圆轴的扭转.doc

工程力学第八章 圆轴的扭转 工程构件一般可分为三类。第四章已指出：杆是某一方向尺寸远大于其它二方向尺寸的构件，若杆件的轴线为直线，则称为直杆。此外，若构件在某一方向的尺寸远小于其它二方向的尺寸，称之为板。若构件在x、y、z三个方向的尺寸具有相同的数量级，则称为块体。本课程主要讨论直杆，这是一种最简单的构件。 如同4.4节所述，在空间任意力系的作用下，杆件截面内力的最一般情况是六个分量都不为零，其变形是很复杂的。为了简化讨论，我们将杆的基本变形分成为三类，即拉压、扭转、弯曲，如图4.3所示。 前面已经讨论了在轴向载荷作用下杆的拉伸和压缩；现在再来研究杆的另一类基本变形，即扭转问题。8.1 扭转的概念和实例工程中承受扭转的构件是很常见的。如图8.1所示的汽车转向轴，驾驶员操纵方向盘将力偶作用于转向轴AB的上端，转向轴的下端B则受到来自转向器的阻抗力偶的作用，使转向轴AB发生扭转。又如图8.2中的传动轴，轮C上作用着主动力偶矩，使轴转动；轮D输出功率，受到阻力偶矩的作用，轴CD也将发生扭转。AB图8.1 转向轴图8.2 传动轴ABCD 以上二例都是承受扭转的构件实例。由于工程中承受扭转的构件大多为圆截面直杆，故称之为轴。本章亦仅限于讨论直圆轴的扭转问题。图8.3所示为等截面直圆轴扭转问题的示意图。ABABM0M0图8.3 扭转及扭转角扭转问题的受力特点是：在各垂直于轴线的平面内承受力偶作用。如在图8.3中，圆轴AB段两端垂直于轴线的平面内，各作用有一个外力偶M0，此二力偶的力偶矩相等而转向相反，故是满足平衡方程的。圆轴扭转问题的变形特点是：在上述外力偶系的作用下，圆轴各横截面将绕其轴线发生相对转动；任意两横截面间相对转过的角度，称为相对扭转角，以表示。图8.3中，AB表示截面B相对于截面A的扭转角。必须指出，工程中的传动轴，除受扭转作用外，往往还伴随有弯曲、拉伸(压缩)等其它形式的变形。这类问题属于组合变形，将在以后研究。8.2 扭矩与扭矩图(b)ABM0M0CAxMTM0CCBM0MT(c)(a)图8.4 截面上的扭矩已知轴所传递的功率、转速，可利用6.3节提供的“功率、转速与传递的扭矩之关系”来计算作用于传动轴上的外力偶矩M0。M0给出以后，即可用截面法确定扭转轴各横截面上的内力。显然，对于承受扭转作用的轴，横截面上的内力是作用于截面上的内力偶矩，称之为扭矩。为确定图8.4(a)所示之扭转轴内任意横截面C上的内力，可截取左段为研究对象，如图8.4(b)所示。截面C上的内力(扭矩)记为MT，由平衡方程有： SMx=MT-M0=0 即得： MT=M0 若截取轴的右段为研究对象, 如图8.4(c)所示，同样可求得截面C上的扭矩=M0。与MT是作用力与反作用力关系，其数值相等，转向相反，作用在不同的轴段上。为了使截取不同研究对象所求得的同一截面上的扭矩不仅数值相等，而且符号也相同，可对扭矩符号作如下规定：采用右手螺旋法则，用四指表示扭矩的转向，大拇指的指向与截面的外法线方向相同时，该扭矩为正，反之为负。应用此规则可知，图8.4所示截面C之扭矩为正号。 当轴上作用有两个以上的外力偶矩时，应分段计算轴的扭矩。为了清楚地表示扭矩沿轴线的变化情况，通常以横坐标表示截面的位置，纵坐标表示扭矩的大小，给出各截面扭矩随其位置而变化的图线，称为扭矩图。扭矩图与轴力图一样，应画在载荷图的对应位置，一目了然。BMBMCCMBxBMBMCCMT2MT (Nm)图8.5 例8.1图MAMDBxMT11AD2DMDMT33x0382076405090+-(b)(c)(d)(e)(a)例8.1 传动轴如图8.5(a)所示，已知转速n=300 r/min，主动轮A输入功率NpA=400kW，三个从动轮输出的功率分别为：NpB=NpC=120kW，NpD=160kW，试作轴的扭矩图。