2014-2018年五年真题分类第八 章 立体几何

*第八章 立体几何考点1 空间几何体的结构及其三视图与直观图1（2018全国，7）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示，圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（ ）A217 B25 C3 D21.B 根据圆柱的三视图以及其本身的特征，可以确定点M和点N分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处，所以所求的最短路径的长度为42+22=25，故选B.2（2018全国，3）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()A B C D2.A 观擦图形图可知，俯视图为，故答案为A.3（2018浙江，3）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是()A2 B4 C6 D83.C 根据三视图可得几何体为一个直四棱柱，高为2，底面为直角梯形，上下底分别为1，2，梯形的高为2，因此几何体的体积为12(1+2)22=6,选C.4（2018北京，5）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为()A1 B2C3 D44.C 由三视图可得四棱锥P-ABCD，在四棱锥P-ABCD中，PD=2,AD=2,CD=2,AB=1，由勾股定理可知：PA=22,PC=22,PB=3,BC=5，则在四棱锥中，直角三角形有：PAD,PCD,PAB共三个，故选C.5.（2017浙江,3）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm2）是（ ）A.+1 B.+3 C.+1 D.+35. A 由几何的三视图可知，该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，圆锥的底面圆的半径为1，三棱锥的底面是底边长2的等腰直角三角形，圆锥的高和棱锥的高相等均为3，故该几何体的体积为 123+ 3= +1，故选A.6.(2016全国，9)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为()A.1836 B.5418 C.90 D.816.B由题意知，几何体为平行六面体，边长分别为3，3，几何体的表面积S362332325418.7.(2016全国，6)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A.20 B.24 C.28 D.327.C 由三视图可知，组合体的底面圆的面积和周长均为4，圆锥的母线长l4，所以圆锥的侧面积为S锥侧448，圆柱的侧面积S柱侧4416，所以组合体的表面积S816428，故选C.8.(2016北京，6)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为()A. B. C. D.18.A由三视图知，三棱锥如图所示：由侧视图得高h1，又底面积S11.所以体积VSh.9.(2016山东，5)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为()A. B. C. D.19.C由三视图知,半球的半径R,四棱锥为底面边长为1,高为1的正四棱锥,V111，故选C.10.(2015广东，8)若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值()A.大于5 B.等于5 C.至多等于4 D.至多等于310.C当n3时显然成立，故排除A，B；由正四面体的四个顶点，两两距离相等，得n4时成立，故选C.11.(2015北京，5)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是()A.2 B.4 C.22 D.511.C该三棱锥的直观图如图所示：过D作DEBC，交BC于E，连接AE，则BC2，EC1，AD1，ED2，S表SBCDSACDSABDSABC2211222.12.(2015浙江，2)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是()A.8 cm3 B.12 cm3 C.cm3 D. cm312.C该几何体是棱长为2 cm的正方体与一底面边长为2 cm的正方形，高为2 cm的正四棱锥组成的组合体，V222222(cm3).故选C.13.(2015新课标全国，11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为1620，则r()A.1 B.2 C.4 D.813.B由题意知，2r2r2r2rr2r24r24r25r21620，解得r2.14.(2014福建，2)某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是()A.圆柱 B.圆锥 C.四面体 D.三棱柱14.A圆柱的正视图是矩形，则该几何体不可能是圆柱.15.(2014江西，5)一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是()15.B由直观图可知，该几何体由一个长方体和一个截角三棱柱组成.从上往下看，外层轮廓线是一个矩形，矩形内部有一条线段连接的两个三角形.16.