2016年广东省佛山市高考数学一模试卷(理科)

2016年广东省佛山市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）（2016佛山一模）复数z满足z（li）=1i，则|z+1|=（）A0B1CD22（5分）（2016佛山一模）已知U=R，函数y=ln（1x）的定义域为M，集合N=x|x2x0则下列结论正确的是（）AMN=NBM（UN）=CMN=UDM（UN）3（5分）（2016佛山一模）已知a，b都是实数，那么“”是“lnalnb”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4（5分）（2012辽宁）设变量x，y满足，则2x+3y的最大值为（）A20B35C45D555（5分）（2016佛山一模）己知x0=是函数f（x）=sin（2x+）的一个极大值点，则f（x）的一个单调递减区间是（）A（，）B（，）C（，）D（，）6（5分）（2016佛山一模）已知F1，F2分别是双曲线C：=1（a0，b0）的左右两个焦点，若在双曲线C上存在点P使F1PF2=90，且满足2PF1F2=PF2F1，那么双曲线C的离心率为（）A+1B2CD7（5分）（2016佛山一模）某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责每次献爱心活动均需该组织4位同学参加假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给4位同学，且所发信息都能收到则甲冋学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率为（）ABCD8（5分）（2016佛山一模）已知tanx=，则sin2（+x）=（）ABCD9（5分）（2016佛山一模）执行如图所示的程序框图，输出的z值为（）A3B4C5D610（5分）（2016佛山一模）某一简单几何体的三视图如所示，该几何体的外接球的表面积是（）A13B16C25D2711（5分）（2016佛山一模）给出下列函数：f（x）=xsinx；f（x）=ex+x；f（x）=ln（x）；a0，使f（x）dx=0的函数是（）ABCD12（5分）（2016佛山一模）设直线y=t与曲线C：y=x（x3）2的三个交点分别为A（a，t），B（b，t），C（c，t），且abc现给出如下结论：abc的取值范围是（0，4）；a2+b2+c2为定值；ca有最小值无最大值其中正确结论的个数为（）A0B1C2D3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13（5分）（2016佛山一模）（）5的展开式的常数项为（用数字作答）14（5分）（2016佛山一模）已知向量=（1，2），=（1，0），=（3，4），若为实数，（+），则的值为15（5分）（2016佛山一模）宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著四元玉鉴卷中“茭草形段”第一个问题“今有茭草六百八十束，欲令落一形埵（同垛）之问底子（每层三角形边茭草束数，等价于层数）几何？”中探讨了“垛枳术”中的落一形垛（“落一形”即是指顶上1束，下一层3束，再下一层6束，成三角锥的堆垛，故也称三角垛，如图，表示第二层开始的每层茭草束数），则本问题中三角垛底层茭草总束数为16（5分）（2016佛山一模）在ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，M是BC的中点，BM=2，AM=cb，ABC面积的最大值为三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17（12分）（2016佛山一模）已知数列an的前n项和为Sn，且满足an=3Sn2（nN*）（1）求数列an的通项公式；（2）求数列nan的前n项和Tn18（12分）（2016佛山一模）未来制造业对零件的精度要求越来越高.3D打印通常是采用数字技术材料打印机来实现的，常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，后逐渐用于一些产品的直接制造，已经有使用这种技术打印而成的零部件该技术应用十分广泛，可以预计在未来会有广阔的发展空间某制造企业向A高校3D打印实验团队租用一台3D打印设备，用于打印一批对内径有较高精度要求的零件该团队在实验室打印出了一批这样的零件，从中随机抽取10件零件，度量其内径的茎叶图如如图所示（单位：m）（） 计算平均值与标准差；（） 假设这台3D打印设备打印出品的零件内径Z服从正态分布N（，2），该团队到工厂安装调试后，试打了5个零件，度量其内径分别为（单位：m）：86、95、103、109、118，试问此打印设备是否需要进一步调试，为什么？