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.,第一讲,集合与简易逻辑,.,解(AB)C=，AC=且BC=k2x2+(2bk1)x+b21=0AC=1=(2bk1)24k2(b21)0,即b214x2+(22k)x+(5+2b)=0BC=,2=(1k)24(52b)0从而8b20,即b2.5由及bN,得b=2代入由10及x1x2=10知，方程只有正根，且必有一根在区间(0，1内，从而方程至少有一个根在区间0，2内故所求m的取值范围是m1,.,例4设AXX=a2+b2,a、bZ，X1，X2A，求证：X1X2A。,证明：设X1a2+b2，X2=c2+d2，a、b、c、dZ,则X1X2(a2+b2)(c2+d2)a2c2+b2d2+b2c2+a2d2a2c2+2acbd+b2d2+b2c2-2bcad+a2d2(ac+bd)2+(bc-ad)2又a、b、c、dZ，故ac+bd、bc-adZ，从而X1X2A,.,例5已知集合MX，XY，lg(xy)，S0，X，Y，且MS，则(X)(X2)(X2002)的值等于_.,解：由MS知，两集合元素完全相同。这样，M中必有一个元素为0，又由对数的性质知，0和负数没有对数，所以XY0，故X，Y均不为零，所以只能有lg(XY)0，从而XY1.MX，1，0，S0，X，.再由两集合相等知,当X1时，M1,1，0，S0,1，1，这与同一个集合中元素的互异性矛盾，故X1不满足题目要求；当X1时，M1,1，0，S0,1，1，MS，从而X1满足题目要求，此时Y1，于是X2K12(K0,1，2，)，X2K2(K1,2，),故所求代数式的值为0.,.,例6一个集合含有10个互不相同的两位数。试证，这个集合必有2个无公共元素的子集合，此两子集的各数之和相等。,解：已知集合含有10个不同的两位数，因它含有10个元素，故必有2101024个子集，其中非空子集有1023个，每一个子集内各数之和都不超过909198999451023，根据抽屉原理，一定存在2个不同的子集，其元素之和相等。如此2个子集无公共元素，即交集为空集，则已符合题目要求；如果这2个子集有公共元素，则划去它们的公共元素即共有的数字，可得两个无公共元素的非空子集，其所含各数之和相等。,.,例7设A1,2，3，n，对XA，设X中各元素之和为Nx，求Nx的总和.,解：A中共有n个元素，其子集共有2n个。A中每一个元素在其非空子集中都出现了2n-1次，(为什么？因为A的所有子集对其中任一个元素i都可分为两类，一类是不含i的，它们也都是1,2，i-1,i+1,n的子集，共2n-1个；另一类是含i的，只要把i加入到刚才的2n-1个子集中的每一个中去)。因而求A的所有子集中所有元素之和Nx的总和时，A中每一个元素都加了
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