(2014湖北，5)在如图所示的空间直角坐标系Oxyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2).给出编号为、的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为()A.和 B.和 C.和 D.和16.D在空间直角坐标系Oxyz中作出棱长为2的正方体，在该正方体中作出四面体，如图所示，由图可知，该四面体的正视图为，俯视图为.选D.17.(2014新课标全国，12)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为()A.6 B.4 C.6 D.417.C如图，设辅助正方体的棱长为4，三视图对应的多面体为三棱锥ABCD，最长的棱为AD6，选C.18.(2015天津，10)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为_m3. 18.由三视图可知，该几何体由相同底面的两圆锥和圆柱组成，底面半径为1，圆锥的高为1，圆柱的高为2，所以该几何体的体积V2121122 m3.19.（2017江苏,18）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器和正四棱台形玻璃容器的高均为32cm，容器的底面对角线AC的长为10 cm，容器的两底面对角线EG，E1G1的长分别为14cm和62cm分别在容器和容器中注入水，水深均为12cm现有一根玻璃棒l，其长度为40cm（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（）将l放在容器中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，求l没入水中部分的长度；（）将l放在容器中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求l没入水中部分的长度19. （）设玻璃棒在CC1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，在平面ACM中，过N作NPMC，交AC于点P，ABCDA1B1C1D1为正四棱柱，CC1平面ABCD，又AC平面ABCD，CC1AC，NPAC，NP=12cm，且AM2=AC2+MC2 ， 解得MC=30cm，NPMC，ANPAMC， = ， ，得AN=16cm玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm（）设玻璃棒在GG1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，在平面E1EGG1中，过点N作NPEG，交EG于点P，过点E作EQE1G1 ， 交E1G1于点Q，EFGHE1F1G1H1为正四棱台，EE1=GG1 ， EGE1G1 ， EGE1G1 ， EE1G1G为等腰梯形，画出平面E1EGG1的平面图，E1G1=62cm，EG=14cm，EQ=32cm，NP=12cm，E1Q=24cm，由勾股定理得：E1E=40cm，sinEE1G1= ，sinEGM=sinEE1G1= ，cos ，根据正弦定理得： = ，sin ，cos ，sinGEM=sin（EGM+EMG）=sinEGMcosEMG+cosEGMsinEMG= ，EN= = =20cm玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm考点2 空间几何体的表面积和体积1（2018全国，10）设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC为等边三角形且其面积为93，则三棱锥DABC体积的最大值为()A123 B183 C243 D5431.B 如图所示，点M为三角形ABC的重心，E为AC中点，当DM平面ABC时，三棱锥D-ABC体积最大,此时，OD=OB=R=4.SABC=34AB2=93,AB=6,点M为三角形ABC的重心,BM=23BE=23.RtABC中，有OM=OB2-BM2=2,DM=OD+OM=4+2=6,(VD-ABC)max=13936=183,故选B.2.（2017新课标,7）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（）A.10 B.12 C.14 D.162. B 由三视图可画出直观图，该立体图中只有两个相同的梯形的面，S梯形= 2（2+4）=6，这些梯形的面积之和为62=12，故选B.3.（2017新课标,4）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（ ）A.90 B.63 C.42 D.363. B 由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半，V=3210 326=63，故选B4.（2017新课标,8）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ） A. B. C. D.4.B 圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，该圆柱底面圆周半径r= = ，该圆柱的体积：V=Sh= = 故选B5.（2017北京,7）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（）A.3 B.2 C.2 D.25.B 由三视图可得直观图，在四棱锥PABCD中，最长的棱为PA，即PA= = =2 ，故选B6.