参考数据：P（2Z+2）=0.9544，P（3Z+3）=0.9974，0.95443=0.87，0.99744=0.99，0.04562=0.00219（12分）（2016佛山一模）如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧面AA1C1C丄侧面ABB1A1，AC=AA1=AB，AA1C1=60，ABAA1，H为棱CC1的中点，D在棱BB1上，且A1D丄平面AB1H（）求证：D为BB1的中点；（）求二面角C1A1DA的余弦值20（12分）（2016佛山一模）已知椭圆：+=1（ab0）的一个顶点为A（2，0），且焦距为2，直线l交椭圆于E、F两点（E、F与A点不重合），且满足AEAF（）求椭圆的标准方程；（）O为坐标原点，若点P满足2=+，求直线AP的斜率的取值范围21（12分）（2016佛山一模）设常数0，a0，函数f（x）=alnx（1）当a=时，若f（x）最小值为0，求的值；（2）对任意给定的正实数，a，证明：存在实数x0，当xx0时，f（x）0选修4-1：几何证明选讲22（10分）（2016佛山一模）如图，四边形ABCD是圆内接四边形，BA、CD的延长线交于点P，且AB=AD，BP=2BC（）求证：PD=2AB；（）当BC=2，PC=5时求AB的长选修4-4：坐标系与参数方程选讲23（2016佛山一模）已知直线l的方程为y=x+4，圆C的参数方程为（为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系（）求直线l与圆C的交点的极坐标；（）若P为圆C上的动点求P到直线l的距离d的最大值选修4-5：不等式选讲24（2016佛山一模）己知函数f（x）=|x2|+a，g（x）=|x+4|，其中aR（）解不等式f（x）g（x）+a；（）任意xR，f（x）+g（x）a2恒成立，求a的取值范围2016年广东省佛山市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）（2016佛山一模）复数z满足z（li）=1i，则|z+1|=（）A0B1CD2【解答】解：z（li）=1i，z（1i）（1+i）=（1+i）2，2z=2i，z=i，z+1=1i，则|z+1|=，故选：C2（5分）（2016佛山一模）已知U=R，函数y=ln（1x）的定义域为M，集合N=x|x2x0则下列结论正确的是（）AMN=NBM（UN）=CMN=UDM（UN）【解答】解：由1x0，解得：x1，故函数y=ln（1x）的定义域为M=（，1），由x2x0，解得：0x1，故集合N=x|x2x0=（0，1），MN=N，故选：A3（5分）（2016佛山一模）已知a，b都是实数，那么“”是“lnalnb”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解答】解：lnalnbab0，是必要条件，而，如a=1，b=0则lnalnb不成立，不是充分条件，故选：B4（5分）（2012辽宁）设变量x，y满足，则2x+3y的最大值为（）A20B35C45D55【解答】解：满足约束条件 的平面区域如下图所示：令z=2x+3y可得y=，则为直线2x+3yz=0在y轴上的截距，截距越大，z越大作直线l：2x+3y=0把直线向上平移可得过点D时2x+3y最大，由可得x=5，y=15，此时z=55故选D5（5分）（2016佛山一模）己知x0=是函数f（x）=sin（2x+）的一个极大值点，则f（x）的一个单调递减区间是（）A（，）B（，）C（，）D（，）【解答】解：x0=是函数f（x）=sin（2x+）的一个极大值点，sin（2+）=1，2+=2k+，解得=2k，kZ，不妨取=，此时f（x）=sin（2x）令2k+2x2k+可得k+xk+，函数f（x）的单调递减区间为（k+，k+）kZ，结合选项可知当k=0时，函数的一个单调递减区间为（，），故选：B6（5分）（2016佛山一模）已知F1，F2分别是双曲线C：=1（a0，b0）的左右两个焦点，若在双曲线C上存在点P使F1PF2=90，且满足2PF1F2=PF2F1，那么双曲线C的离心率为（）A+1B2CD【解答】解：如图，F1PF2=90，且满足2PF1F2=PF2F1，F1PF2=90，PF1F2=30，PF2F1=60，设|PF2|=x，则|PF1|=，|F1F2|=2x，2a=，2c=2x，双曲线C的离心率e=故选：A7（5分）（2016佛山一模）某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责每次献爱心活动均需该组织4位同学参加假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给4位同学，且所发信息都能收到则甲冋学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率为（）ABCD【解答】解：设A表示“甲同学收到李老师所发活动信息”，设B表示“甲同学收到张老师所发活动信息”，由题意P（A）=，P（B）=，甲冋学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率为：p（A+B）=P（A）+P（B）P（A）P（B）=故选：C8（5分）（2016佛山一模）已知tanx=，则sin2（+x）=（）ABCD【解答】解：tanx=，则sin2（+