解：(1)计算外力偶矩 由(6-10)式知：M(kNm) =9.55NP (kW) /n (r/min) 故有：MA=9.55400kW/300(r/min) =12.73 kNm MB=MC=9.55120 kW /300 (r/min) =3.82 kNm MD=9.55160 kW /(300 r/min)=5.09 kNm (2)用截面法求截面扭矩BC段：沿截面1-1将轴截开，取左段为研究对象，沿正向假设截面扭矩为MT1，如图8.5(b)。由平衡方程可知有：SMx=MT1+MB=0得到： MT1=-MB=-3.82 kNm CA段：截取研究对象如图8.5(c)所示，由平衡方程可知截面扭矩MT2为： SMx=MT2+MB+MC=0得到： MT2=-(MB+MC)=-7.64 kNmAD段：沿3-3截面截开后取右段为研究对象，如图8.5(d)所示。有平衡方程： SMx=MT3-MD=0得到： MT3=MD=5.09 kNm 应当指出，在求以上各截面的扭矩时，采用了“设正法”，即截面扭矩按正向假设；若所得结果为负，则表示该扭矩的实际方向与假设的方向相反。本题计算结果表明BC段及CA段扭矩为负，AD段扭矩为正。 (3)作扭矩图注意到轴各段内的扭矩均相同，则由上述结果不难作出如图8.5(e)所示之扭矩图。可见，该轴的最大扭矩 |MT|max=7.64 kNm，作用在CA段上。讨论一：扭矩图的简捷画法类似于第四章所述轴力图的简捷画法，对于扭矩图，同样可以从左端开始，按扭矩符号规定标出参考正向如图8.6，图中MB为负，扭矩图向下画至3.82kNm；BC段无外力偶矩作用，画水平线；C处MC与参考正向相反，扭矩图继续向下行3.82kNmBMBMCCMAMDAD参考正向MT (N.m)图8.6 扭矩图的简捷画法x0382076405090+-(e)至7.64kNm；CA段无外力偶矩作用，画水平线；A处MA与参考正向相同，扭矩图向上行MA=12.73kNm；AD段无外力矩作用，仍画水平线；D处MD与参考正向相反，扭矩图向下行MD=5.09kNm；回至零，图形封闭，满足平衡条件SMx=0。这样得到的结果必然是与截面法一致的。讨论二： 对于本题所论之传动轴，若将主动轮A与从动轮D的位置对换，作扭矩图后可知，轴的最大扭矩在AD段，且为|MT|max=12.73kNm。由此可见，合理安排主、从动轮的位置，可以使轴的最大扭矩值降低。例8.2 试作图8.7所示固定支承轴的扭矩图。已知MB=40kNm，MC= MD=10kNm。 A图8.7 例8.2图BCDMAMBMCMD参考正向xMT(kNm)2020100+解：1）求固定端约束反力偶。 设固定端反力偶MA如图，有平衡方程： SMx=MA+ MB-MC-MD=0 MA=MC+MD-MB=-20kNm2) 在左端设置参考正向如图。3）画扭矩图。从左端开始，MA为-20kNm，AB段画水平线；B处MB为正，向上行40kNm，至+20kNm，再画水平线；C处MC为负，向下行10kNm；D处MD亦为负，再向下行10kNm，回至零。结果如图所示。8.3 圆轴扭转时的应力和变形8.3.1 圆轴扭转的应力公式 分析研究变形体静力学问题的主线，是研究力的平衡、变形的几何协调及力与变形间的物理关系。与杆的拉伸压缩相比较，差别主要在于圆轴扭转时的变形有其特殊性。因此，我们首先讨论圆轴扭转时的变形几何关系，找出应变的变化规律；然后再利用物理关系，找出应力分布规律；最后，根据静力平衡关系导出应力计算公式。1.