概率论二维随机变量及其分布

.,一、二维随机变量,在实际应用中，,有些随机现象需要同时用两个或以,上的随机变量来描述.,例如，,研究某地区学龄前儿童,前儿童的发育情况时，,体重,这里，,某地区的全部学龄前儿童,上的两个随机变量.,在这种情况下，,我们不但要研究,多个随机变量各自的统计规律，,而且还要研究它们之,间的统计相依关系，,因而需考察它们的联合取值的统,计规律，,即多维随机变量的分布.,由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，,故我们,.,二维随机变量,由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，,故我们,.,二维随机变量,由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，,故我们,重点讨论二维随机变量.,定义,设随机试验的样本空间为,而,上的二维随机变量或二维随机向量.,注：,一般地，,完,.,二、二维随机变量的分布函数,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系,与一维情况类,我们也借助“分布函数”来研究二维随机变量.,定义,对任意实数,二元函数,故需,似,或称为随,.,二维随机变量的分布函数,记为,或称为随,.,二维随机变量的分布函数,记为,或称为随机,若将二维随机变量,视为平面上随机点的坐,标，,则分布函数,.,二维随机变量的分布函数,.,二维随机变量的分布函数,的概率(如图1).,由概率的加法法则，,的概率,.,二维随机变量的分布函数,.,二维随机变量的分布函数,则可由,.,二维随机变量的分布函数,则可由,.,二维随机变量的分布函数,则可由,的,边缘分布函数.,联合分布函数的性质,完,.,联合分布函数的性质,联合分布函数的性质：,且,(1),注：,以上四个等式可从几何上进行说明.,（2）,即,对任意固定的,对任意固定的,.,联合分布函数的性质,注：,以上四个等式可从几何上进行说明.,（2）,即,.,联合分布函数的性质,注：,以上四个等式可从几何上进行说明.,（2）,即,对任意固定的,当,对任意固定的,当,（3）,即,完,.,例1,(1),试确定常数,(2),解,(1),由二维随机变量的分布函数的性质,可得,由这三个等式中的第一个等式知,.,例1,(1),试确定常数,(2),解,(1),由这三个等式中的第一个等式知,.,例1,(1),试确定常数,(2),解,由这三个等式中的第一个等式知,故由第二、三个等式知,于是得,(1),.,(2),完,.,三、二维离散型随机变量及其概率分布,为二维离散型随机变量,均为离散型随机变量.,定义,值为,则称,则,均为离,.,二维离散型随机变量及其概率分布,.,二维离散型随机变量及其概率分布,易见，,满足下列性质：,与一维情形类似，,有时也将联合概率分布用表格形,式来表示，,并称之为联合概率分布表,分布:,.,二维离散型随机变量及其概率分布,分布:,.,二维离散型随机变量及其概率分布,分布:,关于,注：,完,.,联合概率分布表,与一维情形类似，,有时也将联合概率分布用表格形,式来表示，,并称为联合概率分布表：,联合概率分布表,.,联合概率分布表,对离散型随机变量而言，,联合概率分布不仅比联合,分布函数更加直观，,而且能够更加方便地确定,设二维离散型随机变,量的概率分布为,则,特别地，,由联合概率分布可以确定联合分布函数:,.,联合概率分布表,特别地，,由联合概率分布可以确定联合分布函数:,.,联合概率分布表,特别地，,由联合概率分布可以确定联合分布函数:,分布：,关于,.,联合概率分布表,分布：,关于,.,联合概率分布表,分布：,关于,注：,完,.,例2,设随机变量,在1,2,3,4四个整数中等可能地取,一个值,另一个随机变量,一整数值,解,且,取不,.,例2,设随机变量,在1,2,3,4四个整数中等可能地取,一个值,另一个随机变量,一整数值,解,.,例2,设随机变量,在1,2,3,4四个整数中等可能地取,一个值,另一个随机变量,一整数值,解,完,.,例3,把一枚均匀硬币抛掷三次,中正面出现的次数,出现次数之差的绝对值,解,.,例3,把一枚均匀硬币抛掷三次,中正面出现的次数,出现次数之差的绝对值,解,.,例3,把一枚均匀硬币抛掷三次,中正面出现的次数,出现次数之差的绝对值,解,缘分布.,.,从而得右表,完,.,例4,设二维随机变量的联合概率分布为,解,.,例4,设二维随机变量的联合概率分布为,解,.,例4,设二维随机变量的联合概率分布为,解,完,.,例5,求,解,.,完,.,例6,十个值中取,一个值.,设,并求分布律.,解,数),所有可能取值为1,2,3,4;,所有可