(2016全国，10)在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球，若ABBC，AB6，BC8，AA13，则V的最大值是()A.4 B. C.6 D.6.B由题意知，底面三角形的内切圆直径为4.三棱柱的高为3，所以球的最大直径为3，V的最大值为.7.(2016全国，6)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是()A.17 B.18 C.20 D.287.A由题知，该几何体的直观图如图所示，它是一个球(被过球心O且互相垂直的三个平面)切掉左上角的后得到的组合体，其表面积是球面面积的和三个圆面积之和，易得球的半径为2，则得S42232217，故选A.8.(2015陕西，5)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A.3 B.4 C.24 D.348.D由三视图可知原几何体为半圆柱，底面半径为1，高为2，则表面积为：S212212222434.9.(2015安徽，7)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是()A.1 B.2 C.12 D.29.B由空间几何体的三视图可得该空间几何体的直观图，如图，该四面体的表面积为S表2212()22，故选B.10.(2015新课标全国，9)已知A，B是球O的球面上两点，AOB90，C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为()A.36 B.64 C.144 D.25610.C如图，要使三棱锥O-ABC即C-OAB的体积最大，当且仅当点C到平面OAB的距离，即三棱锥C-OAB底面OAB上的高最大，其最大值为球O的半径R，则VO-ABC最大VC-OAB最大SOABRR2RR336，所以R6，得S球O4R2462144，选C.11.(2015山东，7)在梯形ABCD中，ABC，ADBC，BC2AD2AB2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A. B. C. D.211.C如图,由题意,得BC2，ADAB1.绕AD所在直线旋转一周后所得几何体为一个圆柱挖去一个圆锥的组合体.所求体积V122121.12.(2015重庆，5)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A. B. C.2 D.212.A这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，V1221，选A.13.(2015新课标全国，6)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()A. B. C. D.13.D如图，由题意知，该几何体是正方体ABCD-A1B1C1D1被过三点A、B1、D1的平面所截剩余部分，截去的部分为三棱锥A-A1B1D1，设正方体的棱长为1，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为，选D.14.(2015湖南，10)某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为(材料利用率)()A. B. C. D.14.A易知原工件为一圆锥，V1r2h，设内接长方体长、宽、高为a、b、c，欲令体积最大，则ab.由截面图的相似关系知，c2，即ca2，V长方体abca2ca2(2a)，设g(a)2a2a3，则g(a)4a3a0，令g(a)0，解得a，所以令a时，V长方体最大为，.故选A.15.(2014重庆，7)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A.54 B.60 C.66 D.7215.B该几何体的直观图如图所示，易知该几何体的表面是由两个直角三角形，两个直角梯形和一个矩形组成的，则其表面积S3435543560.选B.16.(2014浙江，3)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是()A.90 cm2 B.129 cm2 C.132 cm2 D.138 cm216.D由三视图可知该几何体由一个直三棱柱与一个长方体组合而成(如图)，其表面积为S35243433324324636138(cm2).17.(2014大纲全国，8)正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为()A. B.16 C.9 D.17.A设球的半径为R，由题意可得(4R)2()2R2，解得R，所以该球的表面积为4R2.故选A.18.(2014安徽，7)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为()A.21 B.18 C.21 D.1818.A根据题意作出直观图如图，该多面体是由正方体切去两个角而得到的，根据三视图可知其表面积为6(2211)2()2621.故选A.19.(2014陕西，5)已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为()A. B.4 C.2 D.19.D如图为正四棱柱AC1.根据题意得AC，对角面ACC1A1为正方形，外接球直径2RA1C2，R1，V球，故选D.20.