变形几何关系(a) 变形前图8.8 扭转变形现象ABABMTMT(b) 变形后为建立圆轴扭转时变形几何关系，首先应通过试验观察圆轴扭转时的变形现象。在圆轴表面作圆周线与轴向线，如图8.8(a)所示。在轴二端施加扭矩后，圆轴发生扭转，如图8.8(b)。由此可以观察到：各圆周线相对旋转了一个角度，但圆周线的尺寸、形状和相邻两圆周线之间的距离不变；各纵向线在小变形情况下，仍近似地是一条直线，只是倾斜了一个微小的角度。变形后圆轴表面的方格变成为菱形。根据所观察到的圆轴表面变形现象，可以设想圆轴由一系列刚性平截面（横截面）组成，在扭转过程中，相邻两刚性横截面只发生相对转动。于是可作出如下假设：圆轴的横截面变形后仍保持为平面，其形状和大小不变（半径尺寸不变且仍为直线），相邻两横截面间的距离不变。这一假设称为圆轴扭转的刚性平面假设。这一假设是否正确，应当根据由此假设所导出的结论圆轴扭转的应力和变形计算公式，是否符合实验结果来验证。 依据上述刚性平面假设，注意到横截面间的距离不变即轴向线的长度未发生改变，于是可知扭转时圆轴横截面上只有垂直于半径方向的剪应力，而无正应力。为了研究圆周扭转时剪应变的变化和分布规律，在图8.9(a)所示圆轴上相距为dx的截面1-1和截面2-2间取楔形体如图8.9(b)。(a)图8.9 扭转变形分析1MTMTC2dxO1rbO2acdcddrgggrdx(b)在扭矩的作用下，截面2-2相对于截面1-1转动了一个微小角度d。故截面2-2上的两条半径O2c和O2d都旋转了同一角度d，而变成为O2c 和O2d；矩形abcd变成了平行四边形abcd，如图8.9(b)所示。由acc和O2cc可以看到，弧段 =rd=dx，所以有： =。式中是图8.9(b)中a、b处直角的改变量，即半径为r处（即轴表面处）的剪应变。同理，在截面上任一点(距截面中心处)，由图8.9(b)可给出剪应变r为： r=式中，r为距中心为r处的剪应变；dj/dx称为轴单位长度上的相对扭转角。 由刚性平面假设还可知，圆轴的横截面变形后仍保持平面，不仅形状和大小不变，半径也仍然保持为直线。所以，在同一横截面上dj/dx为常数。故上式表明，圆轴扭转时，横截面上各点的剪应变r与该点到截面中心的距离r成正比。2.物理关系dA图8.10 横截面剪应力分布 rtrtmaxor材料的剪应力(t)-剪应变(g)关系同样可以由实验获得。对于线性弹性材料，剪切虎克定律t=Gg成立，G为剪切弹性模量，与弹性模量E一样，G也是材料常数。在线弹性物理关系下，剪应力t与剪应变g成正比，故横截面上任一距截面中心o为r处的剪应力为： （a）上式给出了扭转圆轴横截面上的剪应力分布规律。因为G是材料常数，在同一横截面上dj/dx亦为常数，故截面上任意一点的剪应力tr与该点到轴心的距离r成正比；由于剪应变发生在垂直于半径的平面内，故剪应力方向与半径垂直。显然，剪应力t在横截面上是线性分布的，在r=r的外圆周上剪应力t最大，且有：在圆心r=0处，剪应力t=0，如图8.10所示。3.静力平衡条件上述剪应力tr的表达式中，dj/dx尚为未知量，故还不能计算出剪应力的值。需要进一步讨论力的平衡关系。在轴的横截面上距圆心r处取微面积dA，其上作用的微内力为trdA。如图8.10所示。为保持力的平衡，截面所有微面积上的微内力对轴中心O处的力矩之总和，应等于作用在该截面上的扭矩MT，即 将代入上式，并将常量G、dj/dx提到积分号外，有： 式中，是只与横截面形状和尺寸有关的几何量，用Ir表示，即：-（8-1） Ir称为横截面的极惯性矩，量纲为长度4。