我们想到反证法，设p不是质数p=st,1s,tp。再想到p是模，则有st(modp)=0，s,t就是Zp中的零因子，矛盾。充分性，p为质数，从Zp中任取a,b，若有ab=0，（若想Zp无零因子，则a,b中至少需要有一个是0。为此设a0，必须推出b为0。）有ab=0从Zp的定义可推出pab，而p为质数且ap，有整数的知识p只能整除b，但bp，因此b只能为0，证毕。,性质12R是消去环iffR中消去律成立。证明：必要性。如果a0,且ab=ac,那么ab-ac=0,即a（b-c）=0。因环R中无零因子,而a0,故必有b-c=0，即b=c，因此，消去律成立。充分性。设消去律成立，即由a0,ab=ac可推出b=c。若ab=0,而a0,则ab=a0,因而由消去律可得b=0。故R无零因子,R是消去环。,消去环的性质,性质13在消去环R中，不为0的元素在加法下的周期相同。证明：(1)若不为0的元素在加法下的周期都为0，则得证。(2)否则，任取R中非零元素a，b，设a的周期为m，b的周期为n，故ma=0，nb=0。,消去环的性质,则一方面，a(mb)=(ma)b=0b=0，又由a0，且R无零因子知，mb=0。而b的周期为n，故n|m。另一方面，(na)b=a(nb)=a0=0，又由b0,且R无零因子知，na=0。而a的周期为m,故m|n。因此，m=n。,消去环的性质(证明续),性质14在消去环R中，不为0的元素在加法下的周期或为0或为质数。证明：设aR，a0，且a的周期为n，故na=0。(1)若n=0，则得证。(2)否则，只需证n是质数。,消去环的性质,用反证法。设n不是质数，则n=n1n2，且n11，n21。故1n1n，1n2n。显然，n1a，n2aR，由a的周期为n知，n1a0，n2a0。而（n1a）（n2a）=（n1n2）（aa）=（na）a=0a=0，故n1a，n2a为零因子，与R无零因子矛盾。因此，原假设不对，n是质数。,消去环的性质,整区（环）有壹无零因子的交换环例.整数环,有理数环,实数环,复数环都是整区（环）。体如果去掉0，R的其余元素作成一个乘法群，则称环R为体。结论：体有壹而且无零因子，任意非零元素有逆域交换体有理数域、实数域、复数域都是域。在域中，ab-1可以写成。,整区、体、域,练习题,下述集合在规定运算下是环、整区、体、域吗？（1）a+ba,bZ关于数的加法和乘法；（2）a+ba,bQ关于数的加法和乘法;（3）a+ba,bZ关于数的加法和乘法；（4）a+bia,bZ,i2=-1关于复数的加法和乘法；（5）n2,所有n阶实矩阵集合Mn(R)关于矩阵的加法和乘法；（6）x的实系数多项式集合关于多项式的加法和乘法；（7）实数集合R关于加法+和乘法*，其中+是普通加法，*规定对R中任意a,b,a*b=ab。,解答,（1）是整区，但不是体和域；考虑元素的逆（2）是整区，体和域；（3）不是环，关于乘法运算不封闭；（4）是整区，但不是体和域；考虑元素的逆（5）是环，但不是整区，体和域；考虑乘法交换律（6）是整区，但不是体和域；考虑元素的逆（7）不是环，因为*对+不适合分配律。试证p为质数时，(Zp,+,*)是域。,子体、子域,定义.体K的一个子环，若仍为体，则叫子体；若又为域，则叫K的子域，同样，对于域F，也可以有F的子环和子域。,四元数的发现及其应用,说到四元数我们需要介绍一下爱尔兰数学家、物理学家哈密顿(Hamilton)，我们首先会想起图论中学过的的Hamilton回路问题的提出者Hamilton，他出生于1805年8月4日的爱尔兰都柏林。5岁时就能读懂阿拉伯语、希腊语和希伯来语，14岁已经学会12种语言，那一年因在都柏林欢迎波斯大使宴会上用波斯语与大使交谈而出尽风头。