x）=+=+=+=，故选：D9（5分）（2016佛山一模）执行如图所示的程序框图，输出的z值为（）A3B4C5D6【解答】解：执行循环体前，S=1，a=0，不满足退出循环的条件，执行循环体后，S=120=20，a=1，当S=2，a=1，不满足退出循环的条件，执行循环体后，S=121=21，a=2当S=21，a=2，不满足退出循环的条件，执行循环体后，S=2122=23，a=3当S=23，a=3，不满足退出循环的条件，执行循环体后，S=2323=26，a=4当S=26，a=4，满足退出循环的条件，则z=6故输出结果为6故选：D10（5分）（2016佛山一模）某一简单几何体的三视图如所示，该几何体的外接球的表面积是（）A13B16C25D27【解答】解：几何体为底面为正方形的长方体，底面对角线为4，高为3，长方体底面边长为2则长方体外接球半径为r，则2r=5r=长方体外接球的表面积S=4r2=25故选C11（5分）（2016佛山一模）给出下列函数：f（x）=xsinx；f（x）=ex+x；f（x）=ln（x）；a0，使f（x）dx=0的函数是（）ABCD【解答】解：对于，f（x）=xsinx，（sinxxcosx）=xsinx，xsinxdx=（sinxxcosx）=2sina2acosa，令2sina2acosa=0，sina=acosa，又cosa0，tana=a；画出函数y=tanx与y=x的部分图象，如图所示；在（0，）内，两函数的图象有交点，即存在a0，使f（x）dx=0成立，满足条件；对于，f（x）=ex+x，（ex+x）dx=（ex+x2）=eaea；令eaea=0，解得a=0，不满足条件；对于，f（x）=ln（x）是定义域R上的奇函数，且积分的上下限互为相反数，所以定积分值为0，满足条件；综上，a0，使f（x）dx=0的函数是故选：B12（5分）（2016佛山一模）设直线y=t与曲线C：y=x（x3）2的三个交点分别为A（a，t），B（b，t），C（c，t），且abc现给出如下结论：abc的取值范围是（0，4）；a2+b2+c2为定值；ca有最小值无最大值其中正确结论的个数为（）A0B1C2D3【解答】解：令f（x）=x（x3）2=x36x2+9x，f（x）=3x212x+9，令f（x）=0得x=1或x=3当x1或x3时，f（x）0，当1x3时，f（x）0f（x）在（，1）上是增函数，在（1，3）上是减函数，在（3，+）上是增函数，当x=1时，f（x）取得极大值f（1）=4，当x=3时，f（x）取得极小值f（3）=0作出函数f（x）的图象如图所示：直线y=t与曲线C：y=x（x3）2有三个交点，0t4令g（x）=x（x3）2t=x36x2+9xt，则a，b，c是g（x）的三个实根abc=t，a+b+c=6，ab+bc+ac=9，a2+b2+c2=（a+b+c）22（ab+bc+ac）=18由函数图象可知f（x）在（0，1）上的变化率逐渐减小，在（3，4）上的变化率逐渐增大，ca的值先增大后减小，故ca存在最大值，不存在最小值故，正确，故选：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13（5分）（2016佛山一模）（）5的展开式的常数项为10（用数字作答）【解答】解：由于（）5展开式的通项公式为Tr+1=（1）r，令155r=0，解得r=3，故展开式的常数项是10，故答案为：1014（5分）（2016佛山一模）已知向量=（1，2），=（1，0），=（3，4），若为实数，（+），则的值为【解答】解：+=（1+，2），（+），（+）=0，即3（1+）+8=0，解得=故答案为15（5分）（2016佛山一模）宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著四元玉鉴卷中“茭草形段”第一个问题“今有茭草六百八十束，欲令落一形埵（同垛）之问底子（每层三角形边茭草束数，等价于层数）几何？”中探讨了“垛枳术”中的落一形垛（“落一形”即是指顶上1束，下一层3束，再下一层6束，成三角锥的堆垛，故也称三角垛，如图，表示第二层开始的每层茭草束数），则本问题中三角垛底层茭草总束数为120【解答】解：由题意，第n层茭草束数为1+2+n=，1+3+6+=680，即为n（n+1）（2n+1）+n（n+1）=n（n+1）（n+2）=680，即有n（n+1）（n+2）=151617，n=15，=120故答案为：12016（5分）（2016佛山一模）在ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，M是BC的中点，BM=2，AM=cb，ABC面积的最大值为2【解答】解：在ABM中，由余弦定理得：cosB=在ABC中，由余弦定理得：cosB=即b2+c2=4bc8cosA=，sinA=S=sinA=bc=当bc=8时，S取得最大值2故答案为2三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17（12分）（2016佛山一模）已知数列an的前n项和为Sn，且满足an=3Sn2（nN*）（1）求数列an的通项公式；（2）求数列nan的前n项