相对扭转角dj/dx即可写为：-（8-2） 将上式代入（a）式，即得到横截面上任一距轴心为r处的剪应力公式为：-（8-3） 上式再一次指出，圆轴扭转时横截面上任意一点的剪应力tr与该点到轴心的距离r成正比；r越大，剪应力tr越大；在截面中心r=0，tr=0；当r=r 时，位于横截面外圆周边各点处的剪应力最大，且有：-（8-4） 式中，WT=Ir/r，称为抗扭截面模量，量纲为长度3。综上所述可知，圆轴扭转时横截面上的应力是剪应力，剪应力t在横截面上线性分布，在截面中心r=0，tr=0；在外圆周边各点r=r，tr=tmax=MT/WT；剪应力t与半径垂直，其指向可由作用在该点上的微内力对轴心之矩与截面扭矩MT转向一致来确定。 对于空心圆轴，可以进行类似的分析，得到同样的应力和变形公式，不同的只是极惯性矩Ir和抗扭截面模量WT的计算。8.3.2 极惯性矩和抗扭截面模量的计算1.实心圆截面对于直径为D的实心圆截面，可取一距圆心为r、厚度为dr的圆环作为微面积dA，如图8.11(a)所示。则dA=2prdr, 代入（8-1）式积分即得极惯性矩为：图8.11 极惯性矩的计算Ddror(a) 实心圆截面Ddror(b) 空心圆截面do(c) 薄壁圆环tR0-（8-5） 抗扭截面模量WT 则为：-（8-6） 2.空心圆截面 对于内径为d，外径为D的空心圆截面，同样可取距圆心为r、厚度为dr的圆环作为微面积，如图8.11(b)所示。其极惯性矩为：-（8-7） 式中，a=d/D，是内径与外径之比。抗扭截面模量则为：-（8-8） 令a=0（即d=0），可得到实心圆截面的结果。3.薄壁圆环截面壁厚t与平均半径R0之比t/R010的空心圆截面，可视为薄壁圆环截面。由于其内、外径相差甚小，截面上各点r值可近似以平均半径R0代替，如图8.11(c)。故极惯性矩为：-（8-9） 式中，平均半径R0=(D+d)/2。抗扭截面模量则为： -（8-10）8.3.3 扭转圆轴任一点的应力状态图8.12 扭转圆轴上任一点的应力状态(a)dx(b)tcAtttdyMTMTdxtt(d)t45Asdx(c)ctt45s45s前节已给出了圆轴扭转时各横截面上的应力。如图8.12(a)所示，二相邻横截面上有剪应力t作用，t由(8-2)式给出。取相距dx的两横截面间任一点A处单位厚度的微元研究，其左右二边为横截面，上下二边为过轴线的径向面。二横截面上作用的应力均为t，且方向如图8.12(b)所示。微元左右二边作用的剪力FQ=tdy，大小相等，方向相反。显然，要使微元保持平衡，则微元上下二面应有力（因此也有应力）作用，由于扭转变形只是横截面作刚性平面转动，微元除形状改变外并不发生尺寸的改变，故上下二面也只有剪应力t。以C为矩心，列力矩平衡方程有： SMC(F )=tdydx- tdxdy =0得到： t=t。剪应力互等定理：物体内任一点处二相互垂直的截面上，剪应力总是同时存在的，它们大小相等，方向是共同指向或背离二截面的交线的。图8.12(b)给出了扭转圆轴中任一点的应力状态，这种微元各面只有剪应力作用的应力状态称为纯剪应力状态。如第四章所叙，已知一点应力状态的一种描述，即可得到任意斜截面上的应力。下面讨论过A点45斜截面上的应力。如图8.12(c)所示，假定45斜截面上的应力为正应力s45和剪应力t45。注意到微元厚度为1，有力的平衡方程： SFx=tdx+(t45dx/cos45)cos45+(s45dx/cos45)sin45=0 SFy=tdx-(t45dx/cos45)sin45+(s45dx/cos45)cos45=0解得： s45=-t； t45=0。同样可求得与45斜截面相垂直的135斜截面上的应力为 s135=t； t135=0（请读者自行验证），故A点的纯剪应力状态等价于转过45后微元的二向等值拉压应力状态（如图8.12(d)所示）。