(2014湖北，8)算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式VL2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么，近似公式VL2h相当于将圆锥体积公式中的近似取为()A. B. C. D.20.B圆锥的体积Vr2hh,由题意得12，近似取为，故选B.21.(2014新课标全国，6)如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm，高为6 cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为()A. B. C. D.21.C由三视图知该零件是两个圆柱的组合体.一个圆柱的底面半径为2 cm，高为4 cm；另一个圆柱的底面半径为3 cm，高为2 cm.则零件的体积V122432234(cm3).而毛坯的体积V32654(cm3)，因此切削掉部分的体积V2VV1543420(cm3)，所以.故选C.22（2018全国，16）已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为78，SA与圆锥底面所成角为45，若SAB的面积为515，则该圆锥的侧面积为_22.402 因为母线SA，SB所成角的余弦值为78，所以母线SA，SB所成角的正弦值为158，因为SAB的面积为515，设母线长为l,所以12l2158=515l2=80，因为SA与圆锥底面所成角为45，所以底面半径为lcos4=22l,因此圆锥的侧面积为rl=22l2=402.23（2018天津，11）已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥M-EFGH的体积为_.23.112 由题意可得，底面四边形EFGH为边长为22的正方形，其面积SEFGH=222=12，顶点M到底面四边形EFGH的距离为d=12，由四棱锥的体积公式可得：VMEFGH=131212=112.24（2018江苏，10）如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为_24.43 由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为1，底面正方形的边长等于2，所以该多面体的体积为2131(2)2=43.25.（2017新课标,16）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为OD、E、F为圆O上的点，DBC，ECA，FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起DBC，ECA，FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥当ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_25. 4 cm3 由题意，连接OD，交BC于点G，由题意得ODBC，OG= BC，即OG的长度与BC的长度成正比，设OG=x，则BC=2 x，DG=5x，26.（2017山东,13）由一个长方体和两个 圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为_26. 2+ 由长方体长为2，宽为1，高为1，则长方体的体积V1=211=2，圆柱的底面半径为1，高为1，则圆柱的体积V2= 121= ，则该几何体的体积V=V1+2V1=2+ ，故答案为：2+ 27.（2017天津,10）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为_ 27. 设正方体的棱长为a， 这个正方体的表面积为18， 6a2=18，则a2=3，即a= ，一个正方体的所有顶点在一个球面上，正方体的体对角线等于球的直径，即 a=2R，即R= ，则球的体积V= （ ）3= ；故答案为： 28.（2017江苏,6）如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1 ， 球O的体积为V2 ， 则 的值是_28. 设球的半径为R，则球的体积为： R3 ， 圆柱的体积为：R22R=2R3 则 = = 故答案为： 29.(2016四川，13)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是_.29. 由题可知，三棱锥每个面都是腰为2的等腰三角形，由正视图可得如右俯视图，且三棱锥高为h1，则面积VSh1.30.(2016浙江，14)如图，在ABC中，ABBC2，ABC120.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PDDA，PBBA，则四面体PBCD的体积的最大值是_.30.设PDDAx，在ABC中，ABBC2，ABC120，AC2，CD2x，且ACB(180120)30，SBCDBCDCsinACB2(2x)(2x).要使四面体体积最大，当且仅当点P到平面BCD的距离最大，而P到平面BCD的最大距离为x.则V四面体PBCD(2x)x(x)23，由于0x2，故当x时，V四面体PBCD的最大值为3.31.(2015江苏，9)现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为_.31.设新的底面半径为r，由题意得r24r28524228，解得r.32.