和Tn【解答】解：（1）an=3Sn2，an1=3Sn12（n2），两式相减得：anan1=3an，整理得：an=an1（n2），又a1=3S12，即a1=1，数列an是首项为1、公比为的等比数列，其通项公式an=（1）n1；（2）由（1）可知nan=（1）n1，Tn=11+（1）2+（1）n2（n1）+（1）n1，Tn=1（1）+2+（1）n1（n1）+（1）nn，错位相减得：Tn=1+（1）n1（1）nn=1+（1）nn=+（1）n1，Tn=+（1）n1=+（1）n118（12分）（2016佛山一模）未来制造业对零件的精度要求越来越高.3D打印通常是采用数字技术材料打印机来实现的，常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，后逐渐用于一些产品的直接制造，已经有使用这种技术打印而成的零部件该技术应用十分广泛，可以预计在未来会有广阔的发展空间某制造企业向A高校3D打印实验团队租用一台3D打印设备，用于打印一批对内径有较高精度要求的零件该团队在实验室打印出了一批这样的零件，从中随机抽取10件零件，度量其内径的茎叶图如如图所示（单位：m）（） 计算平均值与标准差；（） 假设这台3D打印设备打印出品的零件内径Z服从正态分布N（，2），该团队到工厂安装调试后，试打了5个零件，度量其内径分别为（单位：m）：86、95、103、109、118，试问此打印设备是否需要进一步调试，为什么？参考数据：P（2Z+2）=0.9544，P（3Z+3）=0.9974，0.95443=0.87，0.99744=0.99，0.04562=0.002【解答】解：（I）平均值=100+=105标准差=6（II）假设这台3D打印设备打印出品的零件内径Z服从正态分布N（105，62），P（2Z+2）=P（93Z117）=0.9544，可知：落在区间（93，117）的数据有3个：95、103、109，因此满足2的概率为：0.954430.045620.0017P（3Z+3）=P（87Z123）=0.9974，可知：落在区间（87，123）的数据有4个：95、103、109、118，因此满足3的概率为：0.997440.00260.0026由以上可知：此打印设备不需要进一步调试19（12分）（2016佛山一模）如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧面AA1C1C丄侧面ABB1A1，AC=AA1=AB，AA1C1=60，ABAA1，H为棱CC1的中点，D在棱BB1上，且A1D丄平面AB1H（）求证：D为BB1的中点；（）求二面角C1A1DA的余弦值【解答】（）证明：连接AC1，AC=AA1，AA1C1=60，三角形ACC1是正三角形，H是CC1的中点，AHCC1，从而AHAA1，侧面AA1C1C丄侧面ABB1A1，面AA1C1C侧面ABB1A1=AA1，AH平面AA1C1C，AHABB1A1，以A为原点，建立空间直角坐标系如图，设AB=，则AA1=2，则A（0，2，0），B1（，2，0），D（，t，0），则=（，2，0），=（，t2，0），A1D丄平面AB1HAB1丄平面AB1HA1D丄AB1，则=（，2，0）（，t2，0）=2+2（t2）=2t2=0，得t=1，即D（，1，0），D为BB1的中点；（2）C1（0，1，），=（，1，0），=（0，1，），设平面C1A1D的法向量为=（x，y，z），则由=xy=0），=y+z=0，得，令x=3，则y=3，z=，=（3，3，），显然平面A1DA的法向量为=（0，0，），则cos，=，即二面角C1A1DA的余弦值是20（12分）（2016佛山一模）已知椭圆：+=1（ab0）的一个顶点为A（2，0），且焦距为2，直线l交椭圆于E、F两点（E、F与A点不重合），且满足AEAF（）求椭圆的标准方程；（）O为坐标原点，若点P满足2=+，求直线AP的斜率的取值范围【解答】解：（）由题意可得a=2，2c=2，即c=1，b=，则椭圆的标准方程为+=1；（）设直线AE的方程为y=k（x2），代入椭圆方程，可得（3+4k2）x216k2x+16k212=0，由2+xE=，可得xE=，yE=k（xE2）=，由于AEAF，只要将上式的k换为，可得xF=，yF=，由2=+，可得P为EF的中点，即有P（，），则直线AP的斜率为t=，当k=0时，t=0；当k0时，t=，再令s=k，可得t=，当s=0时，t=0；当s0时，t=，当且仅当4s=时，取得最大值；当s0时，t=，综上可得直线AP的斜率的取值范围是，21（12分）（2016佛山一模）设常数0，a0，函数f（x）=alnx（1）当a=时，若f（x）最小值为0，求的值；（2）对任意给定的正实数，a，证明：存在实数x0，当xx0时，f（x）0【解答】（1）解：当a=时，函数f（x）=alnx=（x0）f（x）=，0，x0，4x2+9x+320，4x（+x）20当x时，f（x）0，此时函数f（x）单调递增；当0x时，f（x）0，此时函数f（x）单调递减当x=时，函数f（x）取得极小值，即最小值，f（）=0，解得=（2）证明：函数f（x）=alnx=alnx=xalnxxalnx令u（x