综上所述，扭转圆轴中任一点的应力状态是纯剪应力状态；在横截面和过轴线的纵向截面上有大小相等的剪应力；外圆周处剪应力最大；在与圆轴纵向母线夹角为45的斜截面上有正应力作用，且s=t；一些脆性材料(例如粉笔、铸铁等)承受扭转作用时发生沿轴线45方向的破坏，就是由此拉应力控制的。8.3.4 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形，可用相对扭转角来度量。式(8-2)给出相距dx的两横截面间的相对扭转角为： 则相距之两截面间的相对扭转角为： 若两截面之间的扭矩MT不变，轴为等直杆（Ir不变），且材料不变（G不变），则在长的轴段内MT/GIr为常量。上式之积分可给出轴扭转变形的计算公式为：-（8-11） 相对扭转角j的单位为弧度(rad)。注意，若在长的轴段内，扭矩MT、截面极惯性矩Ir、材料的剪切弹性模量G中有一个发生变化，则应分段计算。若以表示单位长度轴的扭转角，则q=dj/dx，在(8-11)式成立的相同条件下，有：-（8-12） 的单位为弧度/米(rad/m)。 式(8-11)与(8-12)中的GIr称为圆轴的抗扭刚度，抗扭刚度GIr取决于轴的材料和几何。材料的剪切弹性模量G越大、极惯性矩Ir越大，则圆轴的抗扭刚度GIr越大，扭转变形越小。图8.13 例8.3图MAl1=1000f22Al2=1000BCf24f18MBMCMT (N.m)x150100o(a)(b)例8.3 空心圆轴如图8.13(a)所示，在A、B、C三处受外力偶作用。已知MA=150Nm，MB=50Nm，MC=100Nm，材料G=80GPa，试求：(1) 轴内的最大剪应力tmax；(2) C截面相对A截面的扭转角jAC。解：1）作扭矩图如图8.13(b)所示。2）计算各段剪应力。虽然AB段扭矩较大，但BC段横截面较小，故应分别计算出各段的最大剪应力，再加以比较。由(8-4)式有：AB段：BC段： 可见，此轴最大剪应力出现在BC段。注意，这里用的是N-mm-MPa单位系。3）计算变形。注意（8-11）式的应用限制。当扭矩、材料、截面几何改变时应分段计算各段的变形。这里，分别考虑AB、BC段的扭转变形。C截面相对于A截面的扭转角jAC，等于B截面相对于A截面的扭转角jAB与C截面相对于B截面的扭转角jBC的代数和。扭转角的转向是由各段扭矩的转向决定的，所以扭转角的正负由扭矩的正负确定。本例中AB段和BC段的扭矩均为正值，所以jAB、jBC亦为正值。于是有：red8.4 圆轴扭转的强度条件和刚度条件8.4.1 强度条件第六章给出的强度条件，要求最大工作应力（扭转时是轴内的最大剪应力）不超过材料的许用应力（在此应是许用剪应力），以保证构件具有足够的强度。所以，圆轴扭转时的强度条件可写为： =MT/WT -（8-13）式中t为材料的许用剪应力。材料的许用剪应力t与许用正应力s之间一般有如下的关系： 对于钢材: t(0.5-0.6)s 对于铸铁: t(0.8-1.0)s8.4.2 刚度条件在某些情况下，除需要满足强度条件外，还要求对轴的扭转变形加以限制，以满足正常工作所必须的刚度条件。例如机床主轴的扭转角过大会影响加工精度，内燃机轴的扭转角过大易引起振动等。一般来说，凡有精度要求或限制振动的机械，都必须考虑轴的扭转刚度。刚度条件通常以轴单位长度的最大扭转角qmax不得超过单位长度许用扭转角q表示，即： qmaxq 工程中，许用扭转角q常常采用的单位是度/米（/m）, 而（8-12）式中的扭转角是以弧度（rad）给出的。