能取值为0,1,2.,的概,率,.,例6,十个值中取,一个值.,设,并求分布律.,解,数),.,例6,十个值中取,一个值.,设,并求分布律.,解,数),.,即有边缘分布律,完,.,四、二维连续型随机变量及其概率密度,定义,为其分布函,数，,若存在一个非负可积的二元函数,任意实数,有,的概率密度(密度函数)，,密度(联合密度函数).,使得对,(1),.,连续型随机变量及其概率密度,(1),.,连续型随机变量及其概率密度,(1),(3),的概率为,特别地，,边缘分布函数,(2),.,连续型随机变量及其概率密度,特别地，,边缘分布函数,.,连续型随机变量及其概率密度,特别地，,边缘分布函数,上式表明，,是连续型随机变量，,且其密度函数为:,同理，,是连续型随机变量，,且其密度函数为：,.,连续型随机变量及其概率密度,.,连续型随机变量及其概率密度,度函数.,(4),则有,进一步，,根据偏导数的定义，,可推得：,有,小时，,即，,完,.,例7,(1),求分布函数,(2),求概率,解,(1),即有,.,例7,(1),求分布函数,(2),求概率,解,(2),即有,及其下方的部分,如图.,于是,.,例7,(1),求分布函数,(2),求概率,解,于是,(2),.,例7,(1),求分布函数,(2),求概率,解,于是,(2),.,例7,(1),求分布函数,(2),求概率,解,于是,(2),完,.,例8,其它,求,(1),的值;,(2),两个边缘密度.,解,(1),.,例8,其它,求,(1),的值;,(2),两个边缘密度.,解,(2),.,例8,其它,求,(1),的值;,(2),两个边缘密度.,解,(2),.,例8,其它,求,(1),的值;,(2),两个边缘密度.,解,(2),即,.,例8,其它,求,(1),的值;,(2),两个边缘密度.,解,(2),即,完,.,例9,求边缘概率密度,解,.,例9,求边缘概率密度,解,.,例9,求边缘概率密度,解,完,.,二维均匀分布,其面积为,若二维随机,其它,注：,几何上为定义在,面.,应用举例：,.,二维均匀分布,应用举例：,.,二维均匀分布,应用举例：,的概率与小区域的,而与,的位置无关，,上任投一质点，,若质点,面积成正比,分布.,注：,关于服从矩形域上的均匀分布的一个结论.,完,.,矩形域上的均匀分布,且分别为,其它,其它,仍为均匀分布，,但对其它形状的区域,不一定有上述结论.,完,.,例10,分布,解,从而,.,例10,分布,解,.,例10,分布,解,成,完,.,二维正态分布,且,的二维正态分布.,记为,注：,(1),如右图.,服从二维正态分布的概率密度函数的典型,.,二维正态分布,注：,(1),如右图.,服从二维正态分布的概率密度函数的典型,.,二维正态分布,注：,(1),如右图.,服从二维正态分布的概率密度函数的典型,(2),二维正态分布的两个边缘,即,密度仍是正态分布，,完,.,推导,二维正态分布的两个边缘密度仍是正态分布,事实上，,因为,而且,于是,令,则有,.,令,则有,.,令,则有,同理,注：,上述结果表明，,二维正态随机变量的两个边原缘,分布都是一维正态分布，,且都不依赖于参数,亦即,.,注：,上述结果表明，,二维正态随机变量的两个边原缘,分布都是一维正态分布，,且都不依赖于参数,亦即,.,注：,上述结果表明，,二维正态随机变量的两个边原缘,分布都是一维正态分布，,且都不依赖于参数,亦即,对给定的,态分布，,但它们的边缘分布都是相同的,一般来说是不能确定二维随,因此仅由关于,完,.,例11,解,注:,此例说明,边缘分布均为正态分布的二维随机,变量,其联合分布不一定是二维正态分布.,完,.,课堂练习,1.,将两封信随意地投入3个邮筒,投入第1,2号邮筒中信的数目,分布及边缘概率分布.,2.,求(1),(2),的边缘密度.,完,.,练习解答,1.,将两封信随意地投入3个邮筒,投入第1,2号邮筒中信的数目,分布及边缘概率分布.,解,各自的可能取值显然均为,由题设知,因而相应的概率,均为0,我们将其标在联合概率分布表中相应位置.,取其它值的概率可由古典概型计算,由于对,称性,我们实际上只需计算下列概率:,.,练习解答,解,.,练习解答,解,边缘概率分布可直接在联合概率分布表中计算,的概率分布由,列和产生,(见下表).,.,练习解答,解,边缘概率分布可直接在联合概率分布表中计算,的概率分布由,列和产生,(见下表).,.,练习解答,解,边缘概率分布可直接在联合概率分布表中计算,的概率分布由,列和产生,(见下表).,完,.,课堂练习,2.,求(1),(2),的边缘密度.,解,(1),由密度函数的性质,有,由此易得,从而,(2),.,课堂练习,解,(2),.,课堂练习,解,(2),即,根据对称性,有,完,.,内容小结,1.,与一维情形相对应,本书引