均值不等式的证明.docx

平均值不等式及其证明平均值不等式是最基本的重要不等式之一，在不等式理论研究和证明中占有重要的位置。平均值不等式的证明有许多方法，这里，我们选了部分具有代表意义的证明方法，其中用来证明平均值不等式的许多结论，其本身又具有重要的意义，特别是，在许多竞赛的书籍中，都有专门的章节和讨论，如数学归纳法、变量替换、恒等变形和分析综合方法等，这些也是证明不等式的常用方法和技巧。1.1 平均值不等式一般地，假设a1，a2，an为n个非负实数，他们的算术平均值记为 An=a1+a2+ann,几何平均值记为Gn=(a1a2an)1n=na1a2an.算术平均值与几何平均值之间有如下的关系。a1+a2+annna1a2an即 AnGn，当且仅当a1=a2=an时，等号成立。上述不等式成为平均值不等式，或简称为均值不等式。平均值不等式的表达形式简单，容易记住，但它的证明和应用非常灵活、广泛，有多重不同的方法。为使大家理解和掌握，这里我们选择了其中的几种典型的证明方法。供大家参考学习。1.2平均值不等式的证明证法一（归纳法）（1） 当n=2时，已知结论成立。（2） 假设对n=k（正整数k2）时命题成立，即对ai0，i=1,2，k，有a1+a2+akkka1a2ak。那么，当n=k+1时，由于Ak+1=a1+a2+ak+1k+1，Gk+1=k+1a1a2ak+1,关于a1，a2，ak+1是对称的，任意对调ai与ajij，Ak+1和Gk+1的值不改变，因此不妨设 a1=mina1，a2，ak+1，ak+1=maxa1，a2，ak+1显然a1Ak+1ak+1，以及（a1-Ak+1）（ak+1-Ak+1）0，i=1,2，k，有a1+a2+akkka1a2ak。那么，当n=k+1时，由于a1+a2+ak+ak+1=a1+a2+ak+ak+1+Gk+1+Gk+1+Gk+1-k-1Gk+1kka1a2ak+kkak+1Gk+1k-1-k-1Gk+12kka1a2akkak+1Gk+1k-1-k-1Gk+1=2k2kGk+1k-1Gk+1k+1-k-1Gk+1从而，有Ak+1Gk+1证法三（利用排序不等式）设两个实数组a1，a2，an和b1，b2，bn满足a1a2an；b1b2bn，则 a1b1+a2b2+anbn （同序乘积之和） a1bj1+a2bj2+anbjn（乱序乘积之和） a1bn+a2bn-1+anb1（反序乘积之和）其中j1，j2，jn是1,2，n的一个排列，并且等号同时成立的充分必要条件是a1=a2=an或b1=b2=bn成立。证明：切比雪夫不等式（利用排序不等式证明）杨森不等式（Young）设10，20，1+2=1， 则对 x1，x20有x11x221x1+2x2 等号成立的充分必要条件是x1=x2。琴生不等式（Jensen）设y=fx，x（a，b）为上凸（或下凸）函数，则对任意xia，b（i=1,2，n），我们都有1fx1+2fx2+nfxnf1x1+2x2+nxn或1fx1+2fx2+nfxnf1x1+2x2+nxn其中i0i=1,2，n i=1ni=1习题一1. 设a，bR+,1a+1b=1.求证：对一切正整数n，有（a+b）n-an-bn22n-2n+12. 设a，b，cR+，求证（1+1a）（1+1b）（1+1c）2（1+a+b+c3abc）3. 设x1，x2，x3为正实数，证明：x2x1+x3x2+x1x3（x2x1）2+（x2x3）2+（x3x1）24. 设a，b，cR+，a+b+c=1，求证：1+a（1+b）（1+c）8（1-a）（1-b）（1-c）5. 设a，b，cR+，a2+b2+c2=1，求证abc+bca+cab36. 设x，y，zR+，且xyz,求证：x2yz+y2zx+z2xyx2+y2+z27. 设a，b，c，d是非负实数，满足ab+bc+cd+da=1，求证：a3b+c+d+b3a+c+d+c3b+a+d+d3a+b+c138. 设n为给定的自然数，n3，对于n个给定的实数a1，a2，an；记ai-aj（1ijn）的最小值为m，求在a12+a22+an2=1的条件下，m的最大值。均值不等式及其证明（百度文库）2012年3月3日星期六下午14：18用均值不等式证明用均值不等式求最值1注意均值不等式使用的条件是否具备2求和的最值需使积为定值