注意到单位的一致性，当q用的度/米给出时，圆轴扭转的刚度条件应写为：-(8-14) 单位长度许用扭转角q的数值依据轴的精度要求确定，可由有关设计手册查得。传动精度要求高的轴，q=(0.25-0.50)/m；一般传动轴，q=(0.5-1.0)/m；要求不高的轴，q=(1.0-2.5)/m。例8.4 若例8.1中的传动轴为钢制实心圆轴，其许用剪应力t=30MPa，剪切弹性模 量G=80GPa，许用扭转角q=0.3/m。试设计轴的直径。解：注意到轴为等直径圆轴，最大剪应力在扭矩最大的CA段且MT=7640Nm，故只需校核此段的强度与刚度即可。由强度条件有： 得到： 由刚度条件有： 得到： 可见，按强度设计要求d109mm，按刚度设计要求d117mm。为保证所设计的轴既满足强度条件，又满足刚度条件，应选用其中较大者，即应有：d max109mm，117mm=117mm设计时可取d=120mm。讨论： 若取a=0.5，试设计空心圆轴的直径D。按强度设计，有： 得到： 由刚度条件有： 得到： 由上述结果知，按实心圆轴设计，需d117mm；按a=0.5设计空心圆轴设计，要求D119mm。二者的重量比为：可见，设计成空心圆轴，可减轻重量。a越大，意味着材料离轴线越远，可承受的应力越大，发挥的作用越大，因此减轻的重量越多。但是应注意，孔的加工，尤其是长轴中孔的加工，将增加制造成本。例8.5 联轴节如图8.14所示。轴径D=100mm，四个直径d=20mm的螺栓对称置于D1=320mm的圆上，t=12mm。若t=80MPa，s j=120MPa。试确定许用的扭矩M。(a)ttD1FQFQFQFQMoD1Fj图8.14 例8.5图MoFjFjFj(b)(c)D解：1) 考虑轴的扭转。设轴承受的扭矩为M，由扭转强度条件有：得到： M扭pD3t/16=(1003p80/16)Nmm =15.7106 Nmm=15.7kNm2) 考虑螺栓剪切。沿剪切面切开，取右端部分研究，受力如图8.14(b)所示。 由平衡方程有：4FQ(D1/2)=M 剪切强度条件为： t=FQ/(pd2/4)t 故有： FQ= M/2D1 pd2t/4=(2023.1480/4)=25.12103N=25.12 kN 得到： M剪4FQ(D1/2) 425.12 kN0.16m=16.1 kNm3) 考虑螺栓挤压。除去螺栓，取右端部分研究，受力如图8.14(c)所示。 挤压力由平衡条件确定，有： 4Fj (D1/2)=M挤压强度条件为： sj =Fj/Aj =Fj /td sj 即： Fj tdsj=12mm20mm120MPa=28.8103N=28.8 kN 得到： M挤428.8 kN0.16m=184 kN.m。为保证联轴节安全工作，所允许使用的扭矩为： M=min M扭，M剪，M挤=15.7 kN.m8.5 静不定问题和弹塑性问题在讨论杆的拉压时，已经指出：求解变形体静力学问题的基本方程是平衡方程、变形几何方程和反映材料力与变形关系的物理方程。只不过研究静不定问题时,需要联立求解上述方程；研究弹塑性问题时，物理方程需要用弹塑性应力应变关系描述。这种研究思维，同样适用于扭转问题。本节将用二个例题，对圆轴扭转静不定问题和弹塑性问题的分析方法来进行说明和讨论。ABCab(a)MCCMAMBMC(b)xMBMAMTo(c)图8.15 例8.6图例8.6 如图8.15(a)所示，两端固定的圆截面杆AB，在C截面处受外力偶MC作用，试求两固定端的反力偶矩。 解：1）受力分析：杆AB上只有外力偶矩MC作用，故二固定端约束力为反力偶，受力如图8.15(b)。 