(2014江苏，8)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且，则的值是_.32.设圆柱甲的底面半径为r1，高为h1，圆柱乙的底面半径为r2，高为h2.由题意得，.又S甲侧S乙侧，即2r1h12r2h2，故.考点3 点、线、面的位置关系1（2018全国，12）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为()A334 B233 C324 D321.A 根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，所以在正方体ABCDA1B1C1D1中，平面AB1D1与线AA1,A1B1,A1D1所成的角是相等的，所以平面AB1D1与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，同理平面C1BD也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等，要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面AB1D1与C1BD中间的，且过棱的中点的正六边形，且边长为22，所以其面积为S=634(22)2=334，故选A.2.（2017新课标,10）已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC=120，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D.2. C 如图所示，设M、N、P分别为AB，BB1和B1C1的中点，则AB1、BC1夹角为MN和NP夹角或其补角（因异面直线所成角为（0， ），可知MN= AB1= ，NP= BC1= ；作BC中点Q，则PQM为直角三角形；PQ=1，MQ= AC，ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+BC22ABBCcosABC=4+1221（ ）=7，AC= ，MQ= ；在MQP中，MP= = ；在PMN中，由余弦定理得cosMNP= = = ；又异面直线所成角的范围是（0， ，AB1与BC1所成角的余弦值为 3. (2016全国，11)平面过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，平面CB1D1，平面ABCDm，平面ABB1A1n，则m，n所成角的正弦值为()A. B. C. D.3. A如图所示，设平面CB1D1平面ABCDm1，平面CB1D1，则m1m，又平面ABCD平面A1B1C1D1，平面CB1D1平面A1B1C1D1B1D1，B1D1m1，B1D1m，同理可得CD1n.故m、n所成角的大小与B1D1、CD1所成角的大小相等，即CD1B1的大小.而B1CB1D1CD1(均为面对角线)，因此CD1B1，得sinCD1B1，故选A.4.(2015安徽，5)已知m，n是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是()A.若，垂直于同一平面，则与平行B.若m，n平行于同一平面，则m与n平行C.若，不平行，则在内不存在与平行的直线D.若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面4.D对于A，垂直于同一平面，关系不确定，A错；对于B，m，n平行于同一平面，m，n关系不确定，可平行、相交、异面，故B错；对于C，不平行，但内能找出平行于的直线，如中平行于，交线的直线平行于，故C错；对于D，若假设m，n垂直于同一平面，则mn，其逆否命题即为D选项，故D正确.5.(2014辽宁，4)已知m，n表示两条不同直线，表示平面.下列说法正确的是()A.若m，n，则mnB.若m，n，则mnC.若m，mn，则nD.若m，mn，则n5.B对于选项A，若m，n，则m与n可能相交、平行或异面，A错误；显然选项B正确；对于选项C，若m，mn，则n或n，C错误；对于选项D，若m，mn，则n或n或n与相交.D错误.故选B.6.(2015浙江，13)如图，三棱锥ABCD中，ABACBDCD3，ADBC2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是_.6.连接DN,作DN的中点O,连接MO,OC.在AND中.M为AD的中点,则OM綉AN.所以异面直线AN，CM所成角为CMO，在ABC中，ABAC3，BC2，则AN2，OM.在ACD中，同理可知CM2，在BCD中，DN2，在RtONC中，ON，CN1OC.在CMO中，由余弦定理cosCMO.考点4 线面平行的判定与性质1.（2017新课标,19）如图，四棱锥PABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC= AD，BAD=ABC=90，E是PD的中点（）证明：直线CE平面PAB；（）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成角为45，求二面角MABD的余弦值1.（）证明：取PA的中点F，连接EF，BF，因为E是PD的中点，所以EF AD，AB=BC= AD，BAD=ABC=90，BC AD，BCEF是平行四边形，可得CEBF，BF平面PAB，CF平面PAB，直线CE平面PAB；（）解：四棱锥PABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC= AD，BAD=ABC=90，E是PD的中点取AD的中点O，M在底面ABCD上的射影N在OC上，设AD=2，则AB=BC=1，OP= ，PCO=60，直线BM与底面ABCD所成角为45，可得：BN=MN，CN= MN，BC=1，可得：1+ BN2=BN2 ， BN= ，MN= ，作NQAB于Q，连接MQ，所以MQN就是二面角MABD的平面角，MQ= = ，二面角MABD的余弦值为： = 2.