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.梯形蝴蝶定理如上图，在梯形中，存在以下关系：1. 相似图形，面积比等于对应边长比的平方S1：S2=a2/b22. S1:S2:S3:S4= a2:b2:ab:ab3. S3=S44. S1S2=S3S4(由S1/S3=S4/S2推导出)5. AO:BO=(S1+S3):(S2+S4)【例】E是平行四边形ABCD的CD边上的一点，BD、AE相交于点F，已知三角形AFD的面积是6，三角形DEF的面积是4，求四边形BCEF的面积为多少？【解】如图，由梯形蝴蝶定理可得BEF面积等于6，而ABF的面积为664=9因为BCD面积等于ABD，所以BCE面积为9+6-6-4=5因此所求四边形面积为5+6=11。蝴蝶定理的证明：右上角为A，左下角为BS1和S2的的三角形是相似的（AAA）所以面积比=边长比的平方即a：b设梯形高为h，S3+S2=1/2bh=S4+S2。所以S3=S4设S3+S1的三角形的AB上的高为h1，可知S3:S1=OB:OA因为S1和S2的的三角形是相似，S3:S1=OB:OA=b：a所以S1S2S3S4=a2b2abab 射影定理公式: 如图，RtABC中，ABC=90，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下：（1）(BD)2=ADDC， （2）(AB)2=ADAC ， （3）(BC)2=CDCA 。等积式 （4）ABBC=ACBD(可用“面积法”来证明）直角三角形射影定理的证明射影定理简图(几何画板)：（主要是从三角形的相似比推算来的）证法一在BAD与BCD中，ABD+CBD=90，且CBD+C=90，ABD=C，又BDA=BDC=90BADCBD AD/BD=BD/CD即BD2=ADDC。其余同理可得可证注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。有射影定理如下：AB2=ADAC，BC2=CDCA两式相加得：AB2+BC2=ADAC+CDAC =（AD+CD)AC=AC2 .即AB2+BC2=AC2（勾股定理结论）。证法二已知:三角形中角A=90度，AD是高.用勾股证射影AD2=AB2-BD2=AC2-CD2，2AD2=AB+AC-BD-CD=BC-BD-CD=(BD+CD)-(BD+CD)=2BDCD.故AD2=BDCD.运用此结论可得:AB=BD+AD=BD+BDCD=BD(BD+CD) =BDBC， AC=CD+AD=CD+B
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