1823年7月7日，哈密顿以入学考试第一名的成绩进入著名的三一学院，得到正规的大学训练，后因成绩优异而多次获得学院的古典文学和科学的最高荣誉奖他在1823到1824年间完成了多篇有关几何学和光学的论文，其中在124年12月送交爱尔兰皇家科学院会议的有关焦散曲线(caustics)的论文，引起科学界的重视。,1827年，当他才22岁还是大学生时，便被任命为邓辛克天文台台长及都柏林三一学院天文学教授，并获皇家天文学家称号。1832年成为爱尔兰科学院院士，18371845年任院长。1832年，哈密顿成为爱尔兰皇家科学院院士后非常活跃，与学术界人士广泛交流讨论，包括一些诗人和哲学家他从ST科勒里奇(Coleridge)的作品中了解到I康德(Kant)的哲学，热情地读完康德主要著作纯理性批判。康德哲学观点对哈密顿后期的工作有很大影响。,四元数的发现及其应用,1834年，哈密顿发表了历史性论文“一种动力学的普遍方法”，成为动力学发展过程中的新里程碑。文中的观点主要是从光学研究中抽象出来的。哈密顿工作勤奋，思想活跃。发表的论文一般都很简洁，别人不易读懂，但手稿却很详细，因而很多成果都由后人整理而得。仅在三一学院图书馆中的哈密顿手稿，就有250本笔记及大量学术通信和未发表论文。爱尔兰国家图书馆还有一部分手稿他的研究工作涉及不少领域，成果最大的是光学、力学和四元数。,四元数的发现及其应用,四元数的发现及其应用,复数可以表示平面上的向量，但实用向量应是三维的，是否有“三维复数”？1830年后，不少著名数学家如高斯等都在探求哈密顿在弄清复数之后，仍按实数性质探求这种具有三个分量的“复数”他终于成功了，哈密顿后来回忆道：在经历了15年冥思苦想之后，智慧的火花某一天突然在他的大脑中迸发。那时1843年10月16日，星期一，当哈密顿沿着皇家运河在步行去爱尔兰科学院的路上时，他的脑海中出现了如下的一串基本公式：i2=j2=k2=ijk=-1这包含了他15年来所考虑问题的全部解。,他迅速地把它记录在随身携带的笔记本中，并在路过运河边上的一座小桥时，用小刀将公式刻在桥边的石头上。可是所得的新数只能是四个分量，而且不符合乘法交换律哈密顿在1843年把所得的新数命名为四元数，四元数是复数的自然推广，四元数中的i、j、k的平方都是-1，利用它们，三维和四维中的旋转可以进行代数化的处理。四元数的应用：在3D编程、弹射座椅性能仿真、方向角与多普勒频率同时估计、飞行仿真、火控系统仿真以及手术导航系统、航天相机像面位置求解中都有其身影出现。,四元数的发现及其应用,四元数应用参考资料,程国采，四元数法及其应用，国防科技大学出版社，1991,四元数取三个符号i，j，k，以实数a，b，c，d为系数而作形式的线性组合a+bi+cj+dk。四元数间运算的规定：（1）加法运算(a1+b1i+c1j+d1k)+(a2+b2i+c2j+d2k)=(a1+a2)+(b1+b2)i+(c1+c2)j+(d1+d2)k。,四元数体,（2）乘法运算：先规定i，j，k之间的乘法：i2=j2=k2=-1,ij=k,jk=i,ki=j；ji=-k,ik=-j,kj=-i。四元数相乘-按分配律展开再化去i，j，k的乘积而且并项（a1+b1i+c1j+d1k）（a2+b2i+c2j+d2k）=a1a2+a1b2i+a1c2j+a1d2k+b1a2i-b1b2+b1c2k-b1d2j+c1a2j-c1b2k-c1c2+c1d2i+d1a2k+d1b2j-d1c2i-d1d2=a1a2-b1b2-c1c2-d1d2+（a1b2+b1a2+c1d2-d1c2）I+（a1c2+c1a2+d1b2-b1d2）j+（a1d2+d1a2+b1c2-c1b2