2010年全国初中数学联赛试题

2010年全国初中数学联赛试题说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1. 若均为整数且满足，则 （ ）A1. B2. C3. D4.【答】B.因为均为整数，所以和均为整数，从而由可得或若则，从而.若则，从而.因此，2.2若实数满足等式，则可能取的最大值为 （ ）A0. B1. C2. D3.【答】C.由两个已知等式可得，而，所以.当时，可得，满足已知等式.所以可能取的最大值为2.3若是两个正数，且 则 （ ）A. B. C. D.【答】C.由可得，则 2010年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第1页（共7页）由于是两个正数，所以 ，所以，从而另一方面，由可得，结合式可得，所以因此，.4若方程的两根也是方程的根，则的值为 （ ）A13. B9. C6. D 0.【答】A.设是方程的一个根，则，所以.由题意，也是方程的根，所以，把代入此式，得，整理得.从而可知：方程的两根也是方程的根，这两个方程实质上应该是同一个一元二次方程，从而有（其中为常数），故，所以.因此，.5在中，已知，D，E分别是边AB，AC上的点，且，,则 ( )A15. B20. C25. D30.【答】 B.如图，延长AB到F，使BF=ED，连CF，EF ，于是，又， ,在CDA和CBF中，CA=CF，AD=BF， CDACBF， 于是，6对于自然数，将其各位数字之和记为，如，则 （ ）A28062. B28065. C28067. D28068.2010年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第2页（共7页）【答】D.把1到2010之间的所有自然数均看作四位数（如果不足四位，则在前面加0，补足四位，这样做不会改变的值）.1在千位上出现的次数为，1在百位上出现的次数为，1在十位和个位上出现的次数均为，因此，1出现的总次数为.2在千位上出现的次数为11，2在百位和十位上出现的次数均为，2在个位上出现的次数为，因此，2出现的总次数为.类似的，可求得出现的总次数均为.因此28068.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1已知实数满足方程组则 .【答】 13.由得，把代入，可得.因此，是一元二次方程的两个实数根，易求得这两个实数根分别为3和，所以.2二次函数的图象与轴正方向交于A，B两点，与轴正方向交于点C已知，则 【答】 由题意知，点C的坐标为，设两点的坐标分别为，则是方程的两根由根与系数的关系得又，则于是，由，得2010年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第3页（共7页）3在等腰直角ABC中，ABBC5，P是ABC内一点，且PA，PC5，则PB_【答】 .作PEAB，交AB于点E，作PFBC，交BC于点F，设，分别在PAE、PCF中利用勾股定理，得 ，得，所以，代入中，得，解得，.当时，在RtPAE中，由勾股定理可得.当时，此时，所以点P在ABC的外面，不符合题意，舍去.因此.4将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放，最多可以摆放_个球.【答】 15. 将这些球的位置按顺序标号为1，2，3，4，.由于1号球与7号球中间夹有5个球，1号球与12号球中间夹有10个球，12号球与6号球中间夹有5个球，7号球与13号球中间夹有5个球，13号球与2号球中间夹有10个球，2号球与8号球中间夹有5个球，8号球与14号球中间夹有5个球，14号球与3号球中间夹有10个球，3号球与9号球中间夹有5个球，9号球与15号球中间夹有5个球，15号球与4号球中间夹有10个球，4号球与10号球中间夹有5个球，因此，编号为1，7，12，6,13，2，8，14，3，9，15，4，10的球颜色相同，编号为5，11的球可以为另外的一种颜色.因此，可以按照要求摆放15个球.如果球的个数多于15个，则一方面，16号球与10号球应同色，另一方面，5号球与16号球中间夹有10个球，所以5号球与16号球同色，从而1到16号球的颜色都相同，进一步可以知道：所有的球的颜色都相同，与要求不符.因此，按这种要求摆放，最多可以摆放15个球.第二试 （A）一（本题满分20分）设整数（）为三角形的三边长，满足，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数.解 由已知等式可得 令，则，其中均为自然数.于是，等式变为，即2010年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第4页（共7页） 由于均为自然数，判断易知，使得等式成立的只有两组：和 10分（1）当时，.又为三角形的三边长，所以，即，解得.又因为三角形的周长不超过30，即，解得.因此，所以可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形. 15分（2）当时，.又为三角形的三边长，所以，即，解得.又因为三角形的周长不超过30，即，解得.因此，所以可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形.综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5611. 20分二（本题满分25分）已知等腰三角形ABC中，ABAC，C的平分线与AB边交于点P，M为ABC的内切圆I与BC边的切点，作MD/AC，交I于点D.证明：PD是I的切线. 证明 过点P作I的切线PQ（切点为Q）并延长，交BC于点N.因为CP为ACB的平分线，所以ACPBCP.又因为PA、PQ均为I的切线，所以APCNPC.又CP公共，所以ACPNCP， 10分所以PACPNC.由NMQN，BABC，所以QNMBAC，故NMQACB，所以MQ/AC.20分又因为MD/AC，所以MD和MQ为同一条直线.又点Q、D均在I上，所以点Q和点D重合，故PD是I的切线. 25分三（本题满分25分）已知二次函数的图象经过两点P，Q.（1）如果都是整数，且，求的值.（2）设二次函数的图象与轴的交点为A、B，与轴的交点为C.如果关于的方程的两个根都是整数，求ABC的面积.解 点P、Q在二次函数的图象上，故，解得，. 5分（1）由知解得.2010年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第5页（共7页）又为整数，所以，. 10分(2) 设是方程的两个整数根，且.由根与系数的关系可得，消去，得，两边同时乘以9，得，分解因式，得.15分所以或或或解得或或或又是整数，所以后面三组解舍去，故.因此，二次函数的解析式为.20分易求得点A、B的坐标为（1,0）和（2,0），点C的坐标为（0,2），所以ABC的面积为.25分第二试 （B）一（本题满分20分）设整数为三角形的三边长，满足，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数（全等的三角形只计算1次）.解 不妨设，由已知等式可得 令，则，其中均为自然数.于是，等式变为，即 由于均为自然数，判断易知，使得等式成立的只有两组：和 10分（1）当时，.又为三角形的三边长，所以，即，解得.又因为三角形的周长不超过30，即，解得.因此，所以可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形. 15分2010年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第6页（共7页）（2）当时，.又为三角形的三边长，所以，即，解得.又因为三角形的周长不超过30，即，解得.因此，所以可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形.综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5611. 20分二（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第二题相同. 三（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第三题相同. 第二试 （C）一（本题满分20分）题目和解答与（B）卷第一题相同. 二（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第二题相同. 三（本题满分25分）设是大于2的质数，k为正整数若函数的图象与x轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数，求k的值解 由题意知，方程的两根中至少有一个为整数由根与系数的关系可得，从而有 5分（1）若，则方程为，它有两个整数根和10