（2017江苏,15）如图，在三棱锥ABCD中，ABAD，BCBD，平面ABD平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EFAD 求证：（）EF平面ABC；（）ADAC2.证明：（）因为ABAD，EFAD，且A、B、E、F四点共面， 所以ABEF，又因为EF平面ABC，AB平面ABC，所以由线面平行判定定理可知：EF平面ABC；（）在线段CD上取点G，连结FG、EG使得FGBC，则EGAC，因为BCBD，所以FGBC，又因为平面ABD平面BCD，所以FG平面ABD，所以FGAD，又因为ADEF，且EFFG=F，所以AD平面EFG，所以ADEG，故ADAC3.(2016山东,17)在如图所示的圆台中,AC是下底面圆O的直径,EF是上底面圆O的直径,FB是圆台的一条母线.(1)已知G,H分别为EC,FB的中点,求证：GH平面ABC；(2)已知EFFBAC2,ABBC,求二面角FBCA的余弦值.3.(1)证明设FC中点为I,连接GI,HI,在CEF中,因为点G是CE的中点,所以GIEF.又EFOB,所以GIOB.在CFB中,因为H是FB的中点,所以HIBC,又HIGII,所以平面GHI平面ABC.因为GH平面GHI,所以GH平面ABC.(2)连接OO,则OO平面ABC.又ABBC,且AC是圆O的直径,所以BOAC.以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.由题意得B(0,2,0),C(2,0,0).过点F作FM垂直OB于点M,所以FM3,可得F(0,3).故(2,2,0),(0,3).设m(x,y,z)是平面BCF的一个法向量.由可得可得平面BCF的一个法向量m,因为平面ABC的一个法向量n(0,0,1),所以cosm,n.所以二面角FBCA的余弦值为.4.(2016全国,19)如图,四棱锥PABCD中,PA底面ABCD,ADBC,ABADAC3,PABC4,M为线段AD上一点,AM2MD,N为PC的中点.(1)证明MN平面PAB；(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.4.(1)证明由已知得AMAD2.取BP的中点T,连接AT,TN,由N为PC中点知TNBC,TNBC2.又ADBC,故TN綉AM,四边形AMNT为平行四边形,于是MNAT.因为AT平面PAB,MN平面PAB,所以MN平面PAB.(2)解取BC的中点E,连接AE.由ABAC得AEBC,从而AEAD,AE.以A为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.由题意知,P(0,0,4),M(0,2,0),C(,2,0),N,(0,2,4),.设n(x,y,z)为平面PMN的法向量,则即可取n(0,2,1).于是cosn,.设AN与平面PMN所成的角为,则sin ,直线AN与平面PMN所成的角的正弦值为.5.(2015江苏,16)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知ACBC,BCCC1.设AB1的中点为D,B1CBC1E.求证：(1)DE平面AA1C1C；(2)BC1AB1.5.证明(1)由题意知,E为B1C的中点,又D为AB1的中点,因此DEAC.又因为DE平面AA1C1C,AC平面AA1C1C,所以DE平面AA1C1C.(2)因为棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱,所以CC1平面ABC.因为AC平面ABC,所以ACCC1.又因为ACBC,CC1平面BCC1B1,BC平面BCC1B1,BCCC1C,所以AC平面BCC1B1.又因为BC1平面BCC1B1,所以BC1AC.因为BCCC1,所以矩形BCC1B1是正方形,因此BC1B1C.因为AC,B1C平面B1AC,ACB1CC,所以BC1平面B1AC.又因为AB1平面B1AC,所以BC1AB1.6.(2014江苏,16)如图,在三棱锥PABC中,D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点.已知PAAC,PA6,BC8,DF5.求证：(1)直线PA平面DEF；(2)平面BDE平面ABC.6.证明(1)因为D,E分别为棱PC,AC的中点,所以DEPA.又因为PA平面DEF,DE平面DEF,所以直线PA平面DEF.(2)因为D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点,PA6,BC8,所以DEPA,DEPA3,EFBC4.又因为DF5,故DF2DE2EF2,所以DEF90,即DEEF.又PAAC,DEPA,所以DEAC.因为ACEFE,AC平面ABC,EF平面ABC,所以DE平面ABC.又DE平面BDE,所以平面BDE平面ABC.7.(2014新课标全国,18)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA平面ABCD,E为PD的中点.(1)证明：PB平面AEC；(2)设二面角DAEC为60,AP1,AD,求三棱锥EACD的体积.7.