有平衡方程： MA+MB=MC -(1)2) 变形几何协调方程：杆受固定端约束，二端相对扭转角为零，即 jAB=jAC+jCB =0 -(2)3) 物理方程：扭转时，材料的物理关系由剪切虎克定理t=Gg描述。由此得到的扭矩与扭转角的关系为：;-(3) 4) 联立求解：将（3）式代入（2）式，有： -MAa+MBb=0 -(4) 由（1）、（4）二式得到：; 本例再一次表明，无论静定问题还是静不定问题，求解的基本方程都是平衡方程、变形几何协调方程和反映材料力与变形关系的物理方程，只不过研究静不定问题时需要联立求解上述方程而已，二者并无本质上的差别。gttys0例8.7 图8.16(a)所示空心圆轴承受扭转作用。若材料服从如图8.16(b)所示之理想弹塑性剪应力-剪应变关系，试估计轴开始发生屈服时的扭矩MS，及轴可承受的最大扭矩MU。 MTMT(a)trtmaxorM(c)图8.16 例8.7图 (b)解：1）弹性阶段：（MTMS）扭矩到达屈服扭矩时，截面最外层首先进入屈服，如图8.17(a)所示。对于理想弹塑性材料，已经屈服的部分材料承担的载荷不再进一步增加，t tys。其余弹性部分的材料，承受的应力小于屈服应力，故扭矩还可以增大。随着扭矩的进一步增大，截面上的剪应力由外向内逐渐进入屈服；未屈服的弹性材料部分，剪应力仍呈线性分布，如图8.17(b)所示。4）极限扭矩：（MT=MU）直到全部材料进入屈服，截面上各处应力均到达tys，如图8.17(c)所示，载荷才不能继续增加。此时的载荷就是轴所能承受的极限载荷，称为极限扭矩。trtmax=tysorMs(a)t ysorMMs(b)dAtysoMu(c)rrR图8.17 理想弹塑性扭转 在图8.17(c)中取微面积dA，微面积上作用的剪力为tysdA，其对轴心的矩为rtysdA，在整个截面上积分，即得极限扭矩MU为：若空心圆轴a=0.5，则极限扭矩与屈服扭矩之比为：MU/ MS =4(1-a3)/3(1-a4)=56/45对于实心圆轴， a=0，则有：屈服扭矩: 极限扭矩: 可见，对于实心圆轴，极限扭矩比屈服扭矩大，MU/MS=4/3。小 结1) 扭转时，横截面上的内力是扭矩MT，其正负按右手螺旋法则规定。2) 圆轴扭转时横截面上任意一点的剪应力tr与该点到轴心的距离r成正比；横截面 外周边各点处的剪应力最大，且有： 剪应力方向与半径垂直，其指向由截面扭矩确定。截面中心处剪应力为零。3) 内径与外径之比a=d/D的空心圆截面的极惯性矩为： 抗扭截面模量则为： 令a=0, 即得到实心圆截面的结果。4) 若轴两截面间的扭矩MT不变，轴为等直杆（Ir不变）且材料不变（G不变），则 单位长度轴的扭转角为：(rad/m） GIr是圆轴的抗扭刚度。GIr值越大，则轴的扭转变形越小。5) 圆轴扭转的强度条件为： =MT/WT 圆轴扭转的刚度条件为：（q的单位为/m） 思 考 题8-1. 建立圆轴扭转剪应力公式时，刚性平面假设起何作用?8-2. 已知二轴长度及所受外力矩完全相同。若二轴材料不同、截面尺寸不同，其扭矩图相同否? 若二轴材料不同、截面尺寸相同，二者的扭矩、应力是否相同？变形是否相同？8-3. 空心圆轴外径为D，内径为d，其极惯性矩Ir与抗扭截面模量WT是否可按下式计算? tmaxoMT(a)tmaxtmaxoMT(b)tmaxtmaxoMT(c)tmaxtmaxoMT(d)tmax思考题8.4图 8-4. 下列实心与空心圆轴截面上的扭转剪应力分布图是否正确? MT为横截面上的扭矩。8-5. 试从截面剪应力分布情况，说明空心轴较实心轴能更充分发挥材料的作用。习 题8-1 试作图示各杆的扭矩图。习题 8-1图(a)C2kNmA2kNm4kNmBABCMC=3kNm(b)MB=2