（京津鲁琼专用）2020版高考数学专题一三角函数与解三角形第2讲三角恒等变换与解三角形练典型习题提数学素养.docx

第2讲三角恒等变换与解三角形A组夯基保分专练一、选择题1已知sin()，则cos 2的值为()ABCD解析：选C.因为sin()，所以cos()0，可得cos()，所以sin sin()sin()cos cos()sin ，cos 212sin21，故选C.2(2019高考全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asin Absin B4csin C，cos A，则()A6B5C4D3解析：选A.由题意及正弦定理得，b2a24c2，所以由余弦定理得，cos A，得6.故选A.3在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c2a，bsin Basin Aasin C，则sin B为()ABCD解析：选A.由bsin Basin Aasin C，且c2a，得ba，因为cos B，所以sin B .4(一题多解)在ABC中，已知AB，AC，tanBAC3，则BC边上的高等于()A1BCD2解析：选A.法一：因为tanBAC3，所以sinBAC，cosBAC.由余弦定理，得BC2AC2AB22ACABcosBAC5229，所以BC3，所以SABCABACsinBAC，所以BC边上的高h1，故选A.法二：因为tanBAC3，所以cosBACB，则sin Asin BB在锐角三角形ABC中，不等式sin Acos B恒成立C在ABC中，若acos Abcos B0，则ABC必是等腰直角三角形D在ABC中，若B60，b2ac，则ABC必是等边三角形解析：选ABD.对于A，在ABC中，由正弦定理可得，所以sin Asin BabAB，故A正确；对于B，在锐角三角形ABC中，A，B，且AB，则AB0，所以sin Asincos B，故B正确；对于C，在ABC中，由acos Abcos B，利用正弦定理可得sin 2Asin 2B，得到2A2B或2A2B，故AB或AB，即ABC是等腰三角形或直角三角形，故C错误；对于D，在ABC中，若B60，b2ac，由余弦定理可得，b2a2c22accos B，所以aca2c2ac，即(ac)20，解得ac.又B60，所以ABC必是等边三角形，故D正确故选ABD.二、填空题7(2019济南联考改编)若tan(2)2，tan 3，则tan()_，tan _解析：因为tan(2)2，tan 3，所以tan()tan(2)1.tan tan().答案：18已知a，b，c是ABC中角A，B，C的对边，a4，b(4，6)，sin 2Asin C，则c的取值范围为_解析：由，得，所以c8cos A，因为16b2c22bccos A，所以16b264cos2A16bcos2A，又b4，所以cos2A，所以c264cos2A64164b.因为b(4，6)，所以32c240，所以4c0，所以cos B.因为B(0，)，所以B.(2)由tan C，C(0，)，得sin C，cos C，所以sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C.由正弦定理，得a6，所以ABC的面积为absin C626.11(2019武汉模拟)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A2B，cos B.(1)求sin C的值；(2)若角A的平分线AD的长为，求b的值解：(1)由cos B及0B，得sin B，又A2B，所以sin Asin 2B2sin Bcos B2，cos Acos 2B2cos2B1.故sin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B.(2)由题意得，ADCBBACBAC(如图)，所以sinADC.在ADC中，即，AC，故b.12(2019高考天津卷)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bc2a，3csin B4asin C.(1)求cos B的值；(2)求sin的值解：(1)在ABC中，由正弦定理，得bsin Ccsin B，又由3csin B4asin C，得3bsin C4asin C，即3b4a.又因为bc2a，得到ba，ca.由余弦定理可得cos B.(2)由(1)可得sin B，从而sin 2B2sin Bcos B，cos 2Bcos2Bsin2B，故sinsin 2Bcoscos 2Bsin .B组大题增分专练1(2019江西七校第一次联考)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a(sin Asin B)(cb)(sin Csin B)(1)求角C；(2)若c，ABC的面积为，求ABC的周长解：(1)由a(sin Asin B)(cb)(sin Csin B)及正弦定理，得a(ab)(cb)(cb)，即a2b2c2ab.所以cos C，又C(0，)，所以C.(2)由(1)知a2b2c2ab，所以(ab)23abc27，又Sabsin Cab，所以ab6，所以(ab)273ab25，ab5.所以ABC的周长为abc5.2(一题多解)(2019福州模拟)如图，在ABC中，M是边BC的中点，cosBAM，cosAMC.(1)求B的大小；(2)若AM，求AMC的面积解：(1)由cosBAM，得sinBAM，由cosAMC，得sinAMC.又AMCBAMB，所以cosBcos(AMCBAM)cosAMCcosBAMsinAMCsinBAM，又B(0，)，所以B.(2)法一：由(1)知B，在ABM中，由正弦定理，得BM.因为M是边BC的中点，所以MC.故SAMCAMMCsinAMC.法二：由(1)知B，在ABM中，由正弦定理，得BM.因为M是边BC的中点，所以SAMCSABM，所以SAMCSABMAMBMsinBMA.3(2019昆明市质量检测)ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2(cacos B)b.(1)求角A；(2)若a2，求ABC面积的取值范围解：(1)由2(cacos B)b及正弦定理得2(sin Csin Acos B)sin B，所以2sin(AB)2sin Acos Bsin B，即2cos Asin Bsin B，因为sin B0，所以cos A，又0A，所以A.(2)因为a2，由正弦定理得b4sin B，c4sin C，所以SABCbcsin Abc，所以SABC4sin Bsin C，因为C(AB)B，所以sin Csin，所以SABC4sin Bsin4sin B，即SABC2sin Bcos B2sin2Bsin 2Bcos 2B2sin.因为0B，所以2B，所以sin1，所以0SABC2.即ABC面积的取值范围为(0，24已知在ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，AB边上的高hc.(1)若ABC为锐角三角形，且cos A，求角C的正弦值；(2)若C，M，求M的值解：(1)作CDAB，垂足为D