(1)证明连接BD交AC于点O,连接EO.因为ABCD为矩形,所以O为BD的中点.又E为PD的中点,所以EOPB.又因为EO平面AEC,PB平面AEC,所以PB平面AEC.(2)因为PA平面ABCD,ABCD为矩形,所以AB,AD,AP两两垂直.如图,以A为坐标原点,的方向为x轴的正方向,|为单位长,建立空间直角坐标系Axyz,则D(0,0),E,.设B(m,0,0)(m0),则C(m,0),(m,0).设n1(x,y,z)为平面ACE的法向量,则即可取n1.又n2(1,0,0)为平面DAE的法向量,由题设知|cosn1,n2|,即,解得m.因为E为PD的中点,所以三棱锥EACD的高为,三棱锥EACD的体积V.8.(2014湖北,19)如图,在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F,M,N分别是棱AB,AD,A1B1,A1D1的中点,点P,Q分别在棱DD1,BB1上移动,且DPBQ(02).(1)当1时,证明：直线BC1平面EFPQ；(2)是否存在,使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在,求出的值；若不存在,说明理由.8.法一(几何法)(1)证明如图1,连接AD1,由ABCDA1B1C1D1是正方体,知BC1AD1.当1时,P是DD1的中点,又F是AD的中点,所以FPAD1.所以BC1FP.而FP平面EFPQ,且BC1平面EFPQ,故直线BC1平面EFPQ.(2)如图2,连接BD.因为E,F分别是AB,AD的中点,所以EFBD,且EFBD.又DPBQ,DPBQ,所以四边形PQBD是平行四边形,故PQBD,且PQBD,从而EFPQ,且EFPQ.在RtEBQ和RtFDP中,因为BQDP,BEDF1,于是EQFP,所以四边形EFPQ是等腰梯形.同理可证四边形PQMN是等腰梯形.分别取EF,PQ,MN的中点为H,O,G,连接OH,OG,则GOPQ,HOPQ,而GOHOO,故GOH是面EFPQ与面PQMN所成的二面角的平面角.若存在,使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角,则GOH90.连接EM,FN,则由EFMN,且EFMN,知四边形EFNM是平行四边形.连接GH,因为H,G是EF,MN的中点,所以GHME2.在GOH中,GH24,OH2122,OG21(2)2(2)2,由OG2OH2GH2,得(2)224,解得1,故存在1,使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角.法二(向量方法)以D为原点,射线DA,DC,DD1分别为x,y,z轴的正半轴建立如图3所示的空间直角坐标系Dxyz.由已知得B(2,2,0),C1(0,2,2),E(2,1,0),F(1,0,0),P(0,0,).(2,0,2),(1,0,),(1,1,0).(1)证明当1时,(1,0,1),又因为(2,0,2),所以2,即BC1FP.而FP平面EFPQ,且BC1平面EFPQ,故直线BC1平面EFPQ.(2)解设平面EFPQ的一个法向量为n(x,y,z),则由可得于是可取n(,1).同理可得平面MNPQ的一个法向量为m(2,2,1).若存在,使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角,则mn(2,2,1)(,1)0,即(2)(2)10,解得1.故存在1,使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角.考点5 线面垂直的判定与性质1.(2016浙江,2)已知互相垂直的平面,交于直线l.若直线m,n满足m,n,则()A.ml B.mn C.nl D.mn1.C 由已知,l,l,又n,nl,C正确.故选C.2.(2015浙江,8)如图,已知ABC,D是AB的中点,沿直线CD将ACD翻折成ACD,所成二面角ACDB的平面角为,则()A.ADBB.ADBC.ACBD.ACB2.B极限思想：若,则ACB,排除D；若0,如图,则ADB,ACB都可以大于0,排除A,C.故选B. 3.(2014广东,7)若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1l2,l2l3,l3l4,则下列结论一定正确的是()A.l1l4 B.l1l4 C.l1与l4既不垂直也不平行 D.l1与l4的位置关系不确定3.D构造如图所示的正方体ABCDA1B1C1D1,取l1为AD,l2为AA1,l3为A1B1,当取l4为B1C1时,l1l4,当取l4为BB1时,l1l4,故排除A、B、C,选D.4.(2016全国,14),是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题：(1)如果mn,m,n,那么.(2)如果m,n,那么mn.(3)如果,m,那么m.(4)如果mn,那么m与所成的角和n与所成的角相等.其中正确的命题有_(填写所有正确命题的编号).4. 当mn,m,n时,两个平面的位置关系不确定,故错误,经判断知均正确,故正确答案为.5（2018江苏，15）在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1=AB,AB1B1C1。求证：（1）AB/平面A1B1C；（2）平面ABB1A1平面A1BC5.证明：（1）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，ABA1B1因为AB平